Fazione - Factorion

Nella teoria dei numeri , una fattorizzazione in una data base numerica è un numero naturale che è uguale alla somma dei fattoriali delle sue cifre . Il nome factorion è stato coniato dall'autore Clifford A. Pickover . ${\displaystyle b}$

Definizione

Sia un numero naturale. Per una base , definiamo la somma del fattoriale delle cifre di , , come la seguente: ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}}$

${\displaystyle SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!}$.

dove è il numero di cifre nel numero in base , è il fattoriale di e ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

è il valore della esima cifra del numero. Un numero naturale è un - factorion se è un punto fisso per , cioè se . e sono punti fissi per tutte le basi , e quindi sono fattori banali per tutti , e tutte le altre fattorie sono fattori non banali . ${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle SFD_{b}(n)=n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

Ad esempio, il numero 145 in base è una scomposizione perché . ${\displaystyle b=10}$${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$

Per , la somma del fattoriale delle cifre è semplicemente il numero di cifre nella rappresentazione in base 2 poiché . ${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0!=1!=1}$

Un numero naturale è una frazione socievole se è un punto periodico per , dove per un intero positivo , e forma un ciclo di periodo . Una fazione è una fazione socievole con , e una fazione amichevole è una fazione socievole con . ${\displaystyle n}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle SFD_{b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=2}$

Tutti i numeri naturali sono punti preperiodici per , indipendentemente dalla base. Questo perché tutti i numeri naturali di base con cifre soddisfano . Tuttavia, quando , poi per , così qualsiasi soddisferà fino a . Esistono un numero finito di numeri naturali inferiori a , quindi è garantito che il numero raggiunga un punto periodico o un punto fisso inferiore a , rendendolo un punto preperiodico. Per , il numero di cifre per qualsiasi numero, ancora una volta, rendendolo un punto preperiodico. Ciò significa anche che c'è un numero finito di fattorie e cicli per ogni data base . ${\displaystyle n}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$${\displaystyle k\geq b}$${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$${\displaystyle b>2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>SFD_{b}(n)}$${\displaystyle n<b^{b}}$${\displaystyle b^{b}}$${\displaystyle b^{b}}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle b}$

Il numero di iterazioni necessarie per raggiungere un punto fisso è la persistenza della funzione di , e indefinito se non raggiunge mai un punto fisso. ${\displaystyle i}$${\displaystyle SFD_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle n}$

Fattori per ${\displaystyle SFD_{b}}$

b = ( k − 1)!

Sia un numero intero positivo e la base numerica . Quindi: ${\displaystyle k}$${\displaystyle b=(k-1)!}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$è un fattore per tutti .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$è un fattore per tutti .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

Fazioni

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k + 1

Sia un numero intero positivo e la base numerica . Quindi: ${\displaystyle k}$${\displaystyle b=k!-k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$è un fattore per tutti .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

Fazioni

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Tavola delle fattorie e dei cicli di ${\displaystyle SFD_{b}}$

Tutti i numeri sono rappresentati in base . ${\displaystyle b}$

Base ${\displaystyle b}$	Fattore non banale ( , ) ${\displaystyle n\neq 1}$${\displaystyle n\neq 2}$	Cicli
2	${\displaystyle \varnothing}$	${\displaystyle \varnothing}$
3	${\displaystyle \varnothing}$	${\displaystyle \varnothing}$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnothing}$
6	41, 42	${\displaystyle \varnothing}$
7	${\displaystyle \varnothing}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnothing}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Esempio di programmazione

L'esempio seguente implementa la somma del fattoriale delle cifre descritte nella definizione precedente per cercare fattori e cicli in Python .

def factorial(x: int) -> int:
    total = 1
    for i in range(0, x):
        total = total * (i + 1)
    return total

def sfd(x: int, b: int) -> int:
    """Sum of the factorial of the digits."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + factorial(x % b)
        x = x // b
    return total

def sfd_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = sfd(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = sfd(x, b)
    return cycle

Guarda anche

• Dinamiche aritmetiche
• Numero Dudeney
• numero felice
• La costante di Kaprekar
• Numero di Kaprekar
• Numero di Meertens
• Numero narcisistico
• Invariante perfetto da cifra a cifra
• Invariante digitale perfetto
• Numero somma-prodotto

Riferimenti

link esterno

• Factorion al Wolfram MathWorld