Faktorion - Factorion

W teorii liczb , o factorion w danym systemie liczbowym jest liczbą naturalną , która równa się sumie silni jej cyfr . Nazwa factorion została ukuta przez autora Clifforda A. Pickovera . ${\displaystyle b}$

Definicja

Niech będzie liczbą naturalną. Dla bazy , definiujemy sumę silnia cyfry z , , aby być następujący: ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle SFD_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle SFD_ {b} (n) = \ suma _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}!}$.

gdzie jest to liczba cyfr w liczbie w bazie , jest silnia z i ${\ Displaystyle k = \ l piętro \ log _ {b} {n} \ r piętro +1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n!}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ Frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}}}$

jest wartością th cyfry liczby. Pewna liczba naturalna jest - factorion jeśli jest to stały punkt na , tzn . i są punktami stałymi dla wszystkich baz , a zatem są współczynnikami trywialnymi dla wszystkich , a wszystkie inne współczynniki są współczynnikami nietrywialnymi . ${\displaystyle i}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\ Displaystyle SFD_ {b} (n) = n}$${\ Displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

Na przykład liczba 145 w bazie jest dzielnikiem, ponieważ . ${\displaystyle b=10}$${\ Displaystyle 145 = 1! + 4! + 5!}$

Dla , suma silni cyfr jest po prostu liczbą cyfr w reprezentacji o podstawie 2 od . ${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0!=1!=1}$

Liczba naturalna jest dzielnikiem towarzyskim, jeśli jest punktem okresowym dla , gdzie dla liczby całkowitej dodatniej i tworzy cykl okresu . Rozkład to zakład towarzyski z , a zakład polubowny to zakład towarzyski z . ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\ Displaystyle SFD_ {b} ^ {k} (n) = n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle k = 1}$${\ Displaystyle k = 2}$

Wszystkie liczby naturalne są punktami przedokresowymi dla , niezależnie od podstawy. Dzieje się tak, ponieważ wszystkie liczby naturalne o podstawie z cyframi spełniają . Jednak gdy , to dla , więc każdy zaspokoi do . Istnieje skończenie wiele liczb naturalnych mniejszych niż , więc liczba gwarantuje osiągnięcie punktu okresowego lub punktu stałego mniejszego niż , co czyni ją punktem przedokresowym. Dla , liczba cyfr dla dowolnej liczby, po raz kolejny, co czyni ją punktem przedokresowym. Oznacza to również, że istnieje skończona liczba współczynników i cykli dla dowolnej bazy . ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle b ^ {k-1} \ leq n \ leq (b-1)! (k)}$${\displaystyle k\geq b}$${\ Displaystyle b ^ {k-1}> (b-1! (k)}$${\displaystyle b>2}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n> SFD_ {b} (n)}$${\displaystyle n<b^{b}}$${\ Displaystyle b ^ {b}}$${\ Displaystyle b ^ {b}}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle b}$

Liczba iteracji potrzebnych do osiągnięcia stały punkt jest funkcyjnego wytrwałość od i niezdefiniowana jeśli nie osiągnie stałą temperaturę. ${\displaystyle i}$${\ Displaystyle SFD_ {b} ^ {i} (n)}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\ Displaystyle n}$

Faktory dla ${\displaystyle SFD_{b}}$

b = ( k − 1)!

Niech będzie dodatnią liczbą całkowitą i podstawą liczby . Następnie: ${\displaystyle k}$${\displaystyle b=(k-1)!}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$jest czynnikiem dla wszystkich .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$jest czynnikiem dla wszystkich .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

Factorions

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k + 1

Niech będzie dodatnią liczbą całkowitą i podstawą liczby . Następnie: ${\displaystyle k}$${\displaystyle b=k!-k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$jest czynnikiem dla wszystkich .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

Factorions

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Tabela rozkładów i cykli ${\displaystyle SFD_{b}}$

Wszystkie liczby są reprezentowane w bazie . ${\displaystyle b}$

Baza ${\displaystyle b}$	Nietrywialny dzielnik ( , ) ${\displaystyle n\neq 1}$${\displaystyle n\neq 2}$	Cykle
2	${\displaystyle \varnic}$	${\displaystyle \varnic}$
3	${\displaystyle \varnic}$	${\displaystyle \varnic}$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnic}$
6	41, 42	${\displaystyle \varnic}$
7	${\displaystyle \varnic}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnic}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Przykład programowania

Poniższy przykład implementuje sumę silni cyfr opisaną w powyższej definicji do wyszukiwania współczynników i cykli w Pythonie .

def factorial(x: int) -> int:
    total = 1
    for i in range(0, x):
        total = total * (i + 1)
    return total

def sfd(x: int, b: int) -> int:
    """Sum of the factorial of the digits."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + factorial(x % b)
        x = x // b
    return total

def sfd_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = sfd(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = sfd(x, b)
    return cycle

Zobacz też

• Dynamika arytmetyczna
• Numer Dudeneya
• Szczęśliwy numer
• Stała Kaprekara
• Numer Kaprekara
• Liczba Meertensa
• Liczba narcystyczna
• Idealny niezmiennik cyfra do cyfry
• Idealny niezmiennik cyfrowy
• Suma-numer produktu

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Factorion w Wolfram MathWorld