Factorion - Factorion

En teoría de números , un factorión en una base numérica dada es un número natural que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos . El nombre factorion fue acuñado por el autor Clifford A. Pickover . ${\ Displaystyle b}$

Definición

Sea un número natural. Para una base , definimos la suma del factorial de los dígitos de , , que es el siguiente: ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle b> 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle SFD_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle SFD_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}!}$.

donde es el número de dígitos en el número en base , es el factorial de y ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle n!}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}}}$

es el valor del décimo dígito del número. Un número natural es un - factorion si es un punto fijo para , es decir, si . y son puntos fijos para todas las bases y, por tanto, son factores triviales para todos , y todos los demás factores son factores no triviales . ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle SFD_ {b}}$${\ Displaystyle SFD_ {b} (n) = n}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle b}$

Por ejemplo, el número 145 en base es un factorión porque . ${\ Displaystyle b = 10}$${\ Displaystyle 145 = 1! +4! +5!}$

Porque , la suma del factorial de los dígitos es simplemente el número de dígitos en la representación en base 2 desde entonces . ${\ Displaystyle b = 2}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle 0! = 1! = 1}$

Un número natural es un factorión sociable si es un punto periódico para , donde para un entero positivo , y forma un ciclo de período . Un factorion es un factorion sociable con , y un factorion amistoso es un factorion sociable con . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle SFD_ {b}}$${\ Displaystyle SFD_ {b} ^ {k} (n) = n}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k = 1}$${\ Displaystyle k = 2}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base con dígitos satisfacen . Sin embargo, cuando , entonces para , cualquiera satisfará hasta . Hay una cantidad finita de números naturales menores que , por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que , convirtiéndolo en un punto preperiódico. Para , el número de dígitos de cualquier número, una vez más, lo que lo convierte en un punto preperiódico. Esto también significa que hay un número finito de factoriones y ciclos para cualquier base dada . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle SFD_ {b}}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle b ^ {k-1} \ leq n \ leq (b-1)! (k)}$${\ Displaystyle k \ geq b}$${\ Displaystyle b ^ {k-1}> (b-1)! (k)}$${\ Displaystyle b> 2}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n> SFD_ {b} (n)}$${\ Displaystyle n <b ^ {b}}$${\ Displaystyle b ^ {b}}$${\ Displaystyle b ^ {b}}$${\ Displaystyle b = 2}$${\ Displaystyle k \ leq n}$${\ Displaystyle b}$

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función y no está definido si nunca llega a un punto fijo. ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle SFD_ {b} ^ {i} (n)}$${\ Displaystyle SFD_ {b}}$${\ Displaystyle n}$

Factoriones para ${\ Displaystyle SFD_ {b}}$

b = ( k - 1)!

Sea un entero positivo y la base numérica . Luego: ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle b = (k-1)!}$

• ${\ Displaystyle n_ {1} = kb + 1}$es un factorion para todos .${\ Displaystyle SFD_ {b}}$${\ Displaystyle k}$

• ${\ Displaystyle n_ {2} = kb + 2}$es un factorion para todos .${\ Displaystyle SFD_ {b}}$${\ Displaystyle k}$

Factoriones

${\ Displaystyle k}$	${\ Displaystyle b}$	${\ Displaystyle n_ {1}}$	${\ Displaystyle n_ {2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! - k + 1

Sea un entero positivo y la base numérica . Luego: ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle b = k! -k + 1}$

• ${\ Displaystyle n_ {1} = b + k}$es un factorion para todos .${\ Displaystyle SFD_ {b}}$${\ Displaystyle k}$

Factoriones

${\ Displaystyle k}$	${\ Displaystyle b}$	${\ Displaystyle n_ {1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	dieciséis

Tabla de factoriones y ciclos de ${\ Displaystyle SFD_ {b}}$

Todos los números están representados en base . ${\ Displaystyle b}$

Base ${\ Displaystyle b}$	Factorión no trivial ( , ) ${\ Displaystyle n \ neq 1}$${\ Displaystyle n \ neq 2}$	Ciclos
2	${\ Displaystyle \ varnothing}$	${\ Displaystyle \ varnothing}$
3	${\ Displaystyle \ varnothing}$	${\ Displaystyle \ varnothing}$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\ Displaystyle \ varnothing}$
6	41, 42	${\ Displaystyle \ varnothing}$
7	${\ Displaystyle \ varnothing}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\ Displaystyle \ varnothing}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo implementa la suma del factorial de los dígitos descritos en la definición anterior para buscar factoriones y ciclos en Python .

def factorial(x: int) -> int:
    total = 1
    for i in range(0, x):
        total = total * (i + 1)
    return total

def sfd(x: int, b: int) -> int:
    """Sum of the factorial of the digits."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + factorial(x % b)
        x = x // b
    return total

def sfd_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = sfd(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = sfd(x, b)
    return cycle

Ver también

• Dinámica aritmética
• Número de Dudeney
• Feliz numero
• La constante de Kaprekar
• Número de Kaprekar
• Número de Meertens
• Número narcisista
• Perfecta invariante de dígito a dígito
• Invariante digital perfecto
• Número de producto suma

Referencias

enlaces externos

• Factorion en Wolfram MathWorld