Periodisk sekvens - Periodic sequence

I matematikk er en periodisk sekvens (noen ganger kalt en syklus ) en sekvens som de samme begrepene gjentas om og om igjen:

a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p , ...

Tallet p gjentatte termer kalles perioden ( periode ).

Definisjon

En (rent) periodisk sekvens (med periode p ), eller en p- periodisk sekvens , er en sekvens a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... som tilfredsstiller

a _{n + p} = a _n

for alle verdier av n . Hvis en sekvens blir sett på som en funksjon hvis domene er settet med naturlige tall , er en periodisk sekvens ganske enkelt en spesiell type periodisk funksjon . Den minste p som en periodisk sekvens er p -perioden kalles den minste perioden eller den eksakte perioden .

Eksempler

Hver konstante funksjon er 1-periodisk.

Sekvensen er periodisk med minst periode 2. ${\ displaystyle 1,2,1,2,1,2 \ dots}$

Sekvensen av sifre i desimal utvidelse av 1/7 er periodisk med periode 6:

${\ displaystyle {\ frac {1} {7}} = 0.142857 \, 142857 \, 142857 \, \ ldots}$

Mer generelt er siffresekvensen i desimalutvidelsen av et rasjonelt tall til slutt periodisk (se nedenfor).

Maktforløpet til −1 er periodisk med periode to:

${\ displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, \ ldots}$

Mer generelt er maktsekvensen til enhver rot av enhet periodisk. Det samme gjelder kreftene til ethvert element av endelig orden i en gruppe .

Et periodisk punkt for en funksjon f  : X → X er et punkt x hvis bane

${\ displaystyle x, \, f (x), \, f (f (x)), \, f^{3} (x), \, f^{4} (x), \, \ ldots}$

er en periodisk sekvens. Her betyr n -fold sammensetningen av f påført x . Periodiske punkter er viktige i teorien om dynamiske systemer . Hver funksjon fra et begrenset sett til seg selv har et periodisk punkt; syklusdeteksjon er det algoritmiske problemet med å finne et slikt punkt. ${\ displaystyle f^{n} (x)}$

Identiteter

Delvis summer

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{kp+m} a_ {n} = k*\ sum _ {n = 1}^{p} a_ {n}+\ sum _ {n = 1}^ {Mann}}$ Hvor k og m <p er naturlige tall.

Delprodukter

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1}^{kp+m} a_ {n} = ({\ prod _ {n = 1}^{p} a_ {n}})^{k}*\ prod _ {n = 1}^{m} a_ {n}}$ Hvor k og m <p er naturlige tall.

Periodiske 0, 1 sekvenser

Enhver periodisk sekvens kan konstrueres ved elementmessig addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av periodiske sekvenser bestående av nuller og enere. Periodisk null og en sekvens kan uttrykkes som summer av trigonometriske funksjoner:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{1} \ cos (-\ pi {\ frac {n (k-1)} {1}})/1 = 1,1,1,1,1, 1,1,1,1 ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{2} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {2}})/2 = 0,1,0,1,0, 1,0,1,0 ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{3} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {3}})/3 = 0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...}$

${\ displaystyle ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{N} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {N}})/N = 0,0,0 ..., 1 {\ text {sekvens med periode}} N}$

Generaliseringer

En sekvens er til slutt periodisk hvis den kan gjøres periodisk ved å slippe et begrenset antall termer fra begynnelsen. For eksempel er siffresekvensen i desimalutvidelsen på 1/56 til slutt periodisk:

1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

En sekvens er til slutt periodisk hvis den tilfredsstiller betingelsen for noen r og tilstrekkelig stor k . ${\ displaystyle a_ {k+r} = a_ {k}}$

En sekvens er asymptotisk periodisk hvis dens termer nærmer seg ordene for en periodisk sekvens. Det vil si at sekvensen x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... er asymptotisk periodisk hvis det eksisterer en periodisk sekvens a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ , ... for hvilken

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} x_ {n} -a_ {n} = 0.}$

For eksempel sekvensen

1 /3, 2 /3, 1 /4, 3 /4, 1 /5, 4 /5, ...

er asymptotisk periodisk, siden begrepene nærmer seg de i den periodiske sekvensen 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

Referanser