Factorion - Factorion

În teoria numerelor , un factor într-o bază de date dată este un număr natural care este egal cu suma factorialelor cifrelor sale . Factorul de nume a fost inventat de autorul Clifford A. Pickover . ${\ displaystyle b}$

Definiție

Fie un număr natural. Pentru o bază , definim suma factorialul cifre de , să fie următoarele: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle SFD_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}!}$.

unde este numărul de cifre din numărul din bază , este factorialul lui și ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}}}$

este valoarea celei de- a cifre a numărului. Un număr natural este o - factor dacă este un punct fix pentru , adică dacă . și sunt puncte fixe pentru toate bazele și, prin urmare, sunt factori triviale pentru toți , iar toate celelalte factori sunt factori netriviale . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle SFD_ {b} (n) = n}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$

De exemplu, numărul 145 din bază este un factor deoarece . ${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle 145 = 1! +4! +5!}$

Pentru , suma factorialul cifre este pur și simplu numărul de cifre în reprezentarea de bază 2 Incepand . ${\ displaystyle b = 2}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0! = 1! = 1}$

Un număr natural este un factor sociabil dacă este un punct periodic pentru , unde pentru un întreg pozitiv și formează un ciclu de perioadă . Un factor este un factor sociabil cu , iar un factor amiabil este un factor sociabil cu . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle SFD_ {b} ^ {k} (n) = n}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2}$

Toate numerele naturale sunt puncte preperiodice pentru , indiferent de bază. Acest lucru se datorează faptului că toate numerele naturale de bază cu cifre satisfac . Cu toate acestea, când , atunci pentru , deci orice va satisface până . Există mai multe numere naturale mai mici decât , astfel încât numărul este garantat pentru a atinge un punct periodic sau un punct fix mai mic decât , făcându-l un punct preperiodic. Pentru , numărul de cifre pentru orice număr, din nou, făcându-l un punct preperiodic. Aceasta înseamnă, de asemenea, că există un număr finit de factori și cicluri pentru orice bază dată . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b ^ {k-1} \ leq n \ leq (b-1)! (k)}$${\ displaystyle k \ geq b}$${\ displaystyle b ^ {k-1}> (b-1)! (k)}$${\ displaystyle b> 2}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n> SFD_ {b} (n)}$${\ displaystyle n <b ^ {b}}$${\ displaystyle b ^ {b}}$${\ displaystyle b ^ {b}}$${\ displaystyle b = 2}$${\ displaystyle k \ leq n}$${\ displaystyle b}$

Numărul de iterații necesare pentru a ajunge la un punct fix este funcția de persistență a , și nedefinită dacă nu se ajunge la un punct fix. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle SFD_ {b} ^ {i} (n)}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle n}$

Factorii pentru ${\ displaystyle SFD_ {b}}$

b = ( k - 1)!

Fie un număr întreg pozitiv și baza numărului . Atunci: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b = (k-1)!}$

• ${\ displaystyle n_ {1} = kb + 1}$este un factor pentru toți .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

• ${\ displaystyle n_ {2} = kb + 2}$este un factor pentru toți .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

Factorii

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$	${\ displaystyle n_ {2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! - k + 1

Fie un număr întreg pozitiv și baza numărului . Atunci: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b = k! -k + 1}$

• ${\ displaystyle n_ {1} = b + k}$este un factor pentru toți .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

Factorii

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Tabel cu factorii și cicluri de ${\ displaystyle SFD_ {b}}$

Toate numerele sunt reprezentate în bază . ${\ displaystyle b}$

Baza ${\ displaystyle b}$	Factor nontrivial ( , ) ${\ displaystyle n \ neq 1}$${\ displaystyle n \ neq 2}$	Cicluri
2	${\ displaystyle \ varnothing}$	${\ displaystyle \ varnothing}$
3	${\ displaystyle \ varnothing}$	${\ displaystyle \ varnothing}$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\ displaystyle \ varnothing}$
6	41, 42	${\ displaystyle \ varnothing}$
7	${\ displaystyle \ varnothing}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\ displaystyle \ varnothing}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Exemplu de programare

Exemplul de mai jos implementează suma factorialului cifrelor descrise în definiția de mai sus pentru a căuta factorii și cicluri în Python .

def factorial(x: int) -> int:
    total = 1
    for i in range(0, x):
        total = total * (i + 1)
    return total

def sfd(x: int, b: int) -> int:
    """Sum of the factorial of the digits."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + factorial(x % b)
        x = x // b
    return total

def sfd_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = sfd(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = sfd(x, b)
    return cycle

Vezi si

• Dinamica aritmetică
• Numărul Dudeney
• Număr fericit
• Constanta lui Kaprekar
• Numărul Kaprekar
• Numărul Meertens
• Număr narcisist
• Invariant perfect de la o cifră la alta
• Invariant digital perfect
• Suma numărului produsului

Referințe

linkuri externe

• Factorion la Wolfram MathWorld