Dinamica aritmetica - Arithmetic dynamics

La dinamica aritmetica è un campo che amalgama due aree della matematica, dei sistemi dinamici e della teoria dei numeri . Classicamente, la dinamica discreta si riferisce allo studio dell'iterazione delle auto-mappe del piano complesso o della linea reale . La dinamica aritmetica è lo studio delle proprietà numeriche di punti interi , razionali , $p-$ adici e / o algebrici sotto l'applicazione ripetuta di una funzione polinomiale o razionale . Un obiettivo fondamentale è descrivere le proprietà aritmetiche in termini di strutture geometriche sottostanti.

La dinamica aritmetica globale è lo studio di analoghi della geometria diofantina classica nell'impostazione di sistemi dinamici discreti, mentre la dinamica aritmetica locale , chiamata anche dinamica p-adica o non archimede , è un analogo della dinamica classica in cui si sostituiscono i numeri complessi $C$ con una campo $p$ -adico come $Q p$ o $C p$ e studia il comportamento caotico e gli insiemi di Fatou e Julia .

La tabella seguente descrive una corrispondenza approssimativa tra equazioni diofantine, in particolare varietà abeliane , e sistemi dinamici:


Equazioni diofantine	Sistemi dinamici
Punti razionali e interi su una varietà	Punti razionali e interi in un'orbita
Punti di ordine finito su una varietà abeliana	Punti preperiodici di una funzione razionale

Definizioni e notazioni da dinamiche discrete

Sia $S$ un insieme e sia $F : S \to S$ una mappa da $S$ a se stesso. Viene indicata l'iterazione di $F$ con se stessa $n$ volte

{\ displaystyle F ^ {(n)} = F \ circ F \ circ \ cdots \ circ F.}

Un punto $P \in S$ è periodico se $F (n) (P) = P$ per qualche $n > 1$ .

Il punto è preperiodico se $F (k) (P)$ è periodico per qualche $k \geq 1$ .

L' orbita (in avanti) di $P$ è l'insieme

{\ displaystyle O_ {F} (P) = \ sinistra \ {P, F (P), F ^ {(2)} (P), F ^ {(3)} (P), \ cdots \ destra \} .}

Quindi $P$ è preperiodico se e solo se la sua orbita $O F (P)$ è finita.

Proprietà teoriche numeriche dei punti preperiodici

Let $F (x)$ una funzione razionale di grado almeno due coefficienti in $Q$ . Un teorema di Northcott dice che $F$ ha solo un numero finito di punti preperiodici $Q$ -razionali, cioè, $F$ ha solo un numero finito di punti preperiodici in $P 1 (Q)$ . La congettura limitatezza uniforme per punti preperiodic di Morton e Silverman dice che il numero di punti di preperiodic $F$ a $P 1 (Q)$ è delimitata da una costante che dipende solo dal grado di $F$ .

Più in generale, lasciare $F : P N \to P N$ sia un morfismo di grado almeno due definita su un campo numero $K$ . Il teorema di Northcott dice che $F$ ha solo un numero finito di punti preperiodici in $P N (K)$ , e la congettura generale del limite uniforme dice che il numero di punti preperiodici in $P N (K)$ può essere limitato unicamente in termini di $N$ , il grado di $F$ , e il grado di $K$ su $Q$ .

Uniform Limitatezza congettura non è noto anche per polinomi quadratici $F c (x) = x 2 + c$ sui numeri razionali $Q$ . È noto in questo caso che $F c (x)$ non può avere punti periodici del periodo quattro, cinque o sei, sebbene il risultato per il periodo sei sia subordinato alla validità della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer . Poonen ha congetturato che $F c (x)$ non può avere punti periodici razionali di qualsiasi periodo strettamente maggiore di tre.

Punti interi nelle orbite

L'orbita di una mappa razionale può contenere infiniti numeri interi. Ad esempio, se $F (x)$ è un polinomio con coefficienti interi e se $a$ è un intero, allora è chiaro che l'intera orbita $O F (a) è$ composta da numeri interi. Allo stesso modo, se $F (x)$ è una mappa razionale e qualche itera $F (n) (x)$ è un polinomio con coefficienti interi, allora ogni $n$ -esima voce nell'orbita è un numero intero. Un esempio di questo fenomeno è la mappa $F (x) = x -d$ , la cui seconda iterazione è un polinomio. Si scopre che questo è l'unico modo in cui un'orbita può contenere infiniti numeri interi.

Teorema. Sia

F (x) \in Q (x)

una funzione razionale di grado almeno due, e supponiamo che nessuna iterazione di

F

sia un polinomio. Lasciate

un \in Q

. Allora l'orbita

O F (a)

contiene solo un numero finito di numeri interi.

Punti definiti dinamicamente che giacciono su sottovarietà

Ci sono congetture generali dovute a Shouwu Zhang e altri riguardanti sottovarietà che contengono infiniti punti periodici o che intersecano un'orbita in infiniti punti. Questi sono analoghi dinamici, rispettivamente, della congettura di Manin-Mumford , dimostrata da Raynaud, e della congettura di Mordell-Lang , dimostrata da Faltings . Le seguenti congetture illustrano la teoria generale nel caso in cui la sottovarietà sia una curva.

Congetturare. Sia

F : P N \to P N

un morfismo e sia

C \subset P N

una curva algebrica irriducibile. Supponiamo che ci sia un punto

P \in P N

tale che

C

contenga infiniti punti nell'orbita

O F (P)

. Allora

C

è periodico per

F

nel senso che c'è qualche iterazione

F (k)

di

F

che mappa

C

a se stesso.

dinamiche p- adiche

Il campo delle dinamiche $p$ -adiche (o non archimedee) è lo studio delle domande dinamiche classiche su un campo $K$ completo rispetto a un valore assoluto non archimedeo. Esempi di tali campi sono il campo dei razionali $p$ -adici $Q p$ e il completamento della sua chiusura algebrica $C p$ . La metrica su $K$ e la definizione standard di equicontinuità porta alla definizione usuale degli insiemi di Fatou e Julia di una mappa razionale $F (x) \in K (x)$ . Ci sono molte somiglianze tra le teorie complesse e quelle non archiviate, ma anche molte differenze. Una differenza notevole è che nell'ambiente non archimedeo, l'insieme di Fatou è sempre non vuoto, ma l'insieme di Julia può essere vuoto. Questo è il contrario di ciò che è vero per i numeri complessi. La dinamica non archimedea è stata estesa allo spazio di Berkovich , che è uno spazio connesso compatto che contiene il campo compatto non localmente completamente disconnesso $C p$ .

Generalizzazioni

Esistono generalizzazioni naturali della dinamica aritmetica in cui $Q$ e $Q p$ sono sostituiti da campi numerici e dai loro completamenti $p$ -adici. Un'altra generalizzazione naturale è sostituire le auto-mappe di $P 1$ o $P N$ con le auto-mappe (morfismi) $V \to V$ di altre varietà affini o proiettive .

Altre aree in cui interagiscono teoria e dinamica dei numeri

Ci sono molti altri problemi di natura numerica che compaiono nell'impostazione dei sistemi dinamici, tra cui:

dinamiche su campi finiti .
dinamiche su campi funzione come $C (x)$ .
iterazione di serie di potenze formali e $p-$ adiche .
dinamiche sui gruppi di Lie .
proprietà aritmetiche di spazi di moduli dinamicamente definiti .
equidistribuzione e misure invarianti , specialmente su spazi $p$ -adici.
dinamiche sui moduli Drinfeld .
problemi di iterazione teorica dei numeri che non sono descritti da mappe razionali su varietà, per esempio, il problema di Collatz .
codifiche simboliche di sistemi dinamici basati su espansioni aritmetiche esplicite di numeri reali.

L' elenco di riferimento delle dinamiche aritmetiche fornisce un ampio elenco di articoli e libri che coprono un'ampia gamma di argomenti dinamici aritmetici.

Guarda anche

Note e riferimenti

Ulteriore lettura

Appunti delle lezioni sulle dinamiche aritmetiche Arizona Winter School , 13–17 marzo 2010, Joseph H. Silverman
Capitolo 15 di Un primo corso in dinamica: con un panorama dei recenti sviluppi , Boris Hasselblatt, AB Katok, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-58750-1

link esterno

La home page di Aritmetica dei sistemi dinamici
Bibliografia della dinamica aritmetica
Analisi e dinamica sulla retta proiettiva di Berkovich
Recensione del libro "The Arithmetic of Dynamical Systems" di Joseph H. Silverman , recensito da Robert L. Benedetto

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