Bessel funkció - Bessel function

A Bessel -függvények , amelyeket először Daniel Bernoulli matematikus határozott meg , majd Friedrich Bessel általánosított, a Bessel -féle differenciálegyenlet y ( x ) kanonikus megoldásai

${\ displaystyle x^{2} {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}+x {\ frac {dy} {dx}}+\ bal (x^{2}-\ alfa ^{2} \ jobb) y = 0}$

Egy tetszőleges komplex számot α , a sorrendben a Bessel-függvény. Bár az α és a - α ugyanazt a differenciálegyenletet állítja elő, hagyományosan ehhez a két értékhez különböző Bessel -függvényeket határoznak meg oly módon, hogy a Bessel -függvények többnyire α sima függvényei .

A legfontosabb esetek, amikor α jelentése egész szám , vagy fél-egész . Bessel funkciók egész α is ismertek henger funkciók , vagy a hengeres harmonikusok , mivel úgy tűnik a megoldást Laplace-egyenlet a hengeres koordinátákat . Gömb alakú Bessel-függvények a fél-egész α kapunk, ha a Helmholtz egyenlet megoldott gömbi koordináták .

A Bessel -függvények alkalmazása

Bessel-egyenlet adódik, amikor megtalálása szétválasztható megoldásokat Laplace-egyenlet és a Helmholtz egyenletet a hengeres vagy gömb alakú koordinátákat . A Bessel -funkciók ezért különösen fontosak a hullámterjedés és a statikus potenciál számos problémája esetén . A hengeres koordináta -rendszerek problémáinak megoldásakor egész rendű Bessel -függvényeket kapunk ( α = n ); gömbproblémákban fél egész sorrendeket kapunk ( α = n + 1/2). Például:

• Elektromágneses hullámok hengeres hullámvezetőben
• Véletlen forgási áramlások nyomás amplitúdói
• Hővezetés egy hengeres tárgyban
• Egy vékony, kör alakú (vagy gyűrűs) akusztikus membrán (például dob vagy más membránofon ) rezgési módjai
• Diffúziós problémák rácson
• Megoldások a radiális Schrödinger -egyenlethez (gömb- és hengeres koordinátákban) egy szabad részecske számára
• Megoldás az akusztikus sugárzás mintáira
• Frekvenciafüggő súrlódás körkörös csővezetékekben
• Lebegő testek dinamikája
• Szögfelbontás
• Differencia spirális tárgyaktól, beleértve a DNS -t is
• Két normálisan eloszló véletlen változó szorzatának valószínűségi sűrűségfüggvénye

A Bessel funkciók más problémákban is megjelennek, például a jelfeldolgozásban (pl. Lásd FM szintézis , Kaiser ablak vagy Bessel szűrő ).

Definíciók

Mivel ez egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet, két lineárisan független megoldásnak kell lennie . A körülményektől függően azonban ezeknek a megoldásoknak különböző formái kényelmesek. A különböző változatokat az alábbi táblázat foglalja össze, és a következő szakaszokban ismertetjük.

típus	Első fajta	Második fajta
Bessel függvények	J α	Y α
Módosított Bessel funkciók	I α	K α
Hankel funkciók	H(1) α= J α + iY α	H(2) α= J α - iY α
Gömb alakú Bessel függvények	j n	y n
Gömb alakú Hankel funkciók	h(1) n= j n + iy n	h(2) n= J n - IY N

A második típusú Bessel -függvényeket és a második típusú gömb alakú Bessel -függvényeket néha N _n és n _n jelölik, nem pedig Y _n és y _n .

Az első típusú Bessel -függvények: J _α

Az első típusú Bessel -függvények, amelyeket J _α ( x ) -ként jelölünk, Bessel differenciálegyenletének megoldásai. Egész vagy pozitív  α esetén az első típusú Bessel -függvények végesek az origónál ( x = 0 ); míg a negatív, nem egész  α esetén az első típusú Bessel-függvények eltérnek, amikor x megközelíti a nullát. A függvény meghatározható az x = 0 körüli sorozatbővítéssel , amely megtalálható a Frobenius módszer Bessel -egyenletre történő alkalmazásával :

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {m = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{m}} {m! \ Gamma (m +\ alfa +1) }} {\ bal ({\ frac {x} {2}} \ jobb)}^{2m+\ alpha},}$

ahol Γ ( z ) a gamma-függvény , a faktoriális függvény eltolt általánosítása nem egész számokra. Az első típusú Bessel -függvény egész függvény, ha α egész szám, ellenkező esetben többértékű függvény , szingularitása nulla. A Bessel -függvények gráfjai nagyjából úgy néznek ki, mint az oszcilláló szinusz- vagy koszinuszfüggvények, amelyek arányosan bomlanak le (lásd alább az aszimptotikus formáikat is), bár gyökereik általában nem periodikusak, kivéve a nagy x -t aszimptotikusan . (A sorozat azt jelzi, hogy - J ₁ ( x ) a J ₀ ( x ) származéka , hasonlóan −sin x a cos x származéka ; általánosságban a J _n ( x ) származéka kifejezhető J _{n ± 1} ( x ) az alábbi azonosítók szerint .) ${\ displaystyle x^{-{\ frac {1} {2}}}}$

A nem-egész szám α , a funkciók J _α ( x ) és a J _{- α} ( x ) lineárisan függetlenek, és ezért a két megoldás a differenciálegyenlet. Másrészt az n egész sorrendre a következő összefüggés érvényes (a gamma függvénynek egyszerű pólusai vannak minden nem pozitív egész számnál):

${\ displaystyle J _ {-n} (x) = (-1)^{n} J_ {n} (x).}$

Ez azt jelenti, hogy a két megoldás már nem lineárisan független. Ebben az esetben a második lineárisan független megoldást találjuk a második típusú Bessel -függvénynek, amint azt az alábbiakban tárgyaljuk.

Bessel integrálja

A Bessel -függvény egy másik definíciója az n egész értékeire integrált ábrázolás használatával lehetséges:

${\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ pi} \ cos (n \ tau -x \ sin \ tau) \, d \ tau = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ { -\ pi}^{\ pi} e^{i (x \ sin \ tau -n \ tau)} \, d \ tau.}$

Ezt a megközelítést alkalmazta Bessel, és ebből a definícióból származtatta a függvény számos tulajdonságát. A definíció kiterjeszthető a nem egész sorrendekre a Schläfli-integrálok egyikével, Re ( x )> 0 esetén :

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ pi} \ cos (\ alpha \ tau -x \ sin \ tau) \, d \ tau-{\ frac {\ sin \ alpha \ pi} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ infty} e^{-x \ sinh t- \ alfa t} \, dt.}$

Kapcsolat a hipergeometriai sorozatokkal

A Bessel -függvényeket az általánosított hipergeometriai sorozatok formájában fejezhetjük ki

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = {\ frac {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)^{\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ ; _ {0} F_ {1} \ bal (\ alpha +1;-{\ frac {x^{2}} {4}} \ jobb).}$

Ezt a kifejezést fejlesztésével kapcsolatos Bessel függvények szempontjából a Bessel-függvény Clifford .

Kapcsolat a Laguerre -polinomokkal

Az L _k Laguerre -polinomok és tetszőlegesen kiválasztott t paraméter tekintetében a Bessel -függvény a következőképpen fejezhető ki:

${\ displaystyle {\ frac {J _ {\ alpha} (x)} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)^{\ alpha}}} = {\ frac {e^{-t }} {\ Gamma (\ alfa +1)}} \ összeg _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {L_ {k}^{(\ alfa)} \ bal ({\ frac {x^ {2}} {4t}} \ jobb)} {\ binom {k+\ alpha} {k}}} {\ frac {t^{k}} {k!}}.}$

Második típusú Bessel -függvények: Y _α

A második típusú Bessel -függvények, amelyeket Y _α ( x ) jelöl, helyette esetenként N _α ( x ) jelölnek, a Bessel -féle differenciálegyenlet olyan megoldásai, amelyek szingularitása az origóban ( x = 0 ), és többértékűek . Ezek néha Weber funkciókat , mivel azok által bevezetett HM Weber  ( 1873 ), valamint a Neumann funkciók után Carl Neumann .

A nem-egész α , Y _α ( X ) kapcsolódik a J _α ( x ) a

${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) = {\ frac {J _ {\ alpha} (x) \ cos (\ alpha \ pi) -J _ {-\ alpha} (x)} {\ sin (\ alpha \ pi)}}}}$

Abban az esetben, egész érdekében n , a funkció határozza meg figyelembe véve a határérték, mint egy nem-egész szám α hajlamos N :

${\ displaystyle Y_ {n} (x) = \ lim _ {\ alpha \ to n} Y _ {\ alpha} (x).}$

Ha n nem negatív egész szám, akkor megvan a sorozat

${\ displaystyle Y_ {n} (z) =-{\ frac {\ left ({\ frac {z} {2}} \ right)^{-n}} {\ pi}} \ sum _ {k = 0 }^{n-1} {\ frac {(nk-1)!} {k!}} \ bal ({\ frac {z^{2}} {4}} \ jobb)^{k}+{\ frac {2} {\ pi}} J_ {n} (z) \ ln {\ frac {z} {2}}-{\ frac {\ bal ({\ frac {z} {2}} \ jobb)^ {n}} {\ pi}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} (\ psi (k+1)+\ psi (n+k+1)) {\ frac {\ left (-{ \ frac {z^{2}} {4}} \ jobb)^{k}} {k! (n+k)!}}}$

ahol a digamma függvény , a gamma függvény logaritmikus származéka . ${\ displaystyle \ psi (z)}$

Van egy megfelelő integrál képlet is ( Re ( x )> 0 esetén ):

${\ displaystyle Y_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ pi} \ sin (x \ sin \ theta -n \ theta) \, d \ théta-{\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ infty} \ left (e^{nt}+(-1)^{n} e^{-nt} \ jobb) e^{-x \ sinh t} \, dt.}$

Y _α ( x ) szükséges a Bessel -egyenlet második lineárisan független megoldásaként, ha α egész szám. De Y _α ( x ) -nek több jelentése van annál. J _α ( x ) "természetes" partnerének tekinthető. Lásd még az alábbi Hankel -funkciók alfejezetet.

Ha az α egész szám, akkor - hasonlóan az első típusú függvényekhez - a következő összefüggés érvényes:

${\ displaystyle Y _ {-n} (x) = (-1)^{n} Y_ {n} (x).}$

Mindkét J _α ( X ) és Y _α ( x ) olyan Holomorf függvények a x a komplex síkban mentén vág negatív valós tengelyen. Ha α egy egész szám, a Bessel-függvények J jelentése egész funkciókat az x . Ha x- et nem nulla értéken rögzítve tartjuk, akkor a Bessel-függvények az α teljes függvényei .

A második fajta Bessel -függvények, ha α egész szám, a Fuchs -tétel második megoldási példája .

Hankel funkciók: H⁽¹⁾
_α, H⁽²⁾
_α

A Bessel -egyenlet két lineárisan független megoldásának másik fontos megfogalmazása az első és a második fajta Hankel -függvény , H⁽¹⁾
_α( x ) és H⁽²⁾
_α( x ) , a következőképpen definiálva

${\ displaystyle {\ begin {aligned} H _ {\ alpha}^{(1)} (x) & = J _ {\ alpha} (x)+iY _ {\ alpha} (x), \\ H _ {\ alpha} ^{(2)} (x) & = J _ {\ alfa} (x) -iY _ {\ alfa} (x), \ vége {igazított}}}$

ahol i a képzeletbeli egység . Ezeket a lineáris kombinációkat harmadik típusú Bessel -függvényeknek is nevezik ; a Bessel -féle differenciálegyenlet két lineárisan független megoldása. Hermann Hankel nevéhez fűződnek .

A lineáris kombináció ezen formái számos egyszerű kinézetű tulajdonságnak felelnek meg, például aszimptotikus képleteknek vagy integrált ábrázolásoknak. Itt az "egyszerű" az e ^{i  f (x)} alakú tényező megjelenését jelenti . Az igazi hol , valós értékű, a Bessel-függvények az első és a második típusba tartozó valós és képzetes része, illetve az első Hankel funkció és a valós és a képzetes rész negatív, a második Hankel funkciót. Így a fenti képletek Euler képletének analógjai , helyettesítve H -t${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$⁽¹⁾
_α( x ) , H⁽²⁾
_α( X ) a és a , a , , mint explicit módon a aszimptotikus sor . ${\ displaystyle e^{\ pm ix}}$${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle \ cos (x)}$${\ displaystyle \ sin (x)}$

A Hankel funkciók kifejezésére használt Kifelé, befelé terjedő hengeres-hullám megoldások a hengeres hullám egyenletet, illetőleg (vagy fordítva, attól függően, hogy a jelkonvenciót a frekvencia ).

A korábbi kapcsolatokat felhasználva ezek kifejezhetők

${\ displaystyle {\ begin {aligned} H _ {\ alpha}^{(1)} (x) & = {\ frac {J _ {-\ alpha} (x) -e^{-\ alpha \ pi i} J_ {\ alpha} (x)} {i \ sin \ alpha \ pi}}, \\ H _ {\ alfa}^{(2)} (x) & = {\ frac {J _ {-\ alpha} (x) -e^{\ alfa \ pi i} J _ {\ alpha} (x)} {-i \ sin \ alpha \ pi}}. \ end {igazítva}}}$

Ha α egész szám, akkor a határt ki kell számítani. A következő összefüggések érvényesek, akár α egész szám, akár nem:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} H _ {-\ alpha}^{(1)} (x) & = e^{\ alpha \ pi i} H _ {\ alpha}^{(1)} (x), \\ H _ {-\ alpha}^{(2)} (x) & = e^{-\ alpha \ pi i} H _ {\ alfa}^{(2)} (x). \ End {aligned}} }$

Különösen, ha α = m +1/2a m negatív egész számot, a fenti kapcsolatok jelenti, hogy közvetlenül

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J _ {-(m+{\ frac {1} {2}})} (x) & = (-1)^{m+1} Y_ {m+{\ frac {1} {2}}} (x), \\ Y _ {-(m+{\ frac {1} {2}})} (x) & = (-1)^{m} J_ {m+{\ frac {1} {2}}} (x). \ End {igazított}}}$

Ezek hasznosak a gömb alakú Bessel -funkciók fejlesztésében (lásd alább).

A Hankel függvények a következő integrált ábrázolásokat fogadják el Re ( x )> 0 esetén :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} H _ {\ alpha}^{(1)} (x) & = {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {-\ infty}^{+\ infty +\ pi i} e^{x \ sinh t- \ alpha t} \, dt, \\ H _ {\ alpha}^{(2)} (x) & =-{\ frac {1} {\ pi i }} \ int _ {-\ infty}^{+\ infty-\ pi i} e^{x \ sinh t- \ alpha t} \, dt, \ end {igazított}}}$

ahol az integrálási határok egy olyan kontúr mentén történő integrációt jelzik , amely a következőképpen választható: −∞ és 0 között a negatív valós tengely mentén, 0 és ± πi között a képzeletbeli tengely mentén, és ± πi és +∞ ± πi között egy kontúrpárhuzam mentén a valódi tengelyre.

Módosított Bessel -függvények: I _α , K _α

A Bessel függvények még komplex x argumentumokra is érvényesek , és fontos speciális eset a pusztán képzeletbeli argumentum. Ebben az esetben, az oldatokat a Bessel egyenletet nevezzük a módosított Bessel funkciók (vagy esetenként a hiperbolikus Bessel-függvények ) az első és második típusú , és úgy definiáljuk, mint

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I _ {\ alpha} (x) & = i^{-\ alpha} J _ {\ alpha} (ix) = \ sum _ {m = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {m! \, \ Gamma (m+\ alfa +1)}} \ bal ({\ frac {x} {2}} \ jobb)^{2m+\ alfa}, \\ K _ {\ alpha} (x) & = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {I _ {-\ alpha} (x) -I _ {\ alfa} (x)} {\ sin \ alpha \ pi}}, \ vége {igazítva}}}$

amikor α nem egész szám; ha α egész szám, akkor a korlátot kell használni. Ezeket valódi értékűnek választjuk valós és pozitív érvekhez x . Az I _α ( x ) soros bővítése tehát hasonló a J _α ( x ) _-hez , de a váltakozó (−1) ^m tényező nélkül.

${\ displaystyle K _ {\ alpha}}$ Hankel függvényekkel fejezhető ki:

${\ displaystyle K _ {\ alpha} = {\ begin {case} {\ frac {\ pi} {2}} i^{\ alpha +1} H _ {\ alpha}^{(1)} (ix) &- \ pi <\ arg x \ leq {\ frac {\ pi} {2}} \\ {\ frac {\ pi} {2}} (-i)^{\ alpha +1} H _ {\ alpha}^{ (2)} (-ix) &-{\ frac {\ pi} {2}} <\ arg x \ leq \ pi \ end {tok}}}$

Az első és a második Bessel -függvényt a módosított Bessel -függvényekkel fejezhetjük ki (ezek akkor érvényesek, ha - π <arg z ≤π/2):

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J _ {\ alpha} (iz) & = e^{\ frac {\ alpha \ pi i} {2}} I _ {\ alpha} (z), \\ Y _ {\ alpha } (iz) & = e^{\ frac {(\ alfa +1) \ pi i} {2}} I _ {\ alfa} (z)-{\ frac {2} {\ pi}} e^{- {\ frac {\ alpha \ pi i} {2}}} K _ {\ alpha} (z). \ end {aligned}}}$

I _α ( x ) és K _α ( x ) a módosított Bessel -egyenlet két lineárisan független megoldása:

${\ displaystyle x^{2} {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}+x {\ frac {dy} {dx}}-\ left (x^{2}+\ alfa ^{2} \ jobb) y = 0.}$

Ellentétben a hagyományos Bessel-függvények, amelyek oszcilláló mint funkciók egy valós érv, én _a- és K _α vannak exponenciálisan növekvő és pusztuló funkciók ill. A J _α szokásos Bessel -függvényhez hasonlóan az I _α függvény nullára megy x = 0 esetén α > 0 esetén, és véges x = 0 esetén α = 0 esetén . Hasonlóképpen, K _α divergál x = 0 -nál , a szingularitás logaritmikus típusú K ₀ és ½Γ (| α |) (2/ x ) ^{| α |} másképp.

Az első típusú módosított Bessel -függvények, I α ( x ) , α = 0, 1, 2, 3 esetén

Második típusú módosított Bessel -függvények, K α ( x ) , α = 0, 1, 2, 3 esetén

A módosított Bessel -függvények két integrált képlete ( Re ( x )> 0 esetén ):

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I _ {\ alpha} (x) & = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ pi} e^{x \ cos \ theta} \ cos \ alpha \ theta \, d \ theta-{\ frac {\ sin \ alpha \ pi} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ infty} e^{-x \ cosh t- \ alpha t} \, dt, \\ K _ {\ alpha} (x) & = \ int _ {0}^{\ infty} e^{-x \ cosh t} \ cosh \ alpha t \, dt. \ end { igazítva}}}$

A Bessel -függvényeket a másodfokú függvények hatványainak Fourier -transzformációiként írhatjuk le. Például:

${\ displaystyle 2 \, K_ {0} (\ omega) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {e^{i \ omega t}} {\ sqrt {t^{2} +1}}} \, dt.}$

Ezt úgy lehet bizonyítani, ha egyenlőséget mutatunk a K ₀ fenti integrál definíciójával . Ez úgy történik, hogy egy zárt görbét integrálunk a komplex sík első negyedébe.

A módosított K _1/3 és K _2/3 Bessel -függvények gyorsan konvergens integrálok formájában jeleníthetők meg

${\ displaystyle {\ begin {aligned} K _ {\ frac {1} {3}} (\ xi) & = {\ sqrt {3}} \ int _ {0}^{\ infty} \ exp \ left (- \ xi \ bal (1+{\ frac {4x^{2}} {3}} \ jobb) {\ sqrt {1+{\ frac {x^{2}} {3}}}} \ jobb) \ , dx, \\ K _ {\ frac {2} {3}} (\ xi) & = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {3+2x^{2}} {\ sqrt {1+{\ frac {x^{2}} {3}}}}} \ exp \ left (-\ xi \ left (1+{\ frac {4x ^{2}} {3}} \ jobb) {\ sqrt {1+{\ frac {x^{2}} {3}}}} \ jobb) \, dx. \ End {aligned}}}$

A második típusú módosított Bessel -függvényt a következő nevekkel is nevezték (ma már ritka):

• Basset funkció Alfred Barnard Basset után
• A harmadik típusú módosított Bessel -függvény
• Módosított Hankel funkció
• Macdonald függvény Hector Munro Macdonald után

Gömb alakú Bessel -függvények: j _n , y _n

Amikor a Helmholtz -egyenletet gömbkoordinátákban oldjuk meg a változók szétválasztásával, a radiális egyenlet formája

${\ displaystyle x^{2} {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}+2x {\ frac {dy} {dx}}+\ left (x^{2} -n (n+1) \ jobb) y = 0.}$

A két lineárisan független megoldásokat ennek az egyenletnek nevezzük a gömb alakú Bessel-függvények j _n és y _n , és kapcsolódnak a rendes Bessel-függvények J _n és Y _n által

${\ displaystyle {\ begin {aligned} j_ {n} (x) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} J_ {n+{\ frac {1} {2}}} (x) , \\ y_ {n} (x) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} Y_ {n+{\ frac {1} {2}}} (x) = (-1)^ {n+1} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} J _ {-n-{\ frac {1} {2}}} (x). \ end {aligned}}}$

y _n jelentése n _n vagy η _n ; egyes szerzők ezeket a függvényeket gömb alakú Neumann -függvényeknek nevezik .

A gömb alakú Bessel -függvények így is írhatók ( Rayleigh képletei )

${\ displaystyle {\ begin {aligned} j_ {n} (x) & = (-x)^{n} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ jobb)^{n} {\ frac {\ sin x} {x}}, \\ y_ {n} (x) & =-(-x)^{n} \ bal ({\ frac {1} {x }} {\ frac {d} {dx}} \ jobb)^{n} {\ frac {\ cos x} {x}}. \ end {aligned}}}$

A _nulla gömb alakú Bessel függvény j ₀ ( x ) más néven (nem normalizált) sinc függvény . Az első néhány gömb alakú Bessel -függvény a következő:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} j_ {0} (x) & = {\ frac {\ sin x} {x}}. \\ j_ {1} (x) & = {\ frac {\ sin x} {x^{2}}}-{\ frac {\ cos x} {x}}, \\ j_ {2} (x) & = \ bal ({\ frac {3} {x^{2}}}) -1 \ jobb) {\ frac {\ sin x} {x}}-{\ frac {3 \ cos x} {x^{2}}}, \\ j_ {3} (x) & = \ left ( {\ frac {15} {x^{3}}}-{\ frac {6} {x}} \ jobb) {\ frac {\ sin x} {x}}-\ bal ({\ frac {15} {x^{2}}}-1 \ jobb) {\ frac {\ cos x} {x}} \ end {aligned}}}$

és

${\ displaystyle {\ begin {aligned} y_ {0} (x) & =-j _ {-1} (x) =-{\ frac {\ cos x} {x}}, \\ y_ {1} (x ) & = j _ {-2} (x) =-{\ frac {\ cos x} {x^{2}}}-{\ frac {\ sin x} {x}}, \\ y_ {2} ( x) & =-j _ {-3} (x) = \ bal (-{\ frac {3} {x^{2}}}+1 \ jobb) {\ frac {\ cos x} {x}}- {\ frac {3 \ sin x} {x^{2}}}, \\ y_ {3} (x) & = j _ {-4} (x) = \ left (-{\ frac {15} {x ^{3}}}+{\ frac {6} {x}} \ jobb) {\ frac {\ cos x} {x}}-\ bal ({\ frac {15} {x^{2}}} -1 \ jobb) {\ frac {\ sin x} {x}}. \ End {igazítva}}}$

Generáló funkció

A gömb alakú Bessel -függvényeknek van generáló funkciójuk

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {z}} \ cos \ left ({\ sqrt {z^{2} -2zt}} \ right) & = \ sum _ {n = 0} ^{\ infty} {\ frac {t^{n}} {n!}} j_ {n-1} (z), \\ {\ frac {1} {z}} \ sin \ left ({\ sqrt {z^{2} -2zt}} \ right) & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {t^{n}} {n!}} y_ {n-1} ( z). \ end {igazítva}}}$

Differenciális kapcsolatok

A következőkben f _n a j _n , y _n , h bármelyike⁽¹⁾
_n, h⁽²⁾
_naz n = 0, ± 1, ± 2, ...

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left ({\ frac {1} {z}} {\ frac {d} {dz}} \ right)^{m} \ left (z^{n+1} f_ {n} (z) \ jobb) & = z^{n-m+1} f_ {nm} (z), \\\ bal ({\ frac {1} {z}} {\ frac {d} { dz}} \ jobb)^{m} \ bal (z^{-n} f_ {n} (z) \ jobb) & = (-1)^{m} z^{-nm} f_ {n+m } (z). \ end {igazítva}}}$

Gömb alakú Hankel funkciók: h⁽¹⁾
_n, h⁽²⁾
_n

A Hankel -függvényeknek is vannak gömb analógjai:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {n}^{(1)} (x) & = j_ {n} (x)+iy_ {n} (x), \\ h_ {n}^{(2 )} (x) & = j_ {n} (x) -iy_ {n} (x). \ end {igazított}}}$

Valójában egyszerű zárt formájú kifejezések léteznek a fél egész rendű Bessel-függvényekre a standard trigonometrikus függvények tekintetében , és ezért a gömb alakú Bessel-függvényekre. Különösen az n nem negatív egész számok esetében :

${\ displaystyle h_ {n}^{(1)} (x) = (-i)^{n+1} {\ frac {e^{ix}} {x}} \ sum _ {m = 0}^ {n} {\ frac {i^{m}} {m! \, (2x)^{m}}} {\ frac {(n+m)!} {(nm)!}},}$

és h⁽²⁾
_nennek komplex-konjugátuma (valós x esetén ). Ebből például az következik, hogy j ₀ ( x ) =bűn x/xés y ₀ ( x ) = -cos x/x, stb.

A gömb alakú Hankel függvények a gömbhullámok terjedésével kapcsolatos problémákban jelennek meg , például az elektromágneses mező többpólusú tágulásakor .

Riccati – Bessel függvények: S _n , C _n , ξ _n , ζ _n

Riccati - Bessel funkciók csak kismértékben különböznek a gömb alakú Bessel függvényektől:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} S_ {n} (x) & = xj_ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi x} {2}}} J_ {n+{\ frac {1 } {2}}} (x) \\ C_ {n} (x) & =-xy_ {n} (x) =-{\ sqrt {\ frac {\ pi x} {2}}} Y_ {n+{ \ frac {1} {2}}} (x) \\\ xi _ {n} (x) & = xh_ {n}^{(1)} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi x } {2}}} H_ {n+{\ frac {1} {2}}}^{(1)} (x) = S_ {n} (x) -iC_ {n} (x) \\\ zeta _ {n} (x) & = xh_ {n}^{(2)} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi x} {2}}} H_ {n+{\ frac {1} {2} }}^{(2)} (x) = S_ {n} (x)+iC_ {n} (x) \ end {igazítva}}}$

Megfelelnek a differenciálegyenletnek

${\ displaystyle x^{2} {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}+\ left (x^{2} -n (n+1) \ right) y = 0. }$

Például ez a fajta differenciálegyenlet megjelenik a kvantummechanikában, miközben megoldja a Schrödinger -egyenlet radiális komponensét hipotetikus hengeres végtelen potenciális gáttal. Ez a differenciálegyenlet és a Riccati – Bessel -megoldások felmerülnek az elektromágneses hullámok gömb által történő szórásának problémájában is, amelyet Mie első szóban forgó megoldása (Mie (1908)) után Mie -szórásnak neveznek . Lásd például Du (2004) a legújabb fejleményeket és hivatkozásokat.

Miután Debye (1909), a jelölést ψ _n , χ _n néha helyett S _N , C _n .

Aszimptotikus formák

A Bessel -függvényeknek a következő aszimptotikus formái vannak. Kis argumentumok esetén 0 < z ≪ √ α + 1 , akkor kapjuk meg, ha α nem negatív egész szám:

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) \ sim {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ left ({\ frac {z} {2}} \ right)^{\ alpha }.}$

Ha α negatív egész szám, akkor van

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) \ sim {\ frac {(-1)^{\ alpha}} {(-\ alpha)!}} \ left ({\ frac {2} {z}} \ jobbra)^{\ alfa}.}$

A második típusú Bessel -függvényhez három eset áll rendelkezésre:

${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (z) \ sim {\ begin {case} {\ dfrac {2} {\ pi}} \ left (\ ln \ left ({\ dfrac {z} {2}} \ right )+\ gamma \ jobb) & {\ text {if}} \ alfa = 0 \\-{\ dfrac {\ Gamma (\ alfa)} {\ pi}} \ bal ({\ dfrac {2} {z} } \ jobb)^{\ alfa} +{\ dfrac {1} {\ Gamma (\ alfa +1)}} \ bal ({\ dfrac {z} {2}} \ jobb)^{\ alfa} \ kiságy (\ alpha \ pi) & {\ text {if}} \ alpha {\ text {nem nem pozitív egész szám (egy kifejezés dominál, hacsak}} \ alfa {\ text {képzeletbeli}}}, \\-{ \ dfrac {(-1)^{\ alfa} \ Gamma (-\ alfa)} {\ pi}} \ balra ({\ dfrac {z} {2}} \ jobb)^{\ alfa} és {\ text {if}} \ alpha {\ text {negatív egész szám,}} \ end {case}}}$

ahol γ az Euler – Mascheroni -állandó (0,5772 ...).

Nagy valós érvekhez z ≫ | α ² -1/4| , Nem lehet írni egy igazi aszimptotikus formában Bessel-függvények az első és a második fajta (kivéve, ha α jelentése fél-egész ), mert nullák egészen a végtelenig, ami kell pontosan illeszkedik bármilyen aszimptotikus sor. Azonban az arg z adott értékére írhatunk egyenletet, amely tartalmazza a | z | ⁻¹ :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J _ {\ alpha} (z) & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ left (\ cos \ left (z-{\ frac {\ alfa \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ jobb)+e^{\ bal | \ operatornév {Im} (z) \ jobb |} \ mathrm {O} \ bal ( | z |^{-1} \ jobb) \ jobb) && {\ text {for}} \ bal | \ arg z \ jobb | <\ pi, \\ Y _ {\ alpha} (z) & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ bal (\ sin \ left (z-{\ frac {\ alpha \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ jobb )+e^{\ bal | \ operatornév {Im} (z) \ jobb |} \ mathrm {O} \ bal (| z |^{-1} \ jobb) \ jobb) && {\ text {for}} \ bal | \ arg z \ jobb | <\ pi. \ end {igazítva}}}$

( Α = esetén1/2ezekben a képletekben az utolsó kifejezések teljesen kiesnek; lásd fentebb a gömb alakú Bessel -függvényeket.) Annak ellenére, hogy ezek az egyenletek igazak, jobb közelítések érhetők el a komplex z esetében . Például J ₀ ( z ), ha z közel van a negatív valós vonalhoz, jobban közelít

${\ displaystyle J_ {0} (z) \ kb {\ sqrt {\ frac {-2} {\ pi z}}} \ cos \ left (z+{\ frac {\ pi} {4}} \ right)}$

mint által

${\ displaystyle J_ {0} (z) \ kb {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ cos \ left (z-{\ frac {\ pi} {4}} \ jobb). }$

A Hankel -funkciók aszimptotikus formái:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} H _ {\ alpha}^{(1)} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e^{i \ left (z -{\ frac {\ alfa \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}}-\ pi <\ arg z <2 \ pi, \\ H _ {\ alfa}^{(2)} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e^{-i \ left (z-{\ frac {\ alfa \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}}-2 \ pi <\ arg z <\ pi. \ end {aligned}} }$

Ezek kiterjeszthetők az arg z más értékeire a H -val kapcsolatos egyenletek segítségével⁽¹⁾
_α( ze ^{im π} ) és H⁽²⁾
_α( Ze ^{im π} ) a H⁽¹⁾
_α( z ) és H⁽²⁾
_α( z ) .

Érdekes, hogy bár az első típusú Bessel -függvény a két Hankel -függvény átlaga, J _α ( z ) nem aszimptotikus e két aszimptotikus forma átlagához képest, ha z negatív (mert egyik vagy másik nem lesz ott helyes, a használt arg z függvényében ). De a Hankel-függvények aszimptotikus formái lehetővé teszik számunkra, hogy aszimptotikus formákat írjunk az első és a második típusú Bessel-függvényekhez a komplex (nem valós) z esetében , amennyiben | z | a végtelenbe megy konstans fázisszögben arg z (pozitív valós részt tartalmazó négyzetgyök használatával):

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e^{i \ left (z-{\ frac { \ alpha \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {text {for}}-\ pi <\ arg z <0, \\ J _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e^{-i \ left (z-{\ frac {\ alpha \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} 0 <\ arg z <\ pi, \\ Y _ {\ alpha} (z) & \ sim -i {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e^{i \ left (z-{\ frac {\ alpha \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} -\ pi <\ arg z <0, \\ Y _ {\ alpha} (z) & \ sim -i {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e ^{-i \ left (z-{\ frac {\ alpha \ pi} {2}}-{\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} 0 <\ arg z <\ pi. \ end {igazítva}}}$

A módosított Bessel -függvényekhez Hankel aszimptotikus (nagy érvű ) kiterjesztéseket is kifejlesztett :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {e^{z}} {\ sqrt {2 \ pi z}}} \ left (1-{\ frac { 4 \ alpha ^{2} -1} {8z}}+{\ frac {\ left (4 \ alpha ^{2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^{2} -9 \ right)} {2! (8z) ^{2}}}-{\ frac {\ left (4 \ alpha ^{2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^{2} -9 \ right) \ left ( 4 \ alfa ^{2} -25 \ jobb)} {3! (8z) ^{3}}}+\ cdots \ jobb) && {\ text {for}} \ bal | \ arg z \ jobb | <{ \ frac {\ pi} {2}}, \\ K _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2z}}} e^{-z} \ left (1+ {\ frac {4 \ alpha ^{2} -1} {8z}}+{\ frac {\ left (4 \ alpha ^{2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^{2} -9 \ jobb)} {2! (8z) ^{2}}}+{\ frac {\ left (4 \ alpha ^{2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^{2} -9 \ right ) \ left (4 \ alpha ^{2} -25 \ right)} {3! (8z) ^{3}}}+\ cdots \ right) && {\ text {for}} \ bal | \ arg z \ jobbra | <{\ frac {3 \ pi} {2}}. \ end {igazítva}}}$

Létezik aszimptotikus forma is (nagy valódi ) ${\ displaystyle z}$

Amikor α =1/2, minden feltétel eltűnik, kivéve az elsőt, és megvan

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I _ {\ frac {1} {2}} (z) & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ sinh (z) \ sim {\ frac {e^{z}} {\ sqrt {2 \ pi z}} && {\ text {for}} \ bal | \ arg z \ jobb | <{\ tfrac {\ pi} {2}}, \ \ K _ {\ frac {1} {2}} (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2z}}} e^{-z}. \ End {aligned}}}$

Kis érvekhez 0 <| z | ≪ √ α + 1 , megvan

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ left ({\ frac {z} {2}} \ jobb)^{\ alfa}, \\ K _ {\ alfa} (z) & \ sim {\ begin {case}-\ ln \ left ({\ dfrac {z} {2}} \ right)-\ gamma & {\ text {if}} \ alfa = 0 \\ {\ frac {\ Gamma (\ alfa)} {2}} \ balra ({\ dfrac {2} {z}} \ jobbra)^{\ alpha} & {\ text {if}} \ alpha> 0 \ end {case}} \ end {aligned}}}$

Teljes tartomány közelítés elemi függvényekkel

A Bessel -függvény nagyon jó közelítése (hiba az 1 -es maximális érték alatt ) az x argumentum tetszőleges értékéhez az elemi függvényekkel érhető el, ha az x kisebb értékein dolgozó trigonometrikus közelítést összekapcsoljuk a csillapított koszinuszfüggvényt tartalmazó kifejezéssel érvényes a nagy érvekre a sima átmenet funkció használatával, pl ${\ displaystyle 0.3 \%}$${\ displaystyle J_ {0}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {1+ (x/7)^{20}}}}$

${\ displaystyle J_ {0} (x) \ kb \ left [{\ frac {1} {6}}+{\ frac {1} {3}} \ cos {\ frac {x} {2}}+{ \ frac {1} {3}} \ cos {\ frac {{\ sqrt {3}} x} {2}}+{\ frac {1} {6}} \ cos x \ right] {\ frac {1 } {1+ (x/7)^{20}}}+{\ sqrt {\ frac {2} {\ pi | x |}}} \ cos \ left [x-{\ frac {\ pi} {4 }} \ operatornév {sgn} (x) \ jobb] \ bal [1-{\ frac {1} {1+ (x/7)^{20}}} \ jobb].}$

Tulajdonságok

Az α = n egész sorrend esetén J _n -t gyakran Laurent -sorozaton keresztül határozzák meg egy generáló függvényhez:

${\ displaystyle e^{\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ left (t-{\ frac {1} {t}} \ right)} = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} J_ {n} (x) t^{n}}$

megközelítés által használt PA Hansen 1843-ban (Ez általánosítható, hogy nem egész sorrendben kontúr integrációs vagy más módszerekkel.) Egy másik fontos vonatkozásában integer megrendelések a Jacobi-Anger bővítése :

${\ displaystyle e^{iz \ cos \ phi} = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} i^{n} J_ {n} (z) e^{in \ phi}}$

és

${\ displaystyle e^{\ pm iz \ sin \ phi} = J_ {0} (z) +2 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} J_ {2n} (z) \ cos (2n \ phi ) \ pm 2i \ sum _ {n = 0}^{\ infty} J_ {2n+1} (z) \ sin ((2n+1) \ phi)}$

amelyet bővíteni a síkhullám mint összege hengeres hullámok , vagy megtalálni a Fourier-sor egy hang modulált FM jelet.

Általánosabban egy sorozat

${\ displaystyle f (z) = a_ {0}^{\ nu} J _ {\ nu} (z) +2 \ cdot \ sum _ {k = 1}^{\ infty} a_ {k}^{\ nu } J _ {\ nu +k} (z)}$

f -nek Neumann -bővítésének nevezik . A ν = 0 együtthatóinak kifejezett formája van

${\ displaystyle a_ {k}^{0} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {| z | = c} f (z) O_ {k} (z) \, dz}$

ahol O _k jelentése Neumann polinom .

A kiválasztott funkciók elismerik a különleges megjelenítést

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k}^{\ nu} J _ {\ nu +2k} (z)}$

val vel

${\ displaystyle a_ {k}^{\ nu} = 2 (\ nu +2k) \ int _ {0}^{\ infty} f (z) {\ frac {J _ {\ nu +2k} (z)} {z}} \, dz}$

az ortogonalitás összefüggés miatt

${\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} J _ {\ alpha} (z) J _ {\ beta} (z) {\ frac {dz} {z}} = {\ frac {2} {\ pi }} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} (\ alfa -\ beta) \ right)} {\ alpha ^{2} -\ beta ^{2}}}}$

Általánosabban, ha f- nek van egy elágazási pontja az ilyen jellegű eredet közelében, hogy

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 0} a_ {k} J _ {\ nu +k} (z)}$

azután

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ sum _ {k = 0} a_ {k} J _ {\ nu +k} \ right \} (s) = {\ frac {1} {\ sqrt {1+s^{2}}}} \ összeg _ {k = 0} {\ frac {a_ {k}} {\ bal (s+{\ sqrt {1+s^{2}}} \ jobb)^ {\ nu +k}}}}$

vagy

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} a_ {k} \ xi ^{\ nu +k} = {\ frac {1+ \ xi ^{2}} {2 \ xi}} {\ mathcal {L} } \ {f \} \ bal ({\ frac {1- \ xi ^{2}} {2 \ xi}} \ jobb)}$

ahol van a Laplace-transzformáció az f . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \}}$

A Bessel-függvények meghatározásának másik módja a Poisson-ábrázolási képlet és a Mehler-Sonine képlet:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J _ {\ nu} (z) & = {\ frac {\ left ({\ frac {z} {2}} \ right)^{\ nu}} {\ Gamma \ left (\ nu +{\ frac {1} {2}} \ jobb) {\ sqrt {\ pi}}}} \ int _ {-1}^{1} e^{izs} \ left (1-s^ {2} \ jobb)^{\ nu -{\ frac {1} {2}}} \, ds \\ [5px] & = {\ frac {2} {{\ left ({\ frac {z} { 2}} \ jobb)}}^{\ nu} \ cdot {\ sqrt {\ pi}} \ cdot \ Gamma \ bal ({\ frac {1} {2}}-\ nu \ jobb)}} \ int _ {1}^{\ infty} {\ frac {\ sin zu} {\ left (u^{2} -1 \ right)^{\ nu +{\ frac {1} {2}}}}}} \, du \ end {igazítva}}}$

ahol ν> -1/2és z ∈ C . Ez a képlet különösen akkor hasznos, ha Fourier -transzformációkkal dolgozik .

Mivel Bessel egyenlete x-el osztva hermitikus (önadjunktív) lesz , a megoldásoknak meg kell felelniük a megfelelő peremfeltételekhez szükséges ortogonalitási viszonynak. Különösen az következik, hogy:

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} xJ _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, m} \ right) J _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, n} \ right) \ , dx = {\ frac {\ delta _ {m, n}} {2}} \ bal [J _ {\ alfa +1} \ bal (u _ {\ alfa, m} \ jobb) \ jobb]^{2} = {\ frac {\ delta _ {m, n}} {2}} \ bal [J _ {\ alfa} '\ bal (u _ {\ alfa, m} \ jobb) \ jobb]^{2}}$

ahol α > -1 , δ _{m , n} jelentése a Kronecker-delta , és u _{a- , m} jelentése a m edik nulla a J _α ( x ) . Ez az ortogonalitás -reláció felhasználható a Fourier – Bessel -sorozat együtthatóinak kinyerésére , ahol a függvényt a J _α ( x u _{α , m} ) függvények alapján bővítjük fix α és változó m esetén .

A gömb alakú Bessel -függvények analóg kapcsolata azonnal következik:

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} x^{2} j _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, m} \ right) j _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, n } \ jobb) \, dx = {\ frac {\ delta _ {m, n}} {2}} \ bal [j _ {\ alfa +1} \ bal (u _ {\ alfa, m} \ jobb) \ jobb ]^{2}}$

Ha az egyik meghatározza a tehervagon funkciója az x , hogy attól függ, egy kis paraméter ε , mint:

${\ displaystyle f _ {{varepsilon} (x) = \ varepsilon \ operatornév {rect} \ left ({\ frac {x-1} {\ varepsilon}} \ right)}$

(ahol egyenes a téglalap függvény ), akkor annak Hankel -transzformációja (bármely adott sorrendben α > -1/2), g _ε ( k ) , megközelíti J _α ( k ) -t, mint ε nullához, bármelyik k esetében . Ezzel szemben, a Hankel transzformáció (az ugyanabban a sorrendben) a g _ε ( k ) jelentése F _ε ( x ) :

${\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} kJ _ {\ alpha} (kx) g _ {\ varepsilon} (k) \, dk = f _ {\ varepsilon} (x)}$

amely mindenhol nulla, kivéve az 1. közelét . Mivel ε megközelíti a nullát, a jobb oldal közeledik a δ ( x- 1) értékhez , ahol δ a Dirac-delta függvény . Ez elismeri a határt ( elosztási értelemben):

${\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} kJ _ {\ alpha} (kx) J _ {\ alpha} (k) \, dk = \ delta (x-1)}$

A változók változása a zárási egyenletet adja :

${\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} xJ _ {\ alpha} (ux) J _ {\ alpha} (vx) \, dx = {\ frac {1} {u}} \ delta (uv)}$

A α > -1/2. A Hankel -transzformáció meglehetősen tetszőleges függvényt fejezhet ki, mint a különböző léptékű Bessel -függvények integrálja. A gömb alakú Bessel -függvények esetében az ortogonalitás összefüggése:

${\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} x^{2} j _ {\ alpha} (ux) j _ {\ alpha} (vx) \, dx = {\ frac {\ pi} {2u^{ 2}}} \ delta (uv)}$

az α > -1 .

A Bessel -egyenletek másik fontos tulajdonsága, amely Abel személyazonosságából következik , magában foglalja a megoldások Wronskian -ját :

${\ displaystyle A _ {\ alpha} (x) {\ frac {dB _ {\ alpha}} {dx}}-{\ frac {dA _ {\ alpha}} {dx}} B _ {\ alpha} (x) = { \ frac {C _ {\ alfa}} {x}}}$

ahol A _α és B _α a Bessel -egyenlet tetszőleges két megoldása, és C _α az x -től független konstans (amely függ az α -tól és az adott Bessel -függvényektől). Különösen,

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) {\ frac {dY _ {\ alpha}} {dx}}-{\ frac {dJ _ {\ alpha}} {dx}} Y _ {\ alpha} (x) = { \ frac {2} {\ pi x}}}$

és

${\ displaystyle I _ {\ alpha} (x) {\ frac {dK _ {\ alpha}} {dx}}-{\ frac {dI _ {\ alpha}} {dx}} K _ {\ alpha} (x) =- {\ frac {1} {x}},}$

az α > -1 .

Az α > -1 , az akár egész funkciója nemzetség 1, X ^{- α} J _α ( x ) , csak a valódi nullás. Hagyja

${\ displaystyle 0 <j _ {\ alpha, 1} <j _ {\ alpha, 2} <\ cdots <j _ {\ alpha, n} <\ cdots}$

akkor minden pozitív nulla legyen

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) = {\ frac {\ left ({\ frac {z} {2}} \ right)^{\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ bal (1-{\ frac {z^{2}} {j _ {\ alpha, n}^{2}}} \ jobb)}$

(Számos más integrál és identitás ismert, amelyeket itt nem reprodukálnak, de megtalálhatók a referenciákban.)

Ismétlődési kapcsolatok

A J _α , Y _α , H függvények⁽¹⁾
_αés H⁽²⁾
_αmindegyik kielégíti az ismétlődő kapcsolatokat

${\ displaystyle {\ frac {2 \ alpha} {x}} Z _ {\ alpha} (x) = Z _ {\ alfa -1} (x) +Z _ {\ alfa +1} (x)}$

és

${\ displaystyle 2 {\ frac {dZ _ {\ alpha} (x)} {dx}} = Z _ {\ alfa -1} (x) -Z _ {\ alfa +1} (x),}$

ahol Z jelentése J , Y , H ⁽¹⁾ vagy H ⁽²⁾ . Ezt a két identitást gyakran kombinálják, pl. Összeadják vagy kivonják, hogy különböző más összefüggéseket kapjanak. Így például kiszámítható a magasabb rendű (vagy magasabb származékos) Bessel -függvény, tekintettel az alacsonyabb rendű (vagy alacsonyabb származékos) értékekre. Különösen ebből következik

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ right)^{m} \ left [x^{\ alpha} Z_ { \ alpha} (x) \ jobb] & = x^{\ alfa -m} Z _ {\ alfa -m} (x), \\\ bal ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d } {dx}} \ jobb)^{m} \ balra [{\ frac {Z _ {\ alfa} (x)} {x^{\ alpha}}} jobbra & = (-1)^{m} {\ frac {Z _ {\ alpha +m} (x)} {x^{\ alpha +m}}}. \ end {igazítva}}}$

A módosított Bessel -függvények hasonló összefüggéseket követnek:

${\ displaystyle e^{\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ left (t+{\ frac {1} {t}} \ right)} = \ sum _ {n =-\ infty }^{\ infty} I_ {n} (x) t^{n}}$

és

${\ displaystyle e^{z \ cos \ theta} = I_ {0} (z) +2 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} I_ {n} (z) \ cos n \ theta.}$

és

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0}^{2 \ pi} e^{z \ cos (m \ theta)+y \ cos \ theta} d \ theta = I_ {0} (z) I_ {0} (y) +2 \ összeg _ {n = 1}^{\ infty} I_ {n} (z) I_ {mn} (y).}$

Az ismétlődési reláció olvasható

${\ displaystyle {\ begin {aligned} C _ {\ alpha -1} (x) -C _ {\ alpha +1} (x) & = {\ frac {2 \ alpha} {x}} C _ {\ alpha} ( x), \\ C _ {\ alfa -1} (x) +C _ {\ alpha +1} (x) & = 2 {\ frac {dC _ {\ alpha}} {dx}}, \ end {aligned}} }$

ahol C _α jelentése I _α vagy e ^{αi π} K _α . Ezek az ismétlődési összefüggések hasznosak diszkrét diffúziós problémák esetén.

Szorzótétel

A Bessel -függvények engedelmeskednek a szorzótételnek

${\ displaystyle \ lambda ^{-\ nu} J _ {\ nu} (\ lambda z) = \ sum _ {n = 0} ^{\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ left ({ \ frac {\ bal (1- \ lambda ^{2} \ jobb) z} {2}} \ jobb) ^{n} J _ {\ nu +n} (z),}$

ahol λ és ν tetszőleges komplex számnak tekinthető. A | számára λ ² - 1 | <1 , a fenti kifejezés akkor is érvényes, ha J helyére Y lép . Az analóg azonosságok a módosított Bessel -függvényekhez és | λ ² - 1 | <1 van

${\ displaystyle \ lambda ^{-\ nu} I _ {\ nu} (\ lambda z) = \ sum _ {n = 0} ^{\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ left ({ \ frac {\ bal (\ lambda ^{2} -1 \ jobb) z} {2}} \ jobb) ^{n} I _ {\ nu +n} (z)}$

és

${\ displaystyle \ lambda^{-\ nu} K _ {\ nu} (\ lambda z) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n}} {n !}} \ bal ({\ frac {\ left (\ lambda ^{2} -1 \ right) z} {2}} \ right) ^{n} K _ {\ nu +n} (z).}$

A Bessel függvény nullái

Bourget hipotézise

Bessel maga eredetileg bebizonyította, hogy a nemnegatív egészek n , az egyenlet J _n ( x ) = 0 van egy végtelen számú megoldások x . Ha azonban a J _n ( x ) függvényeket ugyanazon a grafikonon ábrázoljuk, úgy tűnik, hogy a nullák egyike sem esik egybe az n különböző értékeihez, kivéve az x = 0 nullát . Ezt a jelenséget Bourget hipotéziseként ismerik a 19. századi francia matematikus után, aki Bessel-függvényeket tanulmányozott. Konkrétan kijelenti, hogy minden n ≥ 0 és m ≥ 1 egész szám esetén a J _n ( x ) és a J _{n + m} ( x ) függvényeknek nincs közös nulla, kivéve az x = 0 pontot . A hipotézist Carl Ludwig Siegel bizonyította 1929 -ben.

Numerikus megközelítések

A Bessel -függvény nulláiról szóló numerikus vizsgálatokhoz lásd Gil, Segura & Temme (2007) , Kravanja et al. (1998) és Moler (2004) .

Lásd még

Megjegyzések

Hivatkozások

Külső linkek