Matrice entière - Integer matrix
En mathématiques , une matrice entière est une matrice dont les entrées sont toutes des entiers . Les exemples incluent les matrices binaires , la matrice zéro , la matrice de uns , la matrice d'identité et les matrices de contiguïté utilisées dans la théorie des graphes , entre autres. Les matrices entières trouvent une application fréquente en combinatoire .
Exemples
- et
sont tous deux des exemples de matrices entières.
Propriétés
L'inversibilité des matrices entières est en général plus stable numériquement que celle des matrices non entières. Le déterminant d'une matrice entière est lui-même un entier, donc la plus petite grandeur numériquement possible du déterminant d'une matrice entière inversible est un , donc là où des inverses existent, ils ne deviennent pas excessivement grands (voir le numéro de condition ). Les théorèmes de la théorie matricielle qui déduisent les propriétés des déterminants évitent ainsi les pièges induits par des matrices à valeurs réelles ou flottantes mal conditionnées ( déterminant presque zéro) .
L'inverse d'une matrice entière est à nouveau une matrice entière si et seulement si le déterminant de égal ou . Les matrices entières de déterminant forment le groupe , qui a de vastes applications en arithmétique et en géométrie . Car , il est étroitement lié au groupe modulaire .
L'intersection des matrices entières avec le groupe orthogonal est le groupe des matrices de permutation signées .
Le polynôme caractéristique d'une matrice entière a des coefficients entiers. Puisque les valeurs propres d'une matrice sont les racines de ce polynôme, les valeurs propres d'une matrice entière sont des entiers algébriques . En dimension inférieure à 5 , ils peuvent ainsi être exprimés par des radicaux impliquant des nombres entiers.
Les matrices entières sont parfois appelées matrices intégrales , bien que cette utilisation soit déconseillée.
