Heltalsmatrix - Integer matrix
I matematik er en heltalmatrix en matrix, hvis poster er alle heltal . Eksempler inkluderer binære matricer , nulmatrixen , matrixen til dem , identitetsmatricen og adjacensmatricerne, der anvendes i grafteori , blandt mange andre. Heltalsmatricer finder hyppig anvendelse i kombinatorik .
Eksempler
- og
er begge eksempler på heltalmatricer.
Ejendomme
Inverterbarhed af heltalmatricer er generelt mere numerisk stabil end for ikke-heltalmatricer. Den determinant af et heltal matrix er selv et helt tal, således den numerisk mindst mulige størrelse af determinanten af en invertibel heltal matrix er en , dermed hvor inverse findes de ikke bliver for stor (se betingelse nummer ). Teoremer fra matrixteori, der udleder egenskaber fra determinanter, undgår således de fælder, der induceres af dårligt konditionerede ( næsten nul determinant) reelle eller flydende matriser.
Inversen af en heltalmatrix er igen en heltalmatrix, hvis og kun hvis determinanten er lig med eller . Heltalsmatricer af determinant danner gruppen , som har vidtrækkende anvendelser inden for aritmetik og geometri . For det er tæt knyttet til den modulære gruppe .
Skæringspunktet mellem de heltalsmatricer med den ortogonale gruppe er gruppen af signerede permutationsmatricer .
Den karakteristiske polynom af en heltalmatrix har heltalskoefficienter. Da egenværdierne for en matrix er rødderne til dette polynom, er egenværdierne for en heltalmatrix algebraiske heltal . I dimension mindre end 5 kan de således udtrykkes ved radikaler, der involverer heltal.
Heltalsmatricer kaldes undertiden integrerede matricer , selvom denne brug frarådes.
