Isogeny - Isogeny
Erityisesti matematiikassa, algebrallisessa geometriassa, isogeeni on algebrallisten ryhmien (alias ryhmälajikkeiden ) morfismi , joka on surjektiivinen ja jolla on rajallinen ydin .
Jos ryhmät ovat Abelin lajikkeita , sitten kaikki morfismi f : → B perustana olevien algebrallinen lajikkeita, jotka on surjective äärellinen kuitujen , on automaattisesti isogeny, edellyttäen, että f (1 ) = 1 B . Tällainen isogeeninen f tarjoaa sitten ryhmän homomorfismin k- arvoisten pisteiden A ja B ryhmien välillä mille tahansa kentälle k, jonka yli f on määritelty.
Termit "isogeeni" ja "isogeeninen" ovat peräisin kreikkalaisesta sanasta ισογενη-ς, joka tarkoittaa "tasa-arvoinen luontoon tai luonteeseen". Termin "isogeny" otti käyttöön Weil ; ennen tätä termiä "isomorfismi" käytettiin jonkin verran hämmentävästi siihen, mitä nyt kutsutaan isogeeniksi.
Abelin lajikkeiden tapaus
Saat Abelin lajikkeita , kuten elliptinen käyrät , tämä käsite voidaan muotoilla seuraavasti:
Olkoon E 1 ja E 2 saman kokoiset abelin lajikkeet kentän k yli . Isogeny välillä E 1 ja E 2 on tiheä morfismi f : E 1 → E 2 lajikkeita, joka säilyttää kulmapisteiden (eli f kartoittaa identiteetin piste E 1 ja että E 2 ).
Tämä vastaa yllä olevaa käsitystä, koska jokainen tiheä morfismi kahden saman ulottuvuuden abelilaisen lajikkeen välillä on automaattisesti surjektiivinen äärellisillä kuiduilla, ja jos se säilyttää identiteetit, se on ryhmien homomorfismi.
Kaksi abelilaista lajiketta E 1 ja E 2 kutsutaan isogeenisiksi, jos on isogeenia E 1 → E 2 . Tämän voidaan osoittaa olevan ekvivalenssisuhde; elliptisten käyrien tapauksessa symmetria johtuu kaksois isogeenian olemassaolosta . Kuten edellä, jokainen isogeenia indusoi abelilaisten lajikkeiden k-arvoisten pisteiden ryhmien homomorfismeja.
Katso myös
Viitteet
- Lang, Serge (1983). Abelin lajikkeet . Springer Verlag. ISBN 3-540-90875-7 .
- Mumford, David (1974). Abelin lajikkeet . Oxford University Press. ISBN 0-19-560528-4 .
