Beta -toiminto - Beta function

On matematiikka , beeta-toiminto , jota kutsutaan myös Euler kiinteä ensimmäisen lajin, on erityinen toiminto , joka on läheistä sukua gammafunktion ja Binomikertoimien . Se määritetään integraalilla

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt}$

ja kompleksiluku tulojen x , y siten, että Re x > 0, Re y > 0 .

Euler ja Legendre tutkivat beeta -toimintoa, ja sen nimen antoi Jacques Binet ; sen symboli Β on kreikkalainen pääoman beta .

Ominaisuudet

Beetatoiminto on symmetrinen , mikä tarkoittaa sitä

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

kaikille tuloille x ja y .

Beetafunktion keskeinen ominaisuus on sen läheinen suhde gammafunktioon : sellainen on

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}.}$

(Todiste on annettu alla kohdassa Suhde gammafunktioon .)

Beetatoiminto liittyy myös läheisesti binomikertoimiin . Kun x (tai y symmetrisesti) on positiivinen kokonaisluku, gammafunktion Γ määritelmästä seuraa, että

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x+y-1) _ {x}}} = {\ frac {x+y} {xy }} \ cdot {\ frac {1} {\ binom {x+y} {x}}}.}$

Suhde gamma -funktioon

Yksinkertainen johtosuhde löytyy Emil Artinin kirjasta Gammafunktio , sivut 18–19. Jos haluat johtaa tämän suhteen, kirjoita kahden tekijän tulo nimellä ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-u} u^{x-1} \, du \ cdot \ int _ {v = 0}^{\ infty} \ e^{-v} v^{y-1} \, dv \\ [6pt] & = \ int _ {v = 0}^{ \ infty} \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-uv} u^{x-1} v^{y-1} \, du \, dv. \ end {aligned}} }$

Muuttujien muuttaminen u = zt ja v = z (1 - t ) tuottaa

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} \ int _ {t = 0}^{1} e^{- z} (zt)^{x-1} (z (1-t))^{y-1} z \, dt \, dz \\ [6pt] & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} e^{-z} z^{x+y-1} \, dz \ cdot \ int _ {t = 0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y- 1} \, dt \\ & = \ Gamma (x+y) \ cdot \ mathrm {B} (x, y). \ End {aligned}}}$

Kun jaat molemmat puolet, saat halutun tuloksen. ${\ displaystyle \ Gamma (x+y)}$

Ilmoitettua identiteettiä voidaan pitää konvoluution integraalin identiteetin erityistapauksena . Ottaa

${\ displaystyle {\ begin {aligned} f (u) &: = e^{-u} u^{x-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}} \\ g (u) &: = e^{-u} u^{y-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}}, \ end {aligned}}}$

yhdellä on:

${\ displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (u) \, du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \, du = \ int _ {\ mathbb {R}} (f*g) (u) \, du = \ mathrm {B} (x, y) \, \ Gamma (x+y).}$

Johdannaiset

Meillä on

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ osittainen x}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ frac {\ Gamma '(x) } {\ Gamma (x)}}-{\ frac {\ Gamma '(x+y)} {\ Gamma (x+y)}} \ oikea) = \ mathrm {B} (x, y) {\ iso (} \ psi (x)-\ psi (x+y) {\ iso)},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ osittainen x_ {m}}} \ mathrm {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {n}) = \ mathrm {B} ( x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {n}) {\ iso (} \ psi (x_ {m})-\ psi (\ summa _ {k = 1}^{n} x_ {k }) {\ iso)}, 1 \ neliömetriä \ leq n}$

Lähestyminen

Stirlingin lähentäminen antaa asymptoottisen kaavan

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {x^{x-1/2} y^{y-1/2}} {({ x+y})^{x+y-1/2}}}}$

isoille x ja suurille y . Jos toisaalta x on suuri ja y on kiinteä, niin

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \, x^{-y}.}$

Muut identiteetit ja kaavat

Beetatoiminnon määrittelevä integraali voidaan kirjoittaa uudelleen useilla eri tavoilla, mukaan lukien seuraavat:

jossa viimeisessä identiteetissä n on mikä tahansa positiivinen reaaliluku. (Ensimmäisestä integraalista toiseen voidaan siirtyä korvaamalla .) ${\ displaystyle t = \ tan ^{2} (\ theta)}$

Beetafunktio voidaan kirjoittaa äärettömäksi summaksi

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(1-x) _ {n}} {(y+n) n!} }}$(missä on nouseva tekijä )${\ displaystyle (x) _ {n}}$

ja loputtomana tuotteena

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {x+y} {xy}} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ vasen (1+{\ dfrac {xy} {n (x+y+n)}} \ oikea)^{-1}.}$

Beetatoiminto täyttää useita identiteettejä, jotka vastaavat binomikertoimien vastaavia identiteettejä, mukaan lukien Pascalin identiteetin versio

ja yksinkertainen toistuminen yhdellä koordinaatilla:

Varten , beeta-toiminto voidaan kirjoittaa ehtojen konvoluution johon katkaistu virta toiminto t ↦ t${\ displaystyle x, y \ geq 1}$ ^x
₊:

Arvioinnit tietyissä kohdissa voivat yksinkertaistua merkittävästi; esimerkiksi,

ja

Ottaen huomioon tämän viimeisen kaavan voidaan päätellä erityisesti, että Γ (1/2) = √ π . Voidaan myös yleistää viimeinen kaava kaksimuuttujaiseksi identiteetiksi beetafunktioiden tuotteelle: ${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$

Eulerin olennainen beeta-toiminto voidaan muuntaa olennainen yli Pochhammer ääriviivan C kuin

${\ displaystyle \ left (1-e^{2 \ pi i \ alpha} \ right) \ left (1-e^{2 \ pi i \ beta} \ right) \ mathrm {B} (\ alfa, \ beta ) = \ int _ {C} t^{\ alfa -1} (1 -t)^{\ beta -1} \, dt.}$

Tämä Pochhammerin ääriviivaintegraali yhtyy kaikkiin α- ja β -arvoihin ja antaa siten beeta -funktion analyyttisen jatkeen .

Aivan kuten kokonaislukujen gammafunktio kuvaa kertoimia , beetafunktio voi määrittää binomikertoimen indeksien säätämisen jälkeen:

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {1} {(n+1) \ mathrm {B} (n-k+1, k+1)}}.}}$

Lisäksi kokonaisluku n , Β voidaan laskea, jolloin suljetussa muodossa interpolointitoiminnon jatkuvaan arvojen k :

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = (-1)^{n} \, n! \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ displaystyle \ prod _ {i = 0}^{n} (ki)}}.}$

Vastavuoroinen beetatoiminto

Vastavuoroinen beeta-toiminto on toiminto noin muodossa

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (x, y)}}}$

Mielenkiintoista, niiden olennainen esitykset liittyy läheisesti kuin määrätty integraali sekä trigonometriset funktiot tuotteen kanssa sen voima ja useampi kuvakulma :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ sin {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ vasen ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} } \ oikea)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ vasen ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} } \ oikea)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ cos ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ vasen ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} } \ oikea)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi} {2 ^{x} x \ mathrm {B} \ vasen ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2}} \ oikea)}}}$

Epätäydellinen beetatoiminto

Epätäydellinen beeta-toiminto , yleistys beeta-toiminto on määritelty niin,

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0}^{x} t^{a-1} \, (1-t)^{b-1} \, dt.}$

Jos x = 1 , epätäydellinen betatoiminto vastaa täydellistä beetafunktiota. Kahden funktion välinen suhde on kuin gammafunktion ja sen epätäydellisen gammafunktion yleistämisen välinen suhde .

Säädellään epätäydellinen beeta-toiminto (tai regularisoitua beeta-toiminto lyhyen) on määritelty kannalta epätäydellinen beeta-toiminto ja koko beeta-toiminto:

${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}$

Säädellään epätäydellinen beeta-toiminto on kertymäfunktio on beta-jakauma , ja liittyy kertymäfunktio on satunnainen muuttuja X jälkeen binomijakauman todennäköisyydellä yhden onnistumisen p ja useita Bernoulli kokeiden n : ${\ displaystyle F (k; \, n, p)}$

${\ displaystyle F (k; \, n, p) = \ Pr \ left (X \ leq k \ right) = I_ {1-p} (nk, k+1) = 1-I_ {p} (k+ 1, nk).}$

Ominaisuudet

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I_ {0} (a, b) & = 0 \\ I_ {1} (a, b) & = 1 \\ I_ {x} (a, 1) & = x^ {a} \\ I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x)^{b} \\ I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) \\ I_ {x} (a+1, b) & = I_ {x} (a, b)-{\ frac {x^{a} (1-x)^{b}} {a \ mathrm {B} (a, b)}} \\ I_ {x} (a, b+1) & = I_ {x} (a, b)+{\ frac {x^{a} (1-x) ^{b}} {b \ mathrm {B} (a, b)}} \\\ mathrm {B} (x; a, b) & = (-1)^{a} \ mathrm {B} \ vasen ({\ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab \ oikea) \ end {aligned}}}$

Monimuuttuja beeta -toiminto

Beetatoiminto voidaan laajentaa funktioon, jossa on enemmän kuin kaksi argumenttia:

${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \, \ Gamma (\ alfa _ {2}) \ cdots \ Gamma (\ alfa _ {n})} {\ Gamma (\ alfa _ {1}+\ alfa _ {2}+\ cdots+\ alfa _ {n}) }}.}$

Tätä monimuuttuja -beetafunktiota käytetään Dirichlet -jakauman määrittelyssä . Sen suhde beeta -funktioon on analoginen moninomisten kertoimien ja binomikertoimien välisen suhteen kanssa .

Sovellukset

Beeta-toiminto on hyödyllinen laskettaessa ja edustaa sironta amplitudi varten Regge liikeradat . Lisäksi se oli ensimmäinen tunnettu sironta amplitudi on säieteoria , ensimmäinen conjectured Gabriele Veneziano . Se esiintyy myös etuuskohteluun liittyvän kiinnitysprosessin teoriassa , eräänlainen stokastinen urnaprosessi . Beetatoiminto on tärkeä myös tilastoissa, esim. Beta -jakelussa ja Beta -pääjakelussa . Kuten aiemmin lyhyesti mainittiin, beetafunktio on läheisesti sidoksissa gammafunktioon ja sillä on tärkeä rooli laskennassa .

Ohjelmiston toteutus

Vaikka ne eivät olisikaan suoraan saatavilla, täydelliset ja epätäydelliset beetafunktion arvot voidaan laskea käyttämällä laskentataulukko- tai tietokonealgebrajärjestelmiin yleisesti sisältyviä funktioita . Esimerkiksi Excelissä koko beeta -arvo voidaan laskea GammaLnfunktiosta:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Epätäydellinen beta -arvo voidaan laskea seuraavasti:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Nämä tulokset ovat peräisin yllä luetelluista ominaisuuksista .

Vastaavasti, betainc(epätäydellinen beeta-toiminto) on MATLAB ja GNU Octave , pbeta(todennäköisyys beeta jakelujärjestelmä) R , tai special.betaincin Pythonin SciPy paketti Laske säädellään epätäydellinen beeta-toiminto -joka on, itse asiassa, kumulatiivinen beeta jakelu-ja niin, saada todellinen epätäydellinen beetafunktio, tulos on kerrottava betaincvastaavan betafunktion palauttamalla tuloksella . Vuonna Mathematica , Beta[x, a, b]ja BetaRegularized[x, a, b]antaa ja , vastaavasti. ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b)}$${\ displaystyle I_ {x} (a, b)}$

Katso myös

• Betajakelu ja Beta -pääjakelu , kaksi todennäköisyysjakaumaa, jotka liittyvät beeta -toimintoon
• Jacobin summa , beetatoiminnon analogi äärellisten kenttien yli .
• Nörlund – Riisi -integraali
• Yule – Simon jakelu

Viitteet

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Beta -toiminto" , julkaisussa Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (toim.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Zelen, M .; Severo, NC (1972), "26. Todennäköisyysfunktiot", Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (toim.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications , s.  925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Davis, Philip J. (1972), "6. Gammafunktio ja siihen liittyvät toiminnot", julkaisussa Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (toim.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Paris, RB (2010), "Epätäydelliset beetafunktiot" , julkaisussa Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (toim.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Osa 6.1 Gammafunktio, beetafunktio, tekijät" , Numeeriset reseptit: The Art of Scientific Computing (3. painos), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Ulkoiset linkit

• "Beta-toiminto" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Arviointi beeta toiminnon käyttäen Laplace-muunnoksen klo PlanetMath .
• Mielivaltaisesti tarkkoja arvoja voi saada seuraavista:
  • Wolfram -toimintojen sivusto : Arvioi beetasäännöllinen, epätäydellinen beeta
  • danielsoper.com: Epätäydellinen beetafunktiolaskin , säännöllinen epätäydellinen beetafunktiolaskin