Betafunktion - Beta function

I matematik er betafunktionen , også kaldet Euler -integralen af den første slags, en særlig funktion, der er tæt forbundet med gamma -funktionen og med binomiske koefficienter . Det er defineret af integralet

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt}$

for komplekse talindgange x , y således at Re x > 0, Re y > 0 .

Betafunktionen blev undersøgt af Euler og Legendre og fik sit navn af Jacques Binet ; dens symbol Β er en græsk hovedstad beta .

Ejendomme

Betafunktionen er symmetrisk , hvilket betyder, at

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

for alle input x og y .

En nøgleegenskab ved betafunktionen er dens nære relation til gamafunktionen : man har det

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}.}$

(Et bevis er givet nedenfor i § Forholdet til gammafunktionen .)

Betafunktionen er også tæt forbundet med binomiske koefficienter . Når x (eller y , ved symmetri) er et positivt heltal, følger det af definitionen af gammafunktionen Γ, at

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x+y-1) _ {x}}} = {\ frac {x+y} {xy }} \ cdot {\ frac {1} {\ binom {x+y} {x}}}.}$

Forholdet til gammafunktionen

En simpel afledning af forholdet findes i Emil Artins bog The Gamma Function , side 18–19. For at udlede denne relation skal du skrive produktet af to fabrikker som ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-u} u^{x-1} \, du \ cdot \ int _ {v = 0}^{\ infty} \ e^{-v} v^{y-1} \, dv \\ [6pt] & = \ int _ {v = 0}^{ \ infty} \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-uv} u^{x-1} v^{y-1} \, du \, dv. \ end {align}} }$

Ændring af variabler med u = zt og v = z (1 - t ) producerer

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} \ int _ {t = 0}^{1} e^{- z} (zt)^{x-1} (z (1-t))^{y-1} z \, dt \, dz \\ [6pt] & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} e^{-z} z^{x+y-1} \, dz \ cdot \ int _ {t = 0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y- 1} \, dt \\ & = \ Gamma (x+y) \ cdot \ mathrm {B} (x, y). \ End {align}}}$

At dele begge sider med giver det ønskede resultat. ${\ displaystyle \ Gamma (x+y)}$

Den angivne identitet kan ses som et særligt tilfælde af identiteten for integrationen af ​​en konvolution . Tager

${\ displaystyle {\ begin {align} f (u) &: = e^{-u} u^{x-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}} \\ g (u) &: = e^{-u} u^{y-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}}, \ slut {justeret}}}$

den ene har:

${\ displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (u) \, du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \, du = \ int _ {\ mathbb {R}} (f*g) (u) \, du = \ mathrm {B} (x, y) \, \ Gamma (x+y).}$

Derivater

Vi har

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ delvis x}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ venstre ({\ frac {\ Gamma '(x) } {\ Gamma (x)}}-{\ frac {\ Gamma '(x+y)} {\ Gamma (x+y)}} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) {\ big (} \ psi (x)-\ psi (x+y) {\ big)},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ delvis x_ {m}}} \ mathrm {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {B} ( x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) {\ big (} \ psi (x_ {m})-\ psi (\ sum _ {k = 1}^{n} x_ {k }) {\ big)}, 1 \ leq m \ leq n}$

Tilnærmelse

Stirlings tilnærmelse giver den asymptotiske formel

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {x^{x-1/2} y^{y-1/2}} {({ x+y})^{x+y-1/2}}}}$

for store x og store y . Hvis x på den anden side er stort, og y er fast, så

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \, x^{-y}.}$

Andre identiteter og formler

Integralet, der definerer beta -funktionen, kan omskrives på forskellige måder, herunder følgende:

hvor i den sidste identitet n er et positivt reelt tal. (Man kan flytte fra den første integral til den anden ved at erstatte .) ${\ displaystyle t = \ tan ^{2} (\ theta)}$

Betafunktionen kan skrives som en uendelig sum

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(1-x) _ {n}} {(y+n) n!} }}$(hvor er den stigende faktor )${\ displaystyle (x) _ {n}}$

og som et uendeligt produkt

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {x+y} {xy}} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ venstre (1+{\ dfrac {xy} {n (x+y+n)}} \ højre)^{-1}.}$

Betafunktionen opfylder flere identiteter, der er analoge med tilsvarende identiteter for binomiske koefficienter, herunder en version af Pascals identitet

og en simpel gentagelse på én koordinat:

For , kan betafunktionen skrives i form af en foldning involverer trunkeret potensfunktion t ↦ t${\ displaystyle x, y \ geq 1}$ ^x
₊:

Evalueringer på bestemte punkter kan forenkle betydeligt; for eksempel,

og

Ved at indtage denne sidste formel kan man især konkludere, at Γ (1/2) = √ π . Man kan også generalisere den sidste formel til en bivariat identitet for et produkt af betafunktioner: ${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$

Eulers integral til beta -funktionen kan omdannes til et integral over Pochhammer -konturen C som

${\ displaystyle \ left (1-e^{2 \ pi i \ alpha} \ right) \ left (1-e^{2 \ pi i \ beta} \ right) \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta ) = \ int _ {C} t^{\ alfa -1} (1 -t)^{\ beta -1} \, dt.}$

Denne Pochhammer konturintegral konvergerer for alle værdier af α og β og giver således den analytiske fortsættelse af beta -funktionen.

Ligesom gamma -funktionen for heltal beskriver factorials , kan betafunktionen definere en binomisk koefficient efter justering af indekser:

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {1} {(n+1) \ mathrm {B} (n-k+1, k+1)}}.}$

Desuden kan inte for heltal n , faktoriseres til at give en lukket form interpolationsfunktion for kontinuerlige værdier af k :

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = (-1)^{n} \, n! \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ displaystyle \ prod _ {i = 0}^{n} (ki)}}.}$

Gensidig betafunktion

Den gensidige betafunktion er funktionen om formen

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (x, y)}}}$

Interessant nok hænger deres integrale repræsentationer tæt sammen som den deciderede integral af trigonometriske funktioner med produktet af dets kraft og flervinkel :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ sin {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ venstre ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\ret)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ venstre ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\ret)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ cos ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ venstre ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\ret)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi} {2 ^{x} x \ mathrm {B} \ venstre ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2}} \ højre)}}}$

Ufuldstændig betafunktion

Den ufuldstændige betafunktion , en generalisering af betafunktionen, defineres som

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0}^{x} t^{a-1} \, (1-t)^{b-1} \, dt.}$

For x = 1 falder den ufuldstændige betafunktion sammen med den komplette betafunktion. Forholdet mellem de to funktioner er som mellem gamma -funktionen og dens generalisering den ufuldstændige gamma -funktion .

Den regulariserede ufuldstændige betafunktion (eller forkortet reguleret betafunktion ) er defineret ud fra den ufuldstændige betafunktion og den komplette betafunktion:

${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}$

Den legaliseret ufuldstændig beta funktion er den kumulative fordelingsfunktion af betafordelingen , og er relateret til den kumulative fordelingsfunktion af en stokastisk variabel X efter en binomial fordeling med sandsynligheden for enkelt succes p og antallet af Bernoulli forsøg n : ${\ displaystyle F (k; \, n, p)}$

${\ displaystyle F (k; \, n, p) = \ Pr \ venstre (X \ leq k \ højre) = I_ {1-p} (nk, k+1) = 1-I_ {p} (k+ 1, nk).}$

Ejendomme

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {0} (a, b) & = 0 \\ I_ {1} (a, b) & = 1 \\ I_ {x} (a, 1) & = x^ {a} \\ I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x)^{b} \\ I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) \\ I_ {x} (a+1, b) & = I_ {x} (a, b)-{\ frac {x^{a} (1-x)^{b}} {a \ mathrm {B} (a, b)}} \\ I_ {x} (a, b+1) & = I_ {x} (a, b)+{\ frac {x^{a} (1-x) ^{b}} {b \ mathrm {B} (a, b)}} \\\ mathrm {B} (x; a, b) & = (-1)^{a} \ mathrm {B} \ venstre ({\ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab \ højre) \ end {justeret}}}$

Multivariat beta -funktion

Betafunktionen kan udvides til en funktion med mere end to argumenter:

${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \, \ Gamma (\ alpha _ {2}) \ cdots \ Gamma (\ alpha _ {n})} {\ Gamma (\ alpha _ {1}+\ alpha _ {2}+\ cdots+\ alpha _ {n}) }}.}$

Denne multivariate beta -funktion bruges i definitionen af Dirichlet -distributionen . Dens relation til beta -funktionen er analog med forholdet mellem multinomiale koefficienter og binomiske koefficienter.

Ansøgninger

Betafunktionen er nyttig til beregning og repræsentation af spredningsamplituden for Regge -baner . Desuden var det den første kendte spredningsamplitude inden for strengteori , der først blev formodet af Gabriele Veneziano . Det forekommer også i teorien om den præferentielle tilknytningsproces , en type stokastisk urnproces . Betafunktionen er også vigtig i statistik, f.eks. For Beta -distributionen og Beta -primedistributionen . Som kort hentydet til tidligere, er beta -funktionen tæt knyttet til gammafunktionen og spiller en vigtig rolle i beregning .

Softwareimplementering

Selvom de ikke er tilgængelige direkte, kan de komplette og ufuldstændige betafunktionsværdier beregnes ved hjælp af funktioner, der almindeligvis er inkluderet i regneark- eller computeralgebra -systemer . I Excel kan den komplette betaværdi for eksempel beregnes ud fra GammaLnfunktionen:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

En ufuldstændig beta -værdi kan beregnes som:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Disse resultater følger fra egenskaberne anført ovenfor .

Tilsvarende betainc(ufuldstændig betafunktion) i MATLAB og GNU Octave , pbeta(sandsynlighed for beta -distribution) i R eller special.betainci Pythons SciPy -pakke, beregner den regulerede ufuldstændige betafunktion - som i virkeligheden er den kumulative beta -distribution - og så for at få den faktiske ufuldstændige betafunktion, skal man gange resultatet af betaincmed resultatet returneret af den tilsvarende betafunktion. I Mathematica , Beta[x, a, b]og BetaRegularized[x, a, b]give og hhv. ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b)}$${\ displaystyle I_ {x} (a, b)}$

Se også

• Beta distribution og Beta prime distribution , to sandsynlighedsfordelinger relateret til betafunktionen
• Jacobi sum , analogen af ​​betafunktionen over begrænsede felter .
• Nörlund – Ris integreret
• Yule – Simon distribution

Referencer

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Betafunktion" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Zelen, M .; Severo, NC (1972), "26. Sandsynlighedsfunktioner", i Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (red.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , New York: Dover Publications , s.  925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Davis, Philip J. (1972), "6. Gamma -funktion og beslægtede funktioner", i Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (red.), Håndbog i matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Paris, RB (2010), "Ufuldstændige betafunktioner" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Tryk på, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Afsnit 6.1 Gamafunktion, Betafunktion, Factorials" , Numeriske opskrifter: The Art of Scientific Computing (3. udgave), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

eksterne links

• "Betafunktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluering af beta -funktion ved hjælp af Laplace -transformation på PlanetMath .
• Vilkårligt nøjagtige værdier kan opnås fra:
  • Wolfram -funktionswebstedet : Evaluer Beta Regularized Ufuldstændig beta
  • danielsoper.com: Ufuldstændig Betafunktionsberegner , Regulariseret Ufuldstændig Betafunktionsberegner