Beta funkce - Beta function

V matematice je beta funkce , nazývaná také Eulerův integrál prvního druhu, speciální funkcí, která úzce souvisí s funkcí gama a binomickými koeficienty . Je definován integrálem

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt}$

pro vstupy komplexních čísel x , y tak, že Re x > 0, Re y > 0 .

Funkci beta studovali Euler a Legendre a pojmenoval ji Jacques Binet ; jeho symbol Β je řecký kapitál beta .

Vlastnosti

Funkce beta je symetrická , což znamená, že

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

pro všechny vstupy x a y .

Klíčovou vlastností beta funkce je její blízký vztah k gama funkci : člověk ji má

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}.}$

(Důkaz je uveden níže v § Vztah k funkci gama .)

Funkce beta také úzce souvisí s binomickými koeficienty . Když x (nebo y , podle symetrie) je kladné celé číslo, vyplývá z definice funkce gama Γ, že

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x+y-1) _ {x}}} = {\ frac {x+y} {xy }} \ cdot {\ frac {1} {\ binom {x+y} {x}}}.}$

Vztah k funkci gama

Jednoduché odvození vztahu lze nalézt v knize Emila Artina The Gamma Function , strana 18–19. Chcete -li tento vztah odvodit, napište součin dvou faktoriálů jako ${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-u} u^{x-1} \, du \ cdot \ int _ {v = 0}^{\ infty} \ e^{-v} v^{y-1} \, dv \\ [6pt] & = \ int _ {v = 0}^{ \ infty} \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-uv} u^{x-1} v^{y-1} \, du \, dv. \ end {zarovnáno}} }$

Změna proměnných podle u = zt a v = z (1 - t ) vytvoří

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} \ int _ {t = 0}^{1} e^{- z} (zt)^{x-1} (z (1-t))^{y-1} z \, dt \, dz \\ [6pt] & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} e^{-z} z^{x+y-1} \, dz \ cdot \ int _ {t = 0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y- 1} \, dt \\ & = \ Gamma (x+y) \ cdot \ mathrm {B} (x, y). \ End {aligned}}}$

Dělením obou stran získáte požadovaný výsledek. ${\ displaystyle \ Gamma (x+y)}$

Uvedenou identitu lze považovat za konkrétní případ identity pro integrál konvoluce . Brát

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} f (u) &: = e^{-u} u^{x-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}} \\ g (u) &: = e^{-u} u^{y-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}}, \ end {aligned}}}$

jeden má:

${\ Displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (u) \, du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \, du = \ int _ {\ mathbb {R}} (f*g) (u) \, du = \ mathrm {B} (x, y) \, \ Gamma (x+y).}$

Deriváty

My máme

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ frac {\ Gamma '(x) } {\ Gamma (x)}}-{\ frac {\ Gamma '(x+y)} {\ Gamma (x+y)}} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) {\ big (} \ psi (x)-\ psi (x+y) {\ velký)},}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečná} {\ částečná x_ {m}}} \ mathrm {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ tečky, x_ {n}) = \ mathrm {B} ( x_ {1}, x_ {2}, \ tečky, x_ {n}) {\ velké (} \ psi (x_ {m})-\ psi (\ součet _ {k = 1}^{n} x_ {k }) {\ big)}, 1 \ leq m \ leq n}$

Přiblížení

Stirlingova aproximace dává asymptotický vzorec

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {x^{x-1/2} y^{y-1/2}} {({ x+y})^{x+y-1/2}}}}$

pro velká x a velká y . Pokud je naopak x velké a y je pevné, pak

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \, x^{-y}.}$

Další identity a vzorce

Integrál definující funkci beta lze přepsat různými způsoby, včetně následujících:

kde v poslední identitě n je jakékoli kladné skutečné číslo. (Jeden se může přesunout z prvního integrálu na druhý nahrazením .) ${\ Displaystyle t = \ tan ^{2} (\ theta)}$

Funkci beta lze zapsat jako nekonečný součet

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(1-x) _ {n}} {(y+n) n!} }}$(kde je rostoucí faktoriál )${\ displaystyle (x) _ {n}}$

a jako nekonečný produkt

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {x+y} {xy}} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ left (1+{\ dfrac {xy} {n (x+y+n)}} \ vpravo)^{-1}.}$

Funkce beta splňuje několik identik analogických s odpovídajícími identitami pro binomické koeficienty, včetně verze Pascalovy identity

a jednoduché opakování na jedné souřadnici:

Pro , beta funkce může být psána v podmínkách konvoluce zahrnující zkrácenou mocninnou funkci t ↦ t${\ Displaystyle x, y \ geq 1}$ ^x
₊:

Hodnocení v určitých bodech se může výrazně zjednodušit; například,

a

Použitím tohoto posledního vzorce lze dojít zejména k závěru, že Γ (1/2) = √ π . Lze také zobecnit poslední vzorec na bivariační identitu pro produkt beta funkcí: ${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$

Eulerův integrál pro beta funkci lze převést na integrál přes obrys Pochhammer C jako

${\ Displaystyle \ left (1-e^{2 \ pi i \ alpha} \ right) \ left (1-e^{2 \ pi i \ beta} \ right) \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta ) = \ int _ {C} t^{\ alpha -1} (1 -t)^{\ beta -1} \, dt.}$

Tento Pochhammerův obrysový integrál konverguje pro všechny hodnoty α a β, a tak poskytuje analytické pokračování funkce beta.

Stejně jako funkce gama pro celá čísla popisuje faktoriály , funkce beta může po úpravě indexů definovat binomický koeficient :

${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {1} {(n+1) \ mathrm {B} (n-k+1, k+1)}}.}$

Navíc pro celé číslo n lze Β započítat do funkce interpolace uzavřeného tvaru pro spojité hodnoty k :

${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}} = (-1)^{n} \, n! \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ displaystyle \ prod _ {i = 0}^{n} (ki)}}.}$

Reciproční funkce beta

Funkce reciproční beta je funkce o podobě

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (x, y)}}}$

Zajímavé je, že jejich integrální reprezentace úzce souvisí jako konečný základní části trigonometrických funkcí s produktem jeho síly a vícenásobného úhlu :

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ sin {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\že jo)}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\že jo)}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ cos ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\že jo)}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^{\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi} {2 ^{x} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2}} \ right)}}}$

Neúplná funkce beta

Neúplné beta funkce , zobecnění funkce beta, je definován jako

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0}^{x} t^{a-1} \, (1-t)^{b-1} \, dt.}$

Pro x = 1 se neúplná beta funkce shoduje s kompletní beta funkcí. Vztah mezi těmito dvěma funkcemi je podobný vztahu mezi funkcí gama a jeho zobecněním neúplné funkce gama .

Legalizovány neúplné beta funkce (nebo upravená předpisy beta funkce v krátkosti) je definována v podmínkách neúplné funkce beta a kompletní funkci beta:

${\ Displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}$

Legalizovány neúplné beta funkce je kumulativní distribuční funkce na rozdělení beta , a je spojena s distribuční funkci části náhodné proměnné X, v návaznosti na binomické rozdělení s pravděpodobností jediného úspěchu p a počtu Bernoulli zkoušek n : ${\ Displaystyle F (k; \, n, p)}$

${\ Displaystyle F (k; \, n, p) = \ Pr \ left (X \ leq k \ right) = I_ {1-p} (nk, k+1) = 1-I_ {p} (k+ 1, nk).}$

Vlastnosti

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} I_ {0} (a, b) & = 0 \\ I_ {1} (a, b) & = 1 \\ I_ {x} (a, 1) & = x^ {a} \\ I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x)^{b} \\ I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) \\ I_ {x} (a+1, b) & = I_ {x} (a, b)-{\ frac {x^{a} (1-x)^{b}} {a \ mathrm {B} (a, b)}} \\ I_ {x} (a, b+1) & = I_ {x} (a, b)+{\ frac {x^{a} (1-x) ^{b}} {b \ mathrm {B} (a, b)}} \\\ mathrm {B} (x; a, b) & = (-1)^{a} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab \ vpravo) \ end {zarovnáno}}}$

Funkce více proměnných beta

Funkci beta lze rozšířit na funkci s více než dvěma argumenty:

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \, \ Gamma (\ alpha _ {2}) \ cdots \ Gamma (\ alpha _ {n})} {\ Gamma (\ alpha _ {1}+\ alpha _ {2}+\ cdots+\ alpha _ {n}) }}.}$

Tato multivariační beta funkce se používá při definici Dirichletovy distribuce . Jeho vztah k beta funkci je analogický vztahu mezi multinomiálními koeficienty a binomickými koeficienty.

Aplikace

Funkce beta je užitečná při výpočtu a reprezentaci amplitudy rozptylu pro trajektorie Regge . Kromě toho se jednalo o první známou rozptylovou amplitudu v teorii strun , první domněnku Gabriele Veneziana . Vyskytuje se také v teorii preferenčního procesu uchycení , což je typ stochastického urnového procesu . Funkce beta je také důležitá ve statistikách, např. Pro distribuci Beta a distribuci Beta prime . Jak již bylo zmíněno dříve, funkce beta je úzce spjata s funkcí gama a hraje důležitou roli v počtu .

Implementace softwaru

I když nejsou přímo k dispozici, mohou být úplné a neúplné hodnoty beta funkcí vypočítány pomocí funkcí běžně obsažených v tabulkových nebo počítačových algebraických systémech . V aplikaci Excel lze například úplnou hodnotu beta vypočítat z GammaLnfunkce:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Neúplnou hodnotu beta lze vypočítat jako:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Tyto výsledky vyplývají z výše uvedených vlastností .

Podobně betainc(neúplné funkce beta) v prostředí MATLAB a GNU Octave , pbeta(pravděpodobnost rozdělení beta) v R , nebo special.betaincv Python scipy balíku počítat legalizovány neúplné beta funkce -Která je, ve skutečnosti, že kumulativní distribuce, a beta tak, aby se skutečnou neúplnou funkci beta, je třeba výsledek vynásobit betaincvýsledkem vráceným odpovídající betafunkcí. V Mathematica , Beta[x, a, b]a BetaRegularized[x, a, b]dát a , resp. ${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b)}$${\ displaystyle I_ {x} (a, b)}$

Viz také

• Beta distribuce a Beta primární distribuce , dvě rozdělení pravděpodobnosti související s funkcí beta
• Jacobi sum , analog beta funkce přes konečná pole .
• Nörlund – Rýžový integrál
• Distribuce Yule – Simon

Reference

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), „Beta funkce“ , v Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Zelen, M .; Severo, NC (1972), "26. Pravděpodobnostní funkce", v Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications , s.  925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Davis, Philip J. (1972), "6. Funkce gama a související funkce", v Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Paris, RB (2010), „Neúplné funkce beta“ , v Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Oddíl 6.1 Funkce gama, funkce beta, faktoriály“ , Numerické recepty: Umění vědeckých počítačů (3. vydání), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

externí odkazy

• "Beta-funkce" , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Vyhodnocení funkce beta pomocí Laplaceovy transformace na PlanetMath .
• Libovolně přesné hodnoty lze získat z:
  • Web Wolfram Functions : Vyhodnoťte beta regulovanou neúplnou beta verzi
  • danielsoper.com: Incomplete Beta Function Calculator , Regularized Incomplete Beta Function Calculator