Funkcja beta - Beta function

W matematyce The funkcja beta , zwany również integralną Eulera pierwszego rodzaju jest specjalna funkcja , która jest ściśle związana z funkcją gamma i Symbol Newtona . Jest zdefiniowany przez całkę

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ dt}$

dla wejść liczb zespolonych x , y takich, że Re x > 0, Re y > 0 .

Funkcja beta była badana przez Eulera i Legendre'a, a nazwę nadał jej Jacques Binet ; jego symbol Β jest grecki kapitał beta .

Nieruchomości

Funkcja beta jest symetryczna , co oznacza, że

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) = \ operatorname {B} (y, x)}$

dla wszystkich wejść x i y .

Kluczową właściwością funkcji beta jest jej bliski związek z funkcją gamma : mamy to

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) = {\ Frac {\ Gamma (x) \ \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}$

(Dowód jest podany poniżej w § Związek z funkcją gamma .)

Funkcja beta jest również ściśle związana ze współczynnikami dwumianowymi . Gdy x (lub y , przez symetrię) jest dodatnią liczbą całkowitą, to z definicji funkcji gamma Γ wynika, że

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x + y-1) _ {x}}} = {\ Frac {x + y} {xy }}\cdot {\frac {1}{\binom {x+y}{x}}}.}$

Związek z funkcją gamma

Proste wyprowadzenie tej relacji można znaleźć w książce Emila Artina The Gamma Function , str. 18-19. Aby wyprowadzić tę zależność, napisz iloczyn dwóch silni jako ${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) = {\ Frac {\ Gamma (x) \ \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Gamma (x) \ Gamma (y) i = \ int _ {u = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {-u} u ^ {x-1} \, du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{ \infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-uv}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\end{wyrównany}} }$

Zmiana zmiennych o u = zt i v = z (1 − t ) daje

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Gamma (x) \ Gamma (y) i = \ int _ {z = 0} ^ {\ infty} \ inft _ {t = 0} ^ {1} e ^ {- z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\ infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y- 1}\,dt\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{wyrównany}}}$

Podział obu stron przez daje pożądany efekt. ${\ Displaystyle \ Gamma (x + y)}$

Wyrażona tożsamość może być postrzegana jako szczególny przypadek tożsamości całki splotu . Nabierający

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f (u) i: = e ^ {-u} u ^ {x-1} 1_ {\ mathbb {R} _ {+}} \ \ g (u) i: = e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{wyrównany}}}$

jeden ma:

${\ Displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R} } f (u) \ du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \ du =\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y).}$

Pochodne

Mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} \ operator {B} (x, y) = \ operator {B} (x, y) \ lewo ({\ Frac {\ Gamma '(x) }{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {m}}} \ operatorname {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ operatorname {B} ( x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}){\big (}\psi (x_{m})-\psi (\sum _{k=1}^{n}x_{k }){\big )},1\leq m\leq n}$

Przybliżenie

Przybliżenie Stirlinga daje wzór asymptotyczny

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) \ SIM {\ sqrt {2 \ pi}} {\ Frac {x ^ {x-1/2} y ^ {y-1/2}} {({ x+y})^{x+y-1/2}}}}$

dla dużego x i dużego y . Jeśli z drugiej strony x jest duże, a y jest stałe, to

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \ x ^ {-y}}.$

Inne tożsamości i formuły

Całka definiująca funkcję beta może być przepisana na wiele sposobów, w tym:

gdzie w ostatniej tożsamości n jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. (Można przejść od pierwszej całki do drugiej, podstawiając .) ${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta)}$

Funkcję beta można zapisać jako nieskończoną sumę

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(1-x) _ {n}} {(y + n) n!} }}$(gdzie jest silnia narastająca )${\ Displaystyle (x) _ {n}}$

i jako produkt nieskończony

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x, y) = {\ Frac {x + y} {xy}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo (1 + {\ dfrac {xy} {n(x+y+n)}}\prawo)^{-1}.}$

Funkcja beta spełnia kilka tożsamości analogicznych do odpowiednich tożsamości dla współczynników dwumianowych, w tym wersję tożsamości Pascala

i prosta rekurencja na jednej współrzędnej:

Dla funkcja beta mogą być napisane w kategoriach splotu obejmujących obcięte funkcję zasilania t ↦ t${\displaystyle x,y\geq 1}$ ^x
₊:

Oceny w poszczególnych punktach mogą znacznie uprościć; na przykład,

oraz

Przyjmując w tym ostatnim wzorze można stwierdzić przede wszystkim, że Γ (1/2) = √ gatunku . Można również uogólnić ostatnią formułę na dwuwymiarową tożsamość dla iloczynu funkcji beta: ${\ Displaystyle x = {\ Frac {1} {2}}}$

Całkę Eulera dla funkcji beta można przekształcić w całkę po konturze Pochhammera C as

${\ Displaystyle \ lewo (1-e ^ {2 \ pi ja \ alfa} \ po prawej) \ po lewej (1-e ^ {2 \ pi ja \ beta} \ po prawej) \ operatorname {B} (\ alfa \ beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$

Ta całka konturowa Pochhammera jest zbieżna dla wszystkich wartości α i β, a zatem daje analityczną kontynuację funkcji beta.

Tak jak funkcja gamma dla liczb całkowitych opisuje silnia , funkcja beta może zdefiniować współczynnik dwumianowy po dostosowaniu wskaźników:

${\ Displaystyle {\ Binom {n} {k}} = {\ Frac {1} {(n + 1) \ operatorname {B} (n-k + 1, k + 1)}}.}$

Co więcej, dla liczby całkowitej n , Β można rozłożyć na czynniki, aby otrzymać funkcję interpolacji postaci zamkniętej dla ciągłych wartości k :

${\ Displaystyle {\ Binom {n} {k}} = (-1) ^ {n} \ n! \ cdot {\ Frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ Displaystyle \ prod _ {i =0}^{n}(ki)}}.}$

Wzajemna funkcja beta

Odwrotnością funkcji P jest funkcja o formie

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ Frac {1} {\ operatorname {B} (x, y)}}}$

Co ciekawe, ich integralne reprezentacje ściśle odnosić się jako całkę z funkcji trygonometrycznych z iloczynu jego mocy i wielokrotnego kątem :

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ Frac {\ pi \ sin {\ Frac {y \ pi} {2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2} }\Prawidłowy)}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ cos r \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2} }\Prawidłowy)}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2} }\Prawidłowy)}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {x-1} \ theta \ cos r \ theta ~ d \ theta = {\ Frac {\ pi} {2 ^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

Niekompletna funkcja beta

Niepełne działanie beta , uogólnienie funkcji beta jest definiowany jako

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x; \ a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \ (1-t) ^ {b-1} \, dt.}$

Dla x = 1 niekompletna funkcja beta pokrywa się z pełną funkcją beta. Związek między tymi dwiema funkcjami jest taki, jak między funkcją gamma i jej uogólnieniem na niepełną funkcję gamma .

Uregulowana funkcja niekompletny beta (lub uregulowanego Funkcja P krócej) jest określony w warunkach niepełnego funkcji beta i całkowitego beta funkcji:

${\ Displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ Frac {\ operatorname {B} (x; \ a, b)} {\ operatorname {B} (a, b)}}.}$

Uregulowana niepełne działanie beta jest skumulowana dystrybuanta z rozkładu beta , i jest związany z dystrybuantę o zmiennej losowej X następstwie rozkładu dwumianowego z prawdopodobieństwem sukcesu pojedynczego P oraz liczby prób Bernoulliego n : ${\displaystyle F(k;\,n,p)}$

${\ Displaystyle F (k; \ n, p) = \ Pr \ lewo (X \ leq k \ prawej) = I_ {1-p} (nk, k + 1) = 1-I_ {p} (k + 1,nk).}$

Nieruchomości

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} I_ {0} (a, b) i = 0 \ \ I_ {1} (a, b) i = 1 \ \ I_ {x} (a, 1) i = x ^ {a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b ,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\ matematyka {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x) ^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left ({\frac {x}{x-1}};a,1-ab\right)\end{wyrównany}}}$

Wielowymiarowa funkcja beta

Funkcja beta może zostać rozszerzona na funkcję z więcej niż dwoma argumentami:

${\ Displaystyle \ operatorname {B} (\ alfa _ {1} \ alfa _ {2} \ ldots \ alfa _ {n}) = {\ Frac {\ Gamma (\ alfa _ {1}) \ \ Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}) }}.}$

Ta wielowymiarowa funkcja beta jest używana w definicji rozkładu Dirichleta . Jego związek z funkcją beta jest analogiczny do związku między współczynnikami wielomianowymi a współczynnikami dwumianowymi.

Aplikacje

Funkcja beta jest użyteczna przy obliczaniu i reprezentowaniu amplitudy rozpraszania dla trajektorii Regge . Co więcej, była to pierwsza znana amplituda rozpraszania w teorii strun , po raz pierwszy przypuszczona przez Gabriele Veneziano . Występuje również w teorii preferencyjnego procesu przywiązania , typu stochastycznego procesu urny . Funkcja beta jest również ważna w statystykach, np. dla dystrybucji Beta i dystrybucji Beta prime . Jak krótko wspomniano wcześniej, funkcja beta jest ściśle powiązana z funkcją gamma i odgrywa ważną rolę w rachunku różniczkowym .

Wdrażanie oprogramowania

Nawet jeśli są niedostępne bezpośrednio, pełne i niekompletne wartości funkcji beta można obliczyć za pomocą funkcji powszechnie stosowanych w arkuszach kalkulacyjnych lub systemach algebry komputerowej . Na przykład w Excelu pełną wartość beta można obliczyć z GammaLnfunkcji:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Niepełną wartość beta można obliczyć jako:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Wyniki te wynikają z właściwości wymienionych powyżej .

Podobnie betainc(niekompletna funkcja beta) w MATLAB i GNU Octave , pbeta(prawdopodobieństwo dystrybucji beta) w R lub special.betaincw pakiecie SciPy Pythona obliczamy uregulowaną niekompletną funkcję beta — która w rzeczywistości jest skumulowaną dystrybucją beta — i tak, aby uzyskać rzeczywista niekompletna funkcja beta, należy pomnożyć wynik przez wynik zwrócony przez odpowiednią funkcję. W Mathematica , i dawania i , odpowiednio. betaincbetaBeta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b]${\ Displaystyle \ operatorname {B} (x; \ a, b)}$${\ Displaystyle I_ {x} (a, b)}$

Zobacz też

• Rozkład beta i rozkład pierwszy Beta , dwa rozkłady prawdopodobieństwa związane z funkcją beta
• Suma Jacobiego , odpowiednik funkcji beta nad polami skończonymi .
• Całka Nörlund-Rice
• Dystrybucja Yule-Simon

Bibliografia

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Funkcja Beta" , w Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Zelen, M.; Severo, NC (1972), "26. Funkcje prawdopodobieństwa", w Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (red.), Podręcznik funkcji matematycznych z formułami , wykresami i tabelami matematycznymi , New York: Dover Publications , pp  925-995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Davis, Philip J. (1972), "6. Funkcja gamma i funkcje pokrewne", w Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (red.), Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Paris, RB (2010), „Niekompletne funkcje beta” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Prasa, WH; Teukolski SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Sekcja 6.1 Funkcja gamma, funkcja beta, silnia” , Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Zewnętrzne linki

• „Beta-funkcja” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Ocena funkcji beta przy użyciu przekształcenia Laplace'a w PlanetMath .
• Arbitralnie dokładne wartości można uzyskać z:
  • Witryna Wolfram Functions : Oceń wersję beta Uregulowana niekompletna wersja beta
  • danielsoper.com: Niekompletne Funkcja Beta Kalkulator , uregulowany Niekompletne Beta Funkcja Kalkulator