Erikoistoiminnot - Special functions

‹Alla olevaa mallia ( Lisää viittauksia tarvitaan ) harkitaan yhdistämistä. Katso keskustelun malleista yhteisymmärrys. ›

Erikoistoiminnot ovat erityisiä matemaattisia funktioita, joilla on enemmän tai vähemmän vakiintuneet nimet ja merkinnät, koska ne ovat tärkeitä matemaattisessa analyysissä , toiminnallisessa analyysissä , geometriassa , fysiikassa tai muissa sovelluksissa.

Termi määritellään yksimielisesti, joten siitä puuttuu yleinen muodollinen määritelmä, mutta matemaattisten funktioiden luettelo sisältää toimintoja, jotka yleisesti hyväksytään erityisiksi.

Taulukot erityistoiminnoista

Monet erikoistoimintoja näkyvät ratkaisut differentiaaliyhtälöitä tai integraalit ja alkeisfunktiot . Siksi integraalitaulukot sisältävät yleensä erikoisfunktioiden kuvauksia ja erikoisfunktioiden taulukot tärkeimpiä integraaleja; ainakin erityistoimintojen kiinteä esitys. Koska differentiaaliyhtälöiden symmetria on välttämätöntä sekä fysiikalle että matematiikalle, erikoisfunktioiden teoria liittyy läheisesti Lie -ryhmien ja Lie algebras -teoriaan sekä tiettyihin matemaattisen fysiikan aiheisiin .

Symboliset laskentamoottorit tunnistavat yleensä suurimman osan erityistoiminnoista.

Erikoistoimintoihin käytetyt merkinnät

Toiminnot, joilla on vakiintuneet kansainväliset merkinnät, ovat sini ( ), kosini ( ), eksponentiaalifunktio ( ) ja virhefunktio ( tai ). ${\ displaystyle \ sin}$ ${\ displaystyle \ cos}$ ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {erf}}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {erfc}}$

Joillakin erikoistoiminnoilla on useita merkintöjä:

Luonnollinen logaritmi voidaan merkitä , , , tai asiayhteydestä riippuen. ${\ displaystyle \ ln}$ ${\ displaystyle \ log}$ ${\ displaystyle \ log _ {e}}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Loki}}$
Tangentti toiminto voidaan merkitä , tai ( käytetään pääasiassa Venäjän ja Bulgarian kirjallisuus). ${\ displaystyle \ tan}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tan}}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {tg}}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {tg}}$
Arkustangentti voidaan merkitä , , , tai . ${\ displaystyle \ arctan}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {atan}}$ ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {arctg}}$ ${\ displaystyle \ tan ^{-1}}$
Besselin toiminnot voidaan merkitä
- ${\ displaystyle J_ {n} (x),}$
- ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {besselj} (n, x),}$
- ${\ displaystyle {\ rm {BesselJ}} [n, x].}$

Alaindeksejä käytetään usein osoittamaan argumentteja, yleensä kokonaislukuja. Joissakin tapauksissa erottajana käytetään puolipistettä (;) tai jopa vinoviivaa (\). Tässä tapauksessa käännös algoritmisille kielille myöntää epäselvyyttä ja voi aiheuttaa sekaannusta.

Yläindeksit voivat viitata paitsi eksponointiin, myös funktion muutokseen. Esimerkkejä (erityisesti trigonometrisillä funktioilla ja hyperbolisilla funktioilla ) ovat:

${\ displaystyle \ cos ^{3} (x)}$ yleensä osoittaa ${\ displaystyle (\ cos (x))^{3}}$
${\ displaystyle \ cos ^{2} (x)}$ on yleensä , mutta ei koskaan ${\ displaystyle (\ cos (x))^{2}}$ ${\ displaystyle \ cos (\ cos (x))}$
${\ displaystyle \ cos ^{-1} (x)}$ yleensä tarkoittaa , ei ; tämä aiheuttaa tyypillisesti eniten sekaannusta, koska tulkinta tällä eksponentti -arvolla on ristiriidassa muiden kanssa. ${\ displaystyle \ arccos (x)}$ ${\ displaystyle (\ cos (x)) ^ {- 1}}$

Erikoistoimintojen arviointi

Useimpia erikoisfunktioita pidetään monimutkaisen muuttujan funktiona . Ne ovat analyyttisiä ; singulaarisuudet ja leikkaukset kuvataan; differentiaali- ja integraaliesitykset ovat tiedossa ja laajennus Taylor -sarjaan tai asymptoottiseen sarjaan on saatavilla. Lisäksi joskus on olemassa suhteita muihin erityistoimintoihin; monimutkainen erikoisfunktio voidaan ilmaista yksinkertaisempina funktioina. Arvioinnissa voidaan käyttää erilaisia esityksiä; Yksinkertaisin tapa arvioida toiminto on laajentaa se Taylor -sarjaksi. Tällainen esitys voi kuitenkin lähentyä hitaasti tai ei ollenkaan. Algoritmisilla kielillä käytetään yleensä järkeviä approksimaatioita , vaikka ne voivat käyttäytyä huonosti monimutkaisten argumenttien tapauksessa.

Erikoistoimintojen historia

Klassinen teoria

Vaikka trigonometria voidaan kodifioida - kuten oli jo selvää 1700-luvun asiantuntijoille (jos ei aikaisemmin) -, etsiminen täydellisestä ja yhtenäisestä erikoistoimintojen teoriasta on jatkunut 1800-luvulta lähtien. Erikoistoimintateorian kohokohta vuosina 1800–1900 oli elliptisten funktioiden teoria ; olennaisesti täydellisiä traktaatteja , kuten Tanneryn ja Molkin , voitaisiin kirjoittaa käsikirjoina kaikille teorian perusidentiteeteille. Ne perustuivat monimutkaisen analyysin tekniikoihin .

Siitä lähtien voidaan olettaa, että analyyttinen funktioteoria , joka oli jo yhdistänyt trigonometriset ja eksponentiaaliset toiminnot , oli perustyökalu. Vuosisadan lopussa nähtiin myös hyvin yksityiskohtainen keskustelu pallomaisista harmonisista .

Muuttuvat ja kiinteät motivaatiot

Tietenkin toive laajasta teoriasta, joka sisältää mahdollisimman monta tunnetuista erityistoiminnoista, on henkisesti houkutteleva, mutta on syytä huomata muut motiivit. Erikoistoiminnot olivat pitkään soveltavan matematiikan provinssissa ; sovellukset fyysisille tieteille ja tekniikalle määrittivät toimintojen suhteellisen tärkeyden. Sähköistä tietokonetta edeltävinä päivinä viimeinen erityistehtävän kohteliaisuus oli sen arvojen laajennettujen taulukoiden laskeminen käsin . Tämä oli pääomaa vaativa prosessi, jonka tarkoituksena on tehdä toiminnon saataville look-up , kuten tuttu logaritmi taulukoiden . Teorian näkökohdat, joilla oli silloin merkitystä, voivat olla kaksi:

ja numeerinen analyysi , löytämisen ääretön sarja tai muu analyyttinen lauseke mahdollistaa nopean laskeminen; ja
mahdollisimman monien toimintojen vähentäminen tiettyyn toimintoon.

Sen sijaan voisi sanoa, on lähestyy tyypillisiä etuja puhdasta matematiikkaa : asymptoottinen analyysi , analyyttinen jatkaminen ja monodromy että kompleksitasossa , ja löytö symmetrian periaatteita ja muu rakenne julkisivun takaa loputtoman kaavojen riveihin. Itse asiassa näiden lähestymistapojen välillä ei ole todellista ristiriitaa.

Kahdeskymmenes vuosisata

1900 -luvulla nähtiin useita kiinnostavia aaltoja erikoistehtävien teoriaa kohtaan. Klassinen Whittaker ja Watson (1902) oppikirja pyrki yhdistämään teorian käyttämällä monimutkaisia muuttujia ; GN Watson Tome Treatise teorian Besselin funktiot työnsi tekniikoita niin pitkälle kuin mahdollista, että yksi tärkeä tyyppi, joka varsinkin myönsi asymptotics tutkia.

Myöhempi Bateman Käsikirjoitus Project , alla editorship Arthur Erdélyi , pyrkinyt olemaan ensyklopediamainen ja tuli noin kun elektroninen laskenta oli tulossa etualalle ja taulukointi lakannut olemasta pääasia.

Nykyaikaiset teoriat

Nykyaikaisella ortogonaalisten polynomien teorialla on selvä mutta rajoitettu laajuus. Hypergeometrisista sarjoista tuli monimutkainen teoria, joka tarvitsi myöhemmin käsitteellistä järjestelyä. Valehteluryhmät ja erityisesti niiden esitysteoria selittävät, mikä pallomainen funktio voi yleensä olla; Vuodesta 1950 eteenpäin huomattava osa klassisesta teoriasta voitaisiin muotoilla uudelleen Lie-ryhmien suhteen. Lisäksi algebrallisen yhdistelmätekniikan työ herätti myös mielenkiinnon teorian vanhempia osia kohtaan. Arveluja ja Ian G. Macdonald auttoi avaamaan suuri ja aktiivinen uusia kenttiä tyypillinen erityinen tehtävä maku. Eroyhtälöt ovat alkaneet ottaa paikkansa differentiaaliyhtälöiden lisäksi erikoisfunktioiden lähteenä.

Erikoistoimintoja lukuteoriassa

Vuonna lukuteoria , tiettyjä erikoistoimintoja on perinteisesti tutkittu, kuten erityisesti Dirichlet'n sarja ja modulimuoto . Lähes kaikki erikoisfunktioteorian näkökohdat heijastuvat siellä, samoin kuin jotkut uudet, kuten hirviömäisestä kuutamo -teoriasta .

Tutkijat

Katso myös

Viitteet

^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Juri Veniaminovitš ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [lokakuu 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (toim.). Taulukko integraaleista, sarjoista ja tuotteista . Kääntäjä Scripta Technica, Inc. (8 toim.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .
^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Matemaattisten funktioiden käsikirja .

Andrews, George E .; Askey, Richard ; Roy, Ranjan (1999). Erikoistoiminnot . Matematiikan tietosanakirja ja sen sovellukset. 71 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-62321-6. MR 1688958 .

Ulkoiset linkit

National Institute of Standards and Technology , Yhdysvaltain kauppaministeriö. NIST Digital Library of Mathematical Functions . Arkistoitu alkuperäisestä 13. joulukuuta 2018.
Weisstein, Eric W. "Erikoistoiminto" . MathWorld .
Online -laskin , tieteellinen online -laskin , jossa on yli 100 toimintoa (> = 32 numeroa, monia monimutkaisia) (saksan kieli)
Erikoistoimintoja osoitteessa EqWorld: The World of matemaattisia yhtälöitä
Gerard 't Hooftin ja Stefan Nobbenhuisin erikoisfunktiot ja polynomit (8. huhtikuuta 2013)
Numerical Methods for Special Functions , A. Gil, J. Segura, NM Temme (2007).
R. Jagannathan, (P, Q)-Erikoistoiminnot
Erikoistoiminnot wiki

[Zwillinger_2014-1] Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Juri Veniaminovitš ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [lokakuu 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (toim.). Taulukko integraaleista, sarjoista ja tuotteista . Kääntäjä Scripta Technica, Inc. (8 toim.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .

[IRENE-2] Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Matemaattisten funktioiden käsikirja .

Languages

In other projects