Béta funkció - Beta function

A matematikában a béta -függvény , más néven az első típusú Euler -integrál , egy speciális funkció , amely szorosan kapcsolódik a gamma -függvényhez és a binomiális együtthatókhoz . Ezt az integrál határozza meg

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt}$

a komplex szám bemenetek x , y , hogy Re x > 0, Re y > 0 .

A béta funkciót Euler és Legendre tanulmányozta, és nevét Jacques Binet adta ; jelképe Β egy görög fővárosban béta .

Tulajdonságok

A béta függvény szimmetrikus , ami azt jelenti

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

minden x és y bemenetre .

A béta funkció egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy szoros kapcsolatban áll a gamma funkcióval : az egyik rendelkezik ezzel

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}.}$

(A bizonyítékot alább a § A gamma funkcióval való kapcsolat című szakasz tartalmazza .)

A béta funkció szorosan összefügg a binomiális együtthatókkal is . Ha x (vagy y , szimmetria szerint) pozitív egész szám, akkor a gammafüggvény Γ definíciójából következik, hogy

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x+y-1) _ {x}}} = {\ frac {x+y} {xy }} \ cdot {\ frac {1} {\ binom {x+y} {x}}}.}$

Kapcsolat a gamma funkcióval

A viszony egyszerű levezetése megtalálható Emil Artin The Gamma Function című könyvében , 18–19. Ennek az összefüggésnek a levezetéséhez írja fel két faktoriális szorzatát as ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x+y)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-u} u^{x-1} \, du \ cdot \ int _ {v = 0}^{\ infty} \ e^{-v} v^{y-1} \, dv \\ [6pt] & = \ int _ {v = 0}^{ \ infty} \ int _ {u = 0}^{\ infty} \ e^{-uv} u^{x-1} v^{y-1} \, du \, dv. \ end {aligned}} }$

Ha a változókat u = zt és v = z (1 - t ) értékekkel módosítja , akkor termel

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} \ int _ {t = 0}^{1} e^{- z} (zt)^{x-1} (z (1-t))^{y-1} z \, dt \, dz \\ [6pt] & = \ int _ {z = 0}^{\ infty} e^{-z} z^{x+y-1} \, dz \ cdot \ int _ {t = 0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y- 1} \, dt \\ & = \ Gamma (x+y) \ cdot \ mathrm {B} (x, y). \ End {aligned}}}$

Ha mindkét oldalt elosztjuk, akkor megkapjuk a kívánt eredményt. ${\ displaystyle \ Gamma (x+y)}$

A kimondott azonosság a konvolúció integráljának az identitás sajátos esetének tekinthető . Felvétel

${\ displaystyle {\ begin {aligned} f (u) &: = e^{-u} u^{x-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}} \\ g (u) &: = e^{-u} u^{y-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}}, \ end {igazítva}}}$

az egyiknek van:

${\ displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (u) \, du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \, du = \ int _ {\ mathbb {R}} (f*g) (u) \, du = \ mathrm {B} (x, y) \, \ Gamma (x+y).}$

Származékok

Nekünk van

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ részleges x}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ frac {\ Gamma '(x) } {\ Gamma (x)}}-{\ frac {\ Gamma '(x+y)} {\ Gamma (x+y)}} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) {\ big (} \ psi (x)-\ psi (x+y) {\ nagy)},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ részleges x_ {m}}} \ mathrm {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ pontok, x_ {n}) = \ mathrm {B} ( x_ {1}, x_ {2}, \ pontok, x_ {n}) {\ nagy (} \ psi (x_ {m})-\ psi (\ összeg _ {k = 1}^{n} x_ {k }) {\ nagy)}, 1 \ leq m \ leq n}$

Közelítés

Stirling közelítése adja az aszimptotikus képletet

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {x^{x-1/2} y^{y-1/2}} {({ x+y})^{x+y-1/2}}}}$

nagy x és nagy y esetén . Ha viszont x nagy, és y rögzített, akkor

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \, x^{-y}.}$

Más identitások és képletek

A béta -funkciót meghatározó integrál többféleképpen is átírható, többek között a következők:

ahol az utolsó azonosságban n bármilyen pozitív valós szám. (Az első integrálról a másodikra ​​cserélhetünk cserével .) ${\ displaystyle t = \ tan ^{2} (\ theta)}$

A béta függvény végtelen összegként írható fel

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(1-x) _ {n}} {(y+n) n!} }}$(hol van az emelkedő tényező )${\ displaystyle (x) _ {n}}$

és végtelen termékként

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {x+y} {xy}} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ left (1+{\ dfrac {xy} {n (x+y+n)}} \ jobbra)^{-1}.}$

A béta függvény több olyan identitást is kielégít, amelyek megfelelnek a binomiális együtthatók megfelelő azonosságainak, beleértve Pascal azonosságának egy változatát

és egy egyszerű ismétlődés egy koordinátán:

Például a béta függvényt a t ↦ t csonka teljesítményfüggvényt magában foglaló konvolúcióban írhatjuk${\ displaystyle x, y \ geq 1}$ ^x
₊:

Az egyes pontokon végzett értékelések jelentősen egyszerűsödhetnek; például,

és

Ezt az utolsó képletet figyelembe véve különösen arra lehet következtetni, hogy Γ (1/2) = √ π . Az utolsó képletet kétváltozós identitássá is általánosíthatjuk a béta -függvények termékéhez: ${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$

Euler integrál a béta funkció lehet alakítani egy integrál Pochhammer kontúr C , mint

${\ displaystyle \ left (1-e^{2 \ pi i \ alpha} \ right) \ left (1-e^{2 \ pi i \ beta} \ right) \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta ) = \ int _ {C} t^{\ alfa -1} (1 -t)^{\ beta -1} \, dt.}$

Ez a Pochhammer -kontúrintegrál konvergál minden α és β értékhez, és így a béta -függvény analitikus folytatását adja .

Ahogy az egész számok gamma -függvénye a faktoriálisokat írja le , a béta -függvény binomiális együtthatót határozhat meg az indexek beállítása után:

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {1} {(n+1) \ mathrm {B} (n-k+1, k+1)}}.}}$

Ezenkívül az n egész szám esetén Β számításba vehető, hogy zárt alakú interpolációs függvényt adjunk a k folyamatos értékeihez :

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = (-1)^{n} \, n! \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ displaystyle \ prod _ {i = 0}^{n} (ki)}}.}$

Kölcsönös béta funkció

A kölcsönös béta funkció van a funkció a formában

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (x, y)}}}$

Érdekes, hogy integrált ábrázolásaik szorosan kapcsolódnak a trigonometrikus függvények határozott integráljához az erejének és többszörös szögének szorzatával :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ sin {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ balra ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\jobb)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ balra ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\jobb)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ cos ^{x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2^{x-1} x \ mathrm {B} \ balra ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2} }\jobb)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^{x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi} {2 ^{x} x \ mathrm {B} \ bal ({\ frac {x+y+1} {2}}, {\ frac {x-y+1} {2}} \ jobb)}}}$

Hiányos béta funkció

A hiányos béta funkciót , a béta funkció általánosítását a következőképpen definiáljuk

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0}^{x} t^{a-1} \, (1-t)^{b-1} \, dt.}$

Az X = 1 , nem teljes béta függvényt egybeesik a teljes béta funkció. A két funkció közötti kapcsolat olyan, mint a gamma -funkció és a nem teljes gamma -funkció általánosítása .

A rendszeresített hiányos bétafunkció (vagy rövidítve a rendszeres bétafunkció ) a hiányos bétafunkció és a teljes bétafunkció alapján van meghatározva:

${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}$

A szabályossá hiányos béta funkció az eloszlásfüggvény a béta eloszlás , és kapcsolatban van a kumulatív eloszlási függvény egy véletlenszerű változó X követően binomiális eloszlást a valószínűsége egyetlen siker p és száma Bernoulli kísérletek n : ${\ displaystyle F (k; \, n, p)}$

${\ displaystyle F (k; \, n, p) = \ Pr \ left (X \ leq k \ right) = I_ {1-p} (nk, k+1) = 1-I_ {p} (k+ 1, nk).}$

Tulajdonságok

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I_ {0} (a, b) & = 0 \\ I_ {1} (a, b) & = 1 \\ I_ {x} (a, 1) & = x^ {a} \\ I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x)^{b} \\ I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) \\ I_ {x} (a+1, b) & = I_ {x} (a, b)-{\ frac {x^{a} (1-x)^{b}} {a \ mathrm {B} (a, b)}} \\ I_ {x} (a, b+1) & = I_ {x} (a, b)+{\ frac {x^{a} (1-x) ^{b}} {b \ mathrm {B} (a, b)}} \\\ mathrm {B} (x; a, b) & = (-1)^{a} \ mathrm {B} \ balra ({\ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab \ jobb) \ end {igazítva}}}$

Többváltozós béta funkció

A béta függvény kiterjeszthető egy olyan funkcióra, amely több mint két argumentumot tartalmaz:

${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \, \ Gamma (\ alfa _ {2}) \ cdots \ Gamma (\ alfa _ {n})} {\ Gamma (\ alfa _ {1}+\ alfa _ {2}+\ cdots+\ alfa _ {n}) }}.}$

Ezt a többváltozós béta -függvényt használják a Dirichlet -eloszlás meghatározásához . A béta funkcióhoz való viszonya analóg a multinomiális együttható és a binomiális együttható közötti kapcsolathoz .

Alkalmazások

A béta funkció hasznos a Regge pályák kiszámításához és a szórási amplitúdó ábrázolásához . Ezenkívül ez volt az első ismert szórási amplitúdó a húrelméletben , amelyet először Gabriele Veneziano sejtett . Előfordul a preferenciális kötődési folyamat elméletében is , amely a sztochasztikus urnafolyamat egyik fajtája . A béta funkció is fontos a statisztika, például abból a Beta forgalmazás és Beta elsődleges forgalmazás . Mint korábban röviden utaltunk rá, a béta funkció szorosan kapcsolódik a gamma funkcióhoz, és fontos szerepet játszik a számításban .

Szoftver implementáció

Még ha nem is érhető el közvetlenül, a teljes és hiányos béta -függvényértékek kiszámíthatók a táblázat- vagy számítógépes algebrai rendszerek általánosan használt függvényekkel . Az Excelben például a teljes bétaérték kiszámítható a GammaLnfüggvényből:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

A hiányos bétaérték a következőképpen számítható ki:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Ezek az eredmények a fent felsorolt tulajdonságokból következnek .

Hasonlóképpen, a betainc(nem teljes bétafunkció) a MATLAB és a GNU Octave , pbeta(a bétaeloszlás valószínűsége) az R , vagy special.betainca Python SciPy csomagjában kiszámítja a rendszeresített hiányos béta függvényt - ami valójában a kumulatív bétaeloszlás - és így a tényleges hiányos béta függvényt, az eredményt meg kell szorozni betainca megfelelő betafüggvény által visszaadott eredménnyel . A Mathematica -ban , Beta[x, a, b]és BetaRegularized[x, a, b]adni és , ill. ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b)}$${\ displaystyle I_ {x} (a, b)}$

Lásd még

• Bétaeloszlás és Béta elsődleges eloszlás , két valószínűségi eloszlás a béta funkcióhoz kapcsolódóan
• Jacobi összeg , a véges mezők feletti béta függvény analógja .
• Nörlund – Rice integrál
• Yule – Simon eloszlás

Hivatkozások

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Béta funkció" , Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (szerk.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Zelen, M .; Severo, NC (1972), "26. Valószínűségi függvények", Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (szerk.), Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal , New York: Dover Publications ,  925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Davis, Philip J. (1972), "6. Gamma funkció és kapcsolódó funkciók", Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (szerk.), Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Paris, RB (2010), "Hiányos bétafunkciók" , Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (szerk.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "6.1. Szakasz: Gamma -funkció, béta -funkció, faktorok" , Numerikus receptek: The Art of Scientific Computing (3. kiadás), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Külső linkek

• "Béta-funkció" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• A béta funkció kiértékelése Laplace transzformációval a PlanetMath -on .
• Önkényesen pontos értékek a következőkből szerezhetők be:
  • A Wolfram funkciók oldala : Értékelje a béta rendszeresített hiányos bétáját
  • danielsoper.com: Hiányos bétafunkciós számológép , rendszeresített hiányos bétafunkciós számológép