Funcția beta - Beta function

În matematică , funcția beta , numită și integrala Euler de primul fel, este o funcție specială, care este strâns legată de funcția gamma și de coeficienții binomiali . Este definit de integral

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt}$

pentru intrări de număr complex x , y astfel încât Re x > 0, Re y > 0 .

Funcția beta a fost studiată de Euler și Legendre și i s-a dat numele de Jacques Binet ; simbolul său Β este o capitală greacă beta .

Proprietăți

Funcția beta este simetrică , ceea ce înseamnă că

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

pentru toate intrările x și y .

O proprietate cheie a funcției beta este relația sa strânsă cu funcția gamma : o avem

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}$

(O dovadă este dată mai jos în § Relația cu funcția gamma .)

Funcția beta este, de asemenea, strâns legată de coeficienții binomiali . Când x (sau y , prin simetrie) este un număr întreg pozitiv, rezultă din definiția funcției gamma Γ că

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x + y-1) _ {x}}} = {\ frac {x + y} {xy }} \ cdot {\ frac {1} {\ binom {x + y} {x}}}.}$

Relația cu funcția gamma

O simplă derivare a relației poate fi găsită în cartea lui Emil Artin The Gamma Function , pagina 18-19. Pentru a obține această relație, scrieți produsul a doi factori ca ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {u = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- u} u ^ {x-1} \, du \ cdot \ int _ {v = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- v} v ^ {y-1} \, dv \\ [6pt] & = \ int _ {v = 0} ^ { \ infty} \ int _ {u = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- uv} u ^ {x-1} v ^ {y-1} \, du \, dv. \ end {align}} }$

Schimbarea variabilelor cu u = zt și v = z (1 - t ) produce

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {z = 0} ^ {\ infty} \ int _ {t = 0} ^ {1} e ^ {- z} (zt) ^ {x-1} (z (1-t)) ^ {y-1} z \, dt \, dz \\ [6pt] & = \ int _ {z = 0} ^ {\ infty} e ^ {- z} z ^ {x + y-1} \, dz \ cdot \ int _ {t = 0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y- 1} \, dt \\ & = \ Gamma (x + y) \ cdot \ mathrm {B} (x, y). \ End {align}}}$

Împărțirea ambelor părți la rezultatul dorit. ${\ displaystyle \ Gamma (x + y)}$

Identitatea declarată poate fi văzută ca un caz particular al identității pentru integrala unei convoluții . Luând

${\ displaystyle {\ begin {align} f (u) &: = e ^ {- u} u ^ {x-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}} \\ g (u) &: = e ^ {- u} u ^ {y-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}}, \ end {align}}}$

unul are:

${\ displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (u) \, du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \, du = \ int _ {\ mathbb {R}} (f * g) (u) \, du = \ mathrm {B} (x, y) \, \ Gamma (x + y).}$

Derivate

Avem

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ frac {\ Gamma '(x) } {\ Gamma (x)}} - {\ frac {\ Gamma '(x + y)} {\ Gamma (x + y)}} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) {\ big (} \ psi (x) - \ psi (x + y) {\ big)},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {m}}} \ mathrm {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {B} ( x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) {\ big (} \ psi (x_ {m}) - \ psi (\ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k }) {\ big)}, 1 \ leq m \ leq n}$

Apropiere

Aproximarea lui Stirling dă formula asimptotică

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {x ^ {x-1/2} y ^ {y-1/2}} {({ x + y}) ^ {x + y-1/2}}}}$

pentru x mare și y mare . Dacă pe de altă parte x este mare și y este fix, atunci

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \, x ^ {- y}.}$

Alte identități și formule

Integrala care definește funcția beta poate fi rescrisă într-o varietate de moduri, inclusiv următoarele:

unde în ultima identitate n este orice număr real pozitiv. (Se poate trece de la prima integrală la a doua prin substituire .) ${\ displaystyle t = \ tan ^ {2} (\ theta)}$

Funcția beta poate fi scrisă ca o sumă infinită

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(1-x) _ {n}} {(y + n) n!} }}$(unde este factorialul în creștere )${\ displaystyle (x) _ {n}}$

și ca produs infinit

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {x + y} {xy}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ dfrac {xy} {n (x + y + n)}} \ dreapta) ^ {- 1}.}$

Funcția beta satisface mai multe identități similare identităților corespunzătoare pentru coeficienții binomiali, inclusiv o versiune a identității lui Pascal

și o recurență simplă pe o coordonată:

Deoarece , funcția beta poate fi scrisă în termeni de convoluție care implică funcția de putere trunchiată t ↦ t${\ displaystyle x, y \ geq 1}$ ^x
₊:

Evaluările în anumite puncte pot simplifica semnificativ; de exemplu,

și

Luând în considerare această ultimă formulă, se poate concluziona în special că Γ (1/2) = √ π . Se poate generaliza, de asemenea, ultima formulă într-o identitate bivariantă pentru un produs cu funcții beta: ${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$

Integral Euler pentru funcția beta poate fi transformată într - o integrală pe Pochhammer conturului C ca

${\ displaystyle \ left (1-e ^ {2 \ pi i \ alpha} \ right) \ left (1-e ^ {2 \ pi i \ beta} \ right) \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta ) = \ int _ {C} t ^ {\ alpha -1} (1-t) ^ {\ beta -1} \, dt.}$

Această integrală a conturului Pochhammer converge pentru toate valorile lui α și β și oferă astfel continuarea analitică a funcției beta.

La fel cum funcția gamma pentru numere întregi descrie factorialele , funcția beta poate defini un coeficient binomial după ajustarea indicilor:

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {1} {(n + 1) \ mathrm {B} (n-k + 1, k + 1)}}.}$

Mai mult, pentru numărul întreg n , Β poate fi luat în calcul pentru a da o funcție de interpolare de formă închisă pentru valorile continue ale k :

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = (- 1) ^ {n} \, n! \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ displaystyle \ prod _ {i = 0} ^ {n} (ki)}}.}$

Funcția beta reciprocă

Funcția beta reciprocă este funcția despre formular

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (x, y)}}}$

Interesant este faptul că reprezentările lor integrale sunt strâns legate ca integrala definită a funcțiilor trigonometrice cu produsul puterii și al unghiului multiplu :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ sin {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2} }\dreapta)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2} }\dreapta)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2} }\dreapta)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi} {2 ^ {x} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2}} \ right)}}}$

Funcția beta incompletă

Funcția beta incompletă , o generalizare a funcției beta, este definită ca

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \, (1-t) ^ {b-1} \, dt.}$

Pentru x = 1 , funcția beta incompletă coincide cu funcția beta completă. Relația dintre cele două funcții este ca cea dintre funcția gamma și generalizarea acesteia funcția gamma incompletă .

Funcția beta incompletă regularizată (sau funcția beta regularizată pe scurt) este definită în termenii funcției beta incomplete și a funcției beta complete:

${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}$

Regularizat Funcția beta incompletă este cumulativă funcția de distribuție a distribuției beta , și este legat de funcția de distribuție cumulativă a unei variabile aleatoare X ca urmare a unei distribuție binomială cu probabilitate de un singur succes p și numărul de încercări Bernoulli n : ${\ displaystyle F (k; \, n, p)}$

${\ displaystyle F (k; \, n, p) = \ Pr \ left (X \ leq k \ right) = I_ {1-p} (nk, k + 1) = 1-I_ {p} (k + 1, nk).}$

Proprietăți

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {0} (a, b) & = 0 \\ I_ {1} (a, b) & = 1 \\ I_ {x} (a, 1) & = x ^ {a} \\ I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x) ^ {b} \\ I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) \\ I_ {x} (a + 1, b) & = I_ {x} (a, b) - {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {a \ mathrm {B} (a, b)}} \\ I_ {x} (a, b + 1) & = I_ {x} (a, b) + {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {b \ mathrm {B} (a, b)}} \\\ mathrm {B} (x; a, b) & = (- 1) ^ {a} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab \ right) \ end {align}}}$

Funcția beta multivariată

Funcția beta poate fi extinsă la o funcție cu mai mult de două argumente:

${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \, \ Gamma (\ alpha _ {2}) \ cdots \ Gamma (\ alpha _ {n})} {\ Gamma (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}) }}.}$

Această funcție beta multivariată este utilizată în definiția distribuției Dirichlet . Relația sa cu funcția beta este analogă relației dintre coeficienții multinomiali și coeficienții binomiali.

Aplicații

Funcția beta este utilă în calculul și reprezentarea amplitudinii de împrăștiere pentru traiectorii Regge . Mai mult, a fost prima amplitudine de împrăștiere cunoscută în teoria corzilor , pentru prima dată conjecturată de Gabriele Veneziano . De asemenea, apare în teoria procesului de atașament preferențial , un tip de proces urnal stochastic . Funcția beta este, de asemenea, importantă în statistici, de exemplu, pentru distribuția beta și distribuția beta primă . După cum sa menționat pe scurt anterior, funcția beta este strâns legată de funcția gamma și joacă un rol important în calcul .

Implementarea software-ului

Chiar dacă nu sunt disponibile în mod direct, valorile funcției beta complete și incomplete pot fi calculate folosind funcțiile incluse în mod obișnuit în foile de calcul sau sistemele de algebră computerizate . În Excel , de exemplu, valoarea beta completă poate fi calculată din GammaLnfuncția:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

O valoare beta incompletă poate fi calculată ca:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Aceste rezultate rezultă din proprietățile enumerate mai sus .

În mod similar, betainc(funcția beta incompletă) în MATLAB și GNU Octave , pbeta(probabilitatea distribuției beta) în R sau special.betaincîn pachetul SciPy al Python calculează funcția beta incompletă regularizată - care este, de fapt, distribuția beta cumulativă - și așa, pentru a obține funcția beta incompletă efectivă, trebuie să multiplicați rezultatul cu rezultatul returnat de funcția corespunzătoare . În Mathematica , și dă și , respectiv. betaincbetaBeta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b]${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b)}$${\ displaystyle I_ {x} (a, b)}$

Vezi si

• Distribuția beta și distribuția primă beta , două distribuții de probabilitate legate de funcția beta
• Suma Jacobi , analogul funcției beta asupra câmpurilor finite .
• Integrala Nörlund – Rice
• Distribuția Yule – Simon

Referințe

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), „Funcția beta” , în Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Zelen, M .; Severo, NC (1972), „26. Probability functions”, în Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , New York: Dover Publications , pp.  925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Davis, Philip J. (1972), „6. Funcția gamma și funcțiile conexe”, în Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Paris, RB (2010), „Funcții beta incomplete” , în Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Apăsați, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Secțiunea 6.1 Funcția Gamma, Funcția Beta, Factorii” , Rețete numerice: Arta de calcul științific (ediția a 3-a), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

linkuri externe

• „Funcția beta” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluarea funcției beta utilizând transformata Laplace la PlanetMath .
• Valori precise în mod arbitrar pot fi obținute din:
  • Site-ul funcțiilor Wolfram : evaluați versiunea beta incompletă regularizată beta
  • danielsoper.com: Calculator de funcții beta incomplet , Calculator de funcții beta incomplet regularizat