Invariante digital perfecto - Perfect digital invariant

En teoría de números , un invariante digital perfecto (PDI) es un número en una base numérica dada que es la suma de sus propios dígitos, cada uno elevado a una potencia determinada . ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle p}$

Definición

Sea un número natural . Definimos la función invariante digital perfecta (también conocida como función feliz , a partir de números felices ) para que la base y el poder sean los siguientes: ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b> 1}$ ${\ Displaystyle p> 0}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle F_ {p, b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} ^ {p}.}

donde es el número de dígitos en el número en base , y ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ ${\ Displaystyle b}$

{\ Displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

es el valor de cada dígito del número. Un número natural es un invariante digital perfecto si es un punto fijo para , lo que ocurre si . y son invariantes digitales perfectos triviales para todos y , todos los demás invariantes digitales perfectos son invariantes digitales perfectos no triviales . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b}}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} (n) = n}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle p}$

Por ejemplo, el número 4150 en la base es un invariante digital perfecto con , porque . ${\ Displaystyle b = 10}$ ${\ Displaystyle p = 5}$ ${\ displaystyle 4150 = 4 ^ {5} + 1 ^ {5} + 5 ^ {5} + 0 ^ {5}}$

Un número natural es una invariante digitales sociable si es un punto periódico para , en donde para un positivo número entero (en este caso es el º iterate de ), y forma un ciclo de periodo . Un invariante digital perfecto es un invariante digital sociable con , y un invariante digital amigable es un invariante digital sociable con . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b}}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} ^ {k} (n) = n}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k = 1}$ ${\ Displaystyle k = 2}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que si , por lo que cualquiera satisfará hasta . Hay un número finito de números naturales menores que , por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que , convirtiéndolo en un punto preperiódico. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b}}$ ${\ Displaystyle k \ geq p + 2}$ ${\ Displaystyle n \ geq b ^ {k-1}> b ^ {p} k}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n> F_ {b, p} (n)}$ ${\ Displaystyle n <b ^ {p + 1}}$ ${\ Displaystyle b ^ {p + 1}}$ ${\ Displaystyle b ^ {p + 1}}$

Los números en la base conducen a puntos fijos o periódicos de números . ${\ Displaystyle b> p}$ ${\ Displaystyle n \ leq (p-2) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$

Prueba -

Si , entonces el límite se puede reducir. Sea el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que . ${\ Displaystyle b> p}$ ${\ Displaystyle n <b ^ {p + 1}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle b ^ {p}}$

{\ Displaystyle r = b ^ {p} -1 = \ sum _ {t = 0} ^ {p} (b-1) b ^ {t}}

{\ Displaystyle F_ {p, b} (r) = (p + 1) (b-1) ^ {p} <(p + 1) b ^ {p} \ leq b ^ {p + 1}}

porque

{\ Displaystyle b \ geq (p + 1)}

Sea el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que . ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle (p + 1) (b-1) ^ {p}}$

{\ Displaystyle s = (p + 1) b ^ {p} -1 = pb ^ {p} + \ sum _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t}}

{\ Displaystyle F_ {p, b} (s) = p ^ {p} + p (b-1) ^ {p} <pb ^ {p}}

porque

{\ Displaystyle b \ geq p}

Sea el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que . ${\ Displaystyle t}$ ${\ displaystyle pb ^ {p}}$

{\ Displaystyle t = (p-1) b ^ {p} + \ sum _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t}}

{\ Displaystyle F_ {p, b} (t) = (p-1) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}

Sea el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que . ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} (t) +1}$

{\ Displaystyle u = (p-2) segundo ^ {p} + \ sum _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) segundo ^ {t}}

{\ Displaystyle F_ {p, b} (u) = (p-2) ^ {p} + p (b-1) ^ {p} <(p-1) ^ {p} + p (b-1) ^ {p} = n _ {\ ell +1}}

${\ Displaystyle u \ leq F_ {p, b} (u) <F_ {p, b} (t)}$ . Por tanto, los números en la base conducen a ciclos o puntos fijos de números . ${\ Displaystyle b> p}$ ${\ Displaystyle n \ leq F_ {p, b} (u) = (p-1) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función invariante digital perfecta e indefinido si nunca alcanza un punto fijo. ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} ^ {i} (n)}$ ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle F_ {1, b}}$ es la suma de dígitos . Los únicos invariantes digitales perfectos son los números de un solo dígito en la base , y no hay puntos periódicos con un período primo mayor que 1. ${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle F_ {p, 2}}$ se reduce a , como para cualquier poder , y . ${\ Displaystyle F_ {1,2}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ ${\ Displaystyle 1 ^ {p} = 1}$

Para cada número natural , si , y , luego para cada número natural , si , entonces , ¿dónde está la función totient de Euler ? ${\ Displaystyle k> 1}$ ${\ Displaystyle p <b}$ ${\ Displaystyle (b-1) \ equiv 0 {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle (p-1) \ equiv 0 {\ bmod {\ phi}} (k)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n \ equiv m {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} (n) \ equiv m {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle \ phi (k)}$

Prueba -

Dejar

{\ Displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {j} d_ {i} b ^ {i}}

ser un número natural con dígitos, donde , y , donde es un número natural mayor que 1. ${\ Displaystyle j}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {i} <b}$ ${\ Displaystyle (b-1) \ equiv 0 {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle k}$

De acuerdo con las reglas de divisibilidad de la base , si , entonces si , entonces la suma de dígitos ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle b-1 \ equiv 0 {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle n \ equiv m {\ bmod {k}}}$

{\ Displaystyle F_ {1, b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {j} d_ {i} \ equiv m {\ bmod {k}}}

Si es un dígito , entonces . De acuerdo con el teorema de Euler , si , . Por lo tanto, si el dígito suma , entonces . ${\ Displaystyle d_ {i} \ equiv m {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle d_ {i} ^ {p} \ equiv m ^ {p} {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle (p-1) \ equiv 0 {\ bmod {\ phi}} (k)}$ ${\ Displaystyle m ^ {p} {\ bmod {k}} = m {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle F_ {1, b} (n) \ equiv m {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} (n) \ equiv m {\ bmod {k}}}$

Por lo tanto, para cualquier número natural , si , y luego para cada número natural , si , entonces . ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle p <b}$ ${\ Displaystyle (b-1) \ equiv 0 {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle (p-1) \ equiv 0 {\ bmod {\ phi}} (k)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n \ equiv m {\ bmod {k}}}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b} (n) \ equiv m {\ bmod {k}}}$

No se puede determinar ningún límite superior para el tamaño de los invariantes digitales perfectos en una base dada y una potencia arbitraria, y actualmente no se sabe si el número de invariantes digitales perfectos para una base arbitraria es finito o infinito.

Invariantes digitales perfectos de F _{2, b}

Por definición, cualquier de tres dígitos invariante digital perfecta para los dígitos de los números naturales , , tiene que satisfacer el cúbica ecuación Diophantine . Sin embargo, tiene que ser igual a 0 o 1 para cualquiera , porque el valor máximo que puede tomar es . Como resultado, en realidad hay dos ecuaciones diofánticas cuadráticas relacionadas para resolver: ${\ Displaystyle n = d_ {2} d_ {1} d_ {0}}$ ${\ Displaystyle F_ {2, b}}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {0} <b}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {1} <b}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {2} <b}$ ${\ Displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} }$ ${\ Displaystyle d_ {2}}$ ${\ Displaystyle b> 2}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n = (2-1) ^ {2} +2 (b-1) ^ {2} = 1 + 2 (b-1) ^ {2} <2b ^ {2}}$

{\ Displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} = d_ {1} b + d_ {0}}

cuando y

{\ Displaystyle d_ {2} = 0}

{\ Displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

cuando .

{\ Displaystyle d_ {2} = 1}

El número natural de dos dígitos es un invariante digital perfecto en base ${\ Displaystyle n = d_ {1} d_ {0}}$

{\ Displaystyle b = d_ {1} + {\ frac {d_ {0} (d_ {0} -1)} {d_ {1}}}.}

Esto se puede probar tomando el primer caso, dónde y resolviendo . Esto significa que para algunos valores de y , no es un invariante digital perfecto en ninguna base, ya que no es un divisor de . Además, porque si o , entonces , lo que contradice la afirmación anterior de que . ${\ Displaystyle d_ {2} = 0}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle d_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {1}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle d_ {1}}$ ${\ Displaystyle d_ {0} (d_ {0} -1)}$ ${\ Displaystyle d_ {0}> 1}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = 0}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = 1}$ ${\ Displaystyle b = d_ {1}}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {1} <b}$

No hay invariantes digitales perfectos de tres dígitos para , lo que se puede probar tomando el segundo caso, dónde , y dejando y . Entonces la ecuación diofántica para el invariante digital perfecto de tres dígitos se convierte en ${\ Displaystyle F_ {2, b}}$ ${\ Displaystyle d_ {2} = 1}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = b-a_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {1} = b-a_ {1}}$

{\ Displaystyle (b-a_ {0}) ^ {2} + (b-a_ {1}) ^ {2} + 1 = b ^ {2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}

{\ Displaystyle b ^ {2} -2a_ {0} b + a_ {0} ^ {2} + b ^ {2} -2a_ {1} b + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ { 2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}

{\ Displaystyle 2b ^ {2} -2 (a_ {0} + a_ {1}) b + a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + ( b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}

{\ Displaystyle b ^ {2} + (b-2 (a_ {0} + a_ {1})) b + a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ { 2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}

Sin embargo, para todos los valores de . Por lo tanto, no hay soluciones para la ecuación diofántica y no hay invariantes digitales perfectos de tres dígitos para . ${\ Displaystyle 2 (a_ {0} + a_ {1})> a_ {1}}$ ${\ Displaystyle 0 <a_ {1} \ leq b}$ ${\ Displaystyle F_ {2, b}}$

Invariantes digitales perfectos de F _{3, b}

Solo hay cuatro números, después de la unidad, que son las sumas de los cubos de sus dígitos:

${\ Displaystyle 153 = 1 ^ {3} + 5 ^ {3} + 3 ^ {3}}$

${\ displaystyle 370 = 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 0 ^ {3}}$

${\ Displaystyle 371 = 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 1 ^ {3}}$

${\ displaystyle 407 = 4 ^ {3} + 0 ^ {3} + 7 ^ {3}.}$

Estos son hechos extraños, muy adecuados para columnas de rompecabezas y probablemente divertirán a los aficionados, pero no hay nada en ellos que atraiga al matemático. (secuencia A046197 en la OEIS )
- GH Hardy , la disculpa de un matemático

Por definición, cualquier cuatro dígitos invariante digital perfecta para los dígitos de los números naturales , , , tiene que satisfacer el cuarto grado ecuación Diophantine . Sin embargo, tiene que ser igual a 0, 1, 2 para cualquiera , porque el valor máximo que puede tomar es . Como resultado, en realidad hay tres ecuaciones diofánticas cúbicas relacionadas para resolver ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {0} <b}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {1} <b}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {2} <b}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq d_ {3} <b}$ ${\ Displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + d_ {3} ^ {3} = d_ {3} b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {3}}$ ${\ Displaystyle b> 3}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n = (3-2) ^ {3} +3 (b-1) ^ {3} = 1 + 3 (b-1) ^ {3} <3b ^ {3}}$

{\ Displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} }

cuando

{\ Displaystyle d_ {3} = 0}

{\ Displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + 1 = b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ { 1} b + d_ {0}}

cuando

{\ Displaystyle d_ {3} = 1}

{\ Displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + 8 = 2b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ { 1} b + d_ {0}}

cuando

{\ Displaystyle d_ {3} = 2}

Tomamos el primer caso, donde . ${\ Displaystyle d_ {3} = 0}$

b = 3 k + 1

Sea un entero positivo y la base numérica . Entonces: ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle b = 3k + 1}$

${\ Displaystyle n_ {1} = kb ^ {2} + (2k + 1) b}$ es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Prueba -

Deje que los dígitos de ser , y . Entonces ${\ Displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {2} = k}$ ${\ Displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = 0}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} F_ {3, b} (n_ {1}) & = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \ \ & = k ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3} \\ & = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2 }) (k + (2k + 1)) \\ & = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) \\ & = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1) \\ & = (3k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ & = (k + 1) (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ & = k (3k + 1) (3k + 1) + (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ & = k (3k + 1) ^ {2} + (2k + 1) (3k + 1) +0 \\ & = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0 } \\ & = n_ {1} \ end {alineado}}}

Por lo tanto, es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle n_ {1}}$ ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

${\ Displaystyle n_ {2} = kb ^ {2} + (2k + 1) b + 1}$ es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Prueba -

Deje que los dígitos de ser , y . Entonces ${\ Displaystyle n_ {2} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {2} = k}$ ${\ Displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = 1}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} F_ {3, b} (n_ {2}) & = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \ \ & = k ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} + 1 ^ {3} \\ & = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2 }) (k + (2k + 1)) + 1 \\ & = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) +1 \\ & = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1) +1 \\ & = (3k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) +1 \ \ & = (k + 1) (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) +1 \\ & = k (3k + 1) (3k + 1) + (3k + 1) (3k +1) -k (3k + 1) +1 \\ & = k (3k + 1) ^ {2} + (2k + 1) (3k + 1) +1 \\ & = d_ {2} b ^ { 2} + d_ {1} b + d_ {0} \\ & = n_ {2} \ end {alineado}}}

Por lo tanto, es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle n_ {2}}$ ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

${\ Displaystyle n_ {3} = (k + 1) b ^ {2} + (2k + 1)}$ es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Prueba -

Deje que los dígitos de ser , y . Entonces ${\ Displaystyle n_ {3} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {2} = k + 1}$ ${\ Displaystyle d_ {1} = 0}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = 2k + 1}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} F_ {3, b} (n_ {3}) & = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \ \ & = (k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} \\ & = ((k + 1) ^ {2} - (k + 1) (2k +1) + (2k + 1) ^ {2}) ((k + 1) + (2k + 1)) \\ & = ((k + 1) ^ {2} + k (2k + 1) (3k +2) \\ & = (k ^ {2} + 2k + 1 + 2k ^ {2} + k) (3k + 2) \\ & = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2 ) \\ & = (3k ^ {2} + 3k) (3k + 2) + (3k + 2) \\ & = 3k (k + 1) (3k + 2) + (3k + 2) \\ & = (k + 1) ((3k + 1) ^ {2} -1) + (3k + 2) \\ & = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} - (k + 1) + ( 3k + 2) \\ & = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} +0 (3k + 1) + (2k + 1) \\ & = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} \\ & = n_ {3} \ end {alineado}}}

Por lo tanto, es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle n_ {3}}$ ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Invariantes digitales perfectos
${\ Displaystyle k}$	${\ Displaystyle b}$	${\ Displaystyle n_ {1}}$	${\ Displaystyle n_ {2}}$	${\ Displaystyle n_ {3}}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	dieciséis	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J

b = 3 k + 2

Sea un entero positivo y la base numérica . Entonces: ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle b = 3k + 2}$

${\ Displaystyle n_ {1} = kb ^ {2} + (2k + 1)}$ es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Prueba -

Deje que los dígitos de ser , y . Entonces ${\ Displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {2} = k}$ ${\ Displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = 0}$

{\ Displaystyle F_ {3, b} (n_ {1}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3}}

{\ Displaystyle = k ^ {3} + 0 ^ {3} + (2k + 1) ^ {3}}

{\ Displaystyle = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (k + (2k + 1))}

{\ Displaystyle = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1)}

{\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1)}

{\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) - (3k ^ {2} + 3k + 1)}

{\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) - (3k ^ {2} + 2k + k + 1)}

{\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) -k (3k + 2) - (k + 1)}

{\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 2k + 1) (3k + 2) - (k + 1)}

{\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 2k) (3k + 2) + (3k + 2) - (k + 1)}

{\ Displaystyle = k (3k + 2) ^ {2} + (2k + 1)}

{\ Displaystyle = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

{\ Displaystyle = n_ {1}}

Por lo tanto, es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle n_ {1}}$ ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Invariantes digitales perfectos
${\ Displaystyle k}$	${\ Displaystyle b}$	${\ Displaystyle n_ {1}}$
1	5	103
2	8	205
3	11	307
4	14	409
5	17	50B
6	20	60D
7	23	70F
8	26	80H
9	29	90J

b = 6 k + 4

Sea un entero positivo y la base numérica . Entonces: ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle b = 6k + 4}$

${\ Displaystyle n_ {4} = kb ^ {2} + (3k + 2) b + (2k + 1)}$ es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Prueba -

Deje que los dígitos de ser , y . Entonces ${\ Displaystyle n_ {4} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ Displaystyle d_ {2} = k + 1}$ ${\ Displaystyle d_ {1} = 3k + 2}$ ${\ Displaystyle d_ {0} = 2k + 1}$

{\ Displaystyle F_ {3, b} (n_ {3}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3}}

{\ Displaystyle = (k) ^ {3} + (3k + 2) ^ {3} + (2k + 1) ^ {3}}

{\ Displaystyle = k ^ {3} + ((3k + 2) ^ {2} - (3k + 2) (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) ((3k + 2) + ( 2k + 1))}

{\ Displaystyle = k ^ {3} + ((3k + 2) (k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (5k + 3)}

{\ Displaystyle = k ^ {3} + (3k ^ {2} + 5k + 2 + 4k ^ {2} + 4k + 1) (5k + 3)}

{\ Displaystyle = k ^ {3} + (7k ^ {2} + 9k + 3) (5k + 3)}

{\ Displaystyle = k ^ {3} + 5k (7k ^ {2} + 9k + 3) +3 (7k ^ {2} + 9k + 3)}

{\ Displaystyle = k ^ {3} + 35k ^ {3} + 45k ^ {2} + 15k + 21k ^ {2} + 27k + 9}

{\ Displaystyle = 36k ^ {3} + 66k ^ {2} + 42k + 9}

{\ Displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2}) + 42k ^ {2} + 42k + 9}

{\ Displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2}) + (6k + 4) (4k ^ {2}) + 18k ^ {2} + 26k + 9}

{\ Displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2} + 4k) + 18k ^ {2} + 26k + 9}

{\ Displaystyle = k (6k + 4) ^ {2} + (6k + 4) (3k) + 14k + 9}

{\ Displaystyle = k (6k + 4) ^ {2} + (3k + 2) (6k + 4) + 2k + 1}

{\ Displaystyle = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

{\ Displaystyle = n_ {4}}

Por lo tanto, es un invariante digital perfecto para todos . ${\ Displaystyle n_ {4}}$ ${\ Displaystyle F_ {3, b}}$ ${\ Displaystyle k}$

Invariantes digitales perfectos
${\ Displaystyle k}$	${\ Displaystyle b}$	${\ Displaystyle n_ {4}}$
0	4	021
1	10	153
2	dieciséis	285
3	22	3B7
4	28	4E9

Invariantes digitales perfectos y ciclos de F _{p , b} para p y b específicos

Todos los números están representados en base . ${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle p}$	${\ Displaystyle b}$	Invariantes digitales perfectos no triviales	Ciclos
2	3	12, 22	2 → 11 → 2
	4	${\ Displaystyle \ varnothing}$	${\ Displaystyle \ varnothing}$
	5	23, 33	4 → 31 → 20 → 4
	6	${\ Displaystyle \ varnothing}$	5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
	7	13, 34, 44, 63	2 → 4 → 22 → 11 → 2 16 → 52 → 41 → 23 → 16
	8	24, 64	4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 15 → 32 → 15
	9	45, 55	58 → 108 → 72 → 58 75 → 82 → 75
	10	${\ Displaystyle \ varnothing}$	4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
	11	56, 66	5 → 23 → 12 → 5 68 → 91 → 75 → 68
	12	25, A5	5 → 21 → 5 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22 → 8 18 → 55 → 42 → 18 68 → 84 → 68
	13	14, 36, 67, 77, A6, C4	28 → 53 → 28 79 → A0 → 79 98 → B2 → 98
	14	${\ Displaystyle \ varnothing}$	1B → 8A → BA → 11B → 8B → D3 → CA → 136 → 34 → 1B 29 → 61 → 29
	15	78, 88	2 → 4 → 11 → 2 8 → 44 → 22 → 8 15 → 1B → 82 → 48 → 55 → 35 → 24 → 15 2B → 85 → 5E → EB → 162 → 2B 4E → E2 → D5 → CE → 17A → A0 → 6A → 91 → 57 → 4E 9A → C1 → 9A D6 → DA → 12E → D6
	dieciséis	${\ Displaystyle \ varnothing}$	D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
3	3	122	2 → 22 → 121 → 101 → 2
	4	20, 21, 130, 131, 203, 223, 313, 332	${\ Displaystyle \ varnothing}$
	5	103, 433	14 → 230 → 120 → 14
	6	243, 514, 1055	13 → 44 → 332 → 142 → 201 → 13
	7	12, 22, 250, 251, 305, 505	2 → 11 → 2 13 → 40 → 121 → 13 23 → 50 → 236 → 506 → 665 → 1424 → 254 → 401 → 122 → 23 51 → 240 → 132 → 51 160 → 430 → 160 161 → 431 → 161 466 → 1306 → 466 516 → 666 → 1614 → 552 → 516
	8	134, 205, 463, 660, 661	662 → 670 → 1057 → 725 → 734 → 662
	9	30, 31, 150, 151, 570, 571, 1388	38 → 658 → 1147 → 504 → 230 → 38 152 → 158 → 778 → 1571 → 572 → 578 → 1308 → 660 → 530 → 178 → 1151 → 152 638 → 1028 → 638 818 → 1358 → 818
	10	153, 370, 371, 407	55 → 250 → 133 → 55 136 → 244 → 136 160 → 217 → 352 → 160 919 → 1459 → 919
	11	32, 105, 307, 708, 966, A06, A64	3 → 25 → 111 → 3 9 → 603 → 201 → 9 A → 82A → 1162 → 196 → 790 → 895 → 1032 → 33 → 4A → 888 → 1177 → 576 → 5723 → A3 → 8793 → 1210 → A 25A → 940 → 661 → 364 → 25A 366 → 388 → 876 → 894 → A87 → 1437 → 366 49A → 1390 → 629 → 797 → 1077 → 575 → 49A
	12	577, 668, A83, 11AA
	13	490, 491, 509, B85	13 → 22 → 13
	14	136, 409
	15	C3A, D87
	dieciséis	23, 40, 41, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 580, 581, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1
4	3	${\ Displaystyle \ varnothing}$	121 → 200 → 121 122 → 1020 → 122
	4	1103, 3303	3 → 1101 → 3
	5	2124, 2403, 3134	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 2324 → 2434 → 4414 → 11034 → 2324 3444 → 11344 → 4340 → 4333 → 3444
	6	${\ Displaystyle \ varnothing}$
	7	${\ Displaystyle \ varnothing}$
	8	20, 21, 400, 401, 420, 421
	9	432, 2466
5	3	1020, 1021, 2102, 10121	${\ Displaystyle \ varnothing}$
5	4	200	3 → 3303 → 23121 → 10311 → 3312 → 20013 → 10110 → 3 3311 → 13220 → 10310 → 3311

Extensión a enteros negativos

Los invariantes digitales perfectos se pueden extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.

Ternario equilibrado

En ternario balanceado , los dígitos son 1, -1 y 0. Esto da como resultado lo siguiente:

Con potencias impares , se reduce a la iteración de suma de dígitos , como , y . ${\ Displaystyle p \ equiv 1 {\ bmod {2}}}$ ${\ displaystyle F_ {p, {\ text {bal}} 3}}$ ${\ Displaystyle (-1) ^ {p} = - 1}$ ${\ Displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ ${\ Displaystyle 1 ^ {p} = 1}$
Con potencias pares , indica si el número es par o impar, ya que la suma de cada dígito indicará divisibilidad por 2 si y solo si la suma de dígitos termina en 0. Como y , para cada par de dígitos 1 o -1, su suma es 0 y la suma de sus cuadrados es 2. ${\ Displaystyle p \ equiv 0 {\ bmod {2}}}$ ${\ displaystyle F_ {p, {\ text {bal}} 3}}$ ${\ Displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {p} = 1 ^ {p} = 1}$

Relación con los números felices

Un número feliz para una base dada y una potencia dada es un punto preperiódico para la función invariante digital perfecta tal que la -ésima iteración de es igual al invariante digital perfecto trivial , y un número infeliz es uno tal que no existe tal . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b}}$ ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle F_ {p, b}}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle m}$

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo implementa la función invariante digital perfecta descrita en la definición anterior para buscar ciclos e invariantes digitales perfectos en Python . Esto se puede usar para encontrar números felices .

def pdif(x: int, p: int, b: int) -> int:
    """Perfect digital invariant function."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + pow(x % b, p)
        x = x // b
    return total

def pdif_cycle(x: int, p: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = pdif(x, p, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = pdif(x, p, b)
    return cycle

Ver también

Referencias

enlaces externos

Invariantes digitales

Languages

In other projects

Invariante digital perfecto - Perfect digital invariant

Contenido

Definición

Invariantes digitales perfectos de F _{2, b}