Äquivariante Karte - Equivariant map
In der Mathematik ist Äquivarianz eine Form der Symmetrie für Funktionen von einem Raum mit Symmetrie zu einem anderen (z. B. symmetrische Räume ). Eine Funktion wird gesagt , eine sein äquivariante Karte , wenn seine Domäne und codomain werden auf gehandelt von der gleichen Symmetriegruppe , und wenn die Funktion pendelt mit der Aktion der Gruppe. Das heißt, das Anwenden einer Symmetrietransformation und das anschließende Berechnen der Funktion führt zu demselben Ergebnis wie das Berechnen der Funktion und das anschließende Anwenden der Transformation.
Äquivariante Karten verallgemeinern das Konzept der Invarianten , Funktionen, deren Wert durch eine Symmetrietransformation ihres Arguments unverändert bleibt. Der Wert einer äquivarianten Abbildung wird oft (ungenau) als Invariante bezeichnet.
Bei der statistischen Inferenz ist die Äquivarianz bei statistischen Transformationen von Daten eine wichtige Eigenschaft verschiedener Schätzmethoden; Details siehe invarianten Schätzer . In der reinen Mathematik ist Äquivarianz ein zentrales Untersuchungsobjekt in der äquivarianten Topologie und ihren Unterthemen äquivariante Kohomologie und äquivariante stabile Homotopietheorie .
Beispiele
Elementare Geometrie
In der Geometrie von Dreiecken sind Fläche und Umfang eines Dreiecks Invarianten: Das Verschieben oder Drehen eines Dreiecks ändert seine Fläche oder seinen Umfang nicht. Allerdings Dreieck Zentren wie der Schwerpunkt , circumcenter , incenter und Höhenschnittpunkt sind nicht unveränderlich, weil auch ein Dreieck bewegt wird seine Zentren führen zu bewegen. Stattdessen sind diese Zentren äquivariant: Das Anwenden einer beliebigen euklidischen Kongruenz (eine Kombination aus Translation und Rotation) auf ein Dreieck und anschließendes Konstruieren seines Zentrums erzeugt denselben Punkt wie die Konstruktion des Zentrums zuerst und dann die Anwendung derselben Kongruenz auf das Zentrum. Allgemeiner gesagt sind alle Dreieckszentren auch unter Ähnlichkeitstransformationen (Kombinationen von Translation, Rotation und Skalierung) äquivariant, und der Schwerpunkt ist unter affinen Transformationen äquivariant .
Dieselbe Funktion kann für eine Symmetriegruppe invariant und für eine andere Symmetriegruppe äquivariant sein. Zum Beispiel sind bei Ähnlichkeitstransformationen statt Kongruenzen Fläche und Umfang nicht mehr invariant: Die Skalierung eines Dreiecks ändert auch seine Fläche und seinen Umfang. Diese Veränderungen geschehen jedoch auf vorhersehbare Weise: Wird ein Dreieck mit dem Faktor s skaliert, skaliert der Umfang auch mit s und die Fläche skaliert mit s 2 . Auf diese Weise kann die Funktion, die jedes Dreieck auf seine Fläche oder seinen Umfang abbildet, als äquivalent für eine multiplikative Gruppenwirkung der Skalierungstransformationen auf die positiven reellen Zahlen angesehen werden.
Statistiken
Eine andere Klasse einfacher Beispiele stammt aus der statistischen Schätzung . Der Mittelwert einer Stichprobe (ein Satz reeller Zahlen) wird üblicherweise als zentrale Tendenz der Stichprobe verwendet. Es ist unter linearen Transformationen der reellen Zahlen äquivariant , also zum Beispiel unabhängig von der Wahl der Einheiten, die zur Darstellung der Zahlen verwendet werden. Im Gegensatz dazu ist der Mittelwert in Bezug auf nichtlineare Transformationen wie Exponentialtransformationen nicht äquivariant.
Der Median einer Stichprobe ist für eine viel größere Gruppe von Transformationen äquivariant, die (streng) monotonen Funktionen der reellen Zahlen. Diese Analyse zeigt, dass der Median robuster gegenüber bestimmten Arten von Änderungen an einem Datensatz ist und dass er (im Gegensatz zum Mittelwert) für ordinale Daten aussagekräftig ist .
Die Konzepte eines invarianten Schätzers und eines äquivarianten Schätzers wurden verwendet, um diesen Analysestil zu formalisieren.
Darstellungstheorie
In der Darstellungstheorie endlicher Gruppen wird ein Vektorraum, der mit einer Gruppe ausgestattet ist, die durch lineare Transformationen des Raums wirkt, als lineare Darstellung der Gruppe bezeichnet. Eine lineare Karte , die mit der Aktion pendelt, wird als Intertwiner bezeichnet . Das heißt, ein Intertwiner ist nur eine äquivariante lineare Abbildung zwischen zwei Darstellungen. Alternativ kann ein intertwiner für Darstellungen einer Gruppe G über einen Bereich K ist das gleiche wie ein Modulhomomorphismus von K [ G ] - Module , wobei K [ G ] ist der Gruppenring von G .
Unter bestimmten Bedingungen, wenn X und Y beide irreduzible Darstellungen sind , existiert eine Verflechtung (anders als die Nullabbildung ) nur dann, wenn die beiden Darstellungen äquivalent sind (d. h. als Module isomorph sind ). Dieser Intertwiner ist dann bis zu einem multiplikativen Faktor (einem Skalar ungleich Null von K ) eindeutig . Diese Eigenschaften gelten, wenn das Bild von K [ G ] eine einfache Algebra mit Mittelpunkt K ist (nach dem sogenannten Schurschen Lemma : siehe einfaches Modul ). Folglich reicht in wichtigen Fällen die Konstruktion eines Intertwiners aus, um zu zeigen, dass die Darstellungen effektiv gleich sind.
Formalisierung
Äquivarianz kann mit dem Konzept einer G- Menge für eine Gruppe G formalisiert werden . Dies ist ein mathematisches Objekt, das aus einer mathematischen Menge S und einer Gruppenwirkung (links) von G auf S besteht . Sind X und Y beide G -Mengen für dieselbe Gruppe G , dann heißt eine Funktion f : X → Y äquivariant, falls
- f ( g · x ) = g · f ( x )
für alle g ∈ G und alle x in X .
Wenn eine oder beide der Aktionen richtige Aktionen sind, kann die Äquivarianzbedingung entsprechend modifiziert werden:
- f ( x · g ) = f ( x )· g ; (richtig richtig)
- f ( x · g ) = g –1 · f ( x ) ; (rechts links)
- f ( g · x ) = f ( x )· g- 1 ; (links rechts)
Äquivariante Abbildungen sind Homomorphismen in der Kategorie der G -Mengen (für ein festes G ). Daher werden sie auch als G- Morphismen , G- Maps oder G- Homomorphismen bezeichnet . Isomorphismen von G -Mengen sind einfach bijektive äquivariante Abbildungen.
Die Äquivarianzbedingung kann auch als folgendes kommutatives Diagramm verstanden werden . Beachten Sie, dass dies die Karte bezeichnet, die ein Element annimmt und zurückgibt .
Verallgemeinerung
Äquivariante Abbildungen können auf einfache Weise auf beliebige Kategorien verallgemeinert werden. Jede Gruppe G kann als Kategorie mit einem einzigen Objekt betrachtet werden ( Morphismen in dieser Kategorie sind nur die Elemente von G ). Bei einer beliebigen Kategorie C ist eine Darstellung von G in der Kategorie C ein Funktor von G nach C . Ein solcher Funktor wählt ein Objekt von C und eine Untergruppe von Automorphismen dieses Objekts aus. Zum Beispiel ist eine G- Menge äquivalent zu einem Funktor von G der Kategorie der Mengen , Set , und eine lineare Darstellung entspricht einem Funktor der Kategorie der Vektorräume über einem Körper, Vect K .
Bei zwei Darstellungen ρ und von G in C ist eine äquivariante Abbildung zwischen diesen Darstellungen einfach eine natürliche Transformation von ρ nach σ. Unter Verwendung natürlicher Transformationen als Morphismen kann man die Kategorie aller Darstellungen von G in C bilden . Dies ist nur die Funktorkategorie C G .
Nehmen wir als weiteres Beispiel C = Top , die Kategorie der topologischen Räume . Eine Darstellung von G in Top ist ein topologischer Raum, auf den G kontinuierlich wirkt . Eine äquivariante Abbildung ist dann eine stetige Abbildung f : X → Y zwischen Darstellungen, die mit der Wirkung von G kommutiert .
Siehe auch
- Curtis-Hedlund-Lyndon-Theorem , eine Charakterisierung zellulärer Automaten in Form von äquivarianten Karten
