Reduktiv gruppe - Reductive group

Algebraisk struktur → Gruppeteori Gruppeteori
Grundlæggende forestillinger Undergruppe Normal undergruppe Kvotientgruppe (Semi) direkte produkt Gruppe homomorfier kerne billede direkte sum kransprodukt enkel begrænset uendelig sammenhængende multiplikativ tilsætningsstof cyklisk abelsk dihedral nilpotent opløseligt handling Ordliste over gruppeteori Liste over emner i gruppeteori
Endelige grupper Klassificering af begrænsede simple grupper cyklisk skiftevis Løgentype sporadisk Cauchys sætning Lagranges sætning Sylows sætninger Halls sætning p-gruppe Elementær abelsk gruppe Frobenius gruppe Schur -multiplikator Symmetrisk gruppe S n Klein fire-gruppe V Dihedral gruppe D n Kvarternion gruppe Q Dicyklisk gruppe Dic n
Diskrete grupper Gitter Heltal ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Gratis gruppe Modulære grupper PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Aritmetisk gruppe Gitter Hyperbolisk gruppe
Topologiske og løgn grupper Solenoid Cirkel Generel lineær GL ( n ) Special lineær SL ( n ) Ortogonal O ( n ) Euklidisk E ( n ) Særlig ortogonal SO ( n ) Enhed U ( n ) Special unitary SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konform Diffeomorfisme Sløjfe Uendelig dimensionel Lie -gruppe O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraiske grupper Lineær algebraisk gruppe Reduktiv gruppe Abelsk sort Elliptisk kurve
v t e

I matematik er en reduktiv gruppe en type lineær algebraisk gruppe over et felt . En definition er, at en forbundet lineær algebraisk gruppe G over et perfekt felt er reduktiv, hvis den har en repræsentation med en endelig kerne, som er en direkte sum af irreducerbare repræsentationer . Reduktive grupper inkluderer nogle af de vigtigste grupper i matematik, såsom den generelle lineære gruppe GL ( n ) af inverterbare matricer , den særlige ortogonale gruppe SO ( n ) og den symplektiske gruppe Sp (2 n ). Enkle algebraiske grupper og (mere generelt) semisimple algebraiske grupper er reduktive.

Claude Chevalley viste, at klassificeringen af ​​reduktive grupper er den samme over ethvert algebraisk lukket felt . Især er de enkle algebraiske grupper klassificeret efter Dynkin -diagrammer , som i teorien om kompakte Lie -grupper eller komplekse semisimple Lie -algebraer . Reduktive grupper over et vilkårligt felt er sværere at klassificere, men for mange felter såsom de reelle tal R eller et talfelt er klassificeringen godt forstået. Den klassificering af finite simple grupper siger, at de fleste finite simple grupper opstå som gruppen G ( k ) af k - rationelle punkter af en simpel algebraisk gruppe G over en finit felt k , eller som mindre varianter af denne konstruktion.

Reduktive grupper har en rig repræsentationsteori i forskellige sammenhænge. Først kan man studere repræsentationerne af en reduktiv gruppe G over et felt k som en algebraisk gruppe, som er handlinger af G på k -vektorrum. Men også, man kan studere de komplekse repræsentationer for gruppen G ( k ), når k er et begrænset felt, eller de uendeligt-dimensionelle enhedsrepræsentationer af en reel reduktiv gruppe eller de automorfe repræsentationer af en adelisk algebraisk gruppe . Strukturteorien for reduktive grupper bruges på alle disse områder.

Definitioner

En lineær algebraisk gruppe over et felt k er defineret som et jævnt lukket undergruppeskema af GL ( n ) over k , for et positivt heltal n . Tilsvarende er en lineær algebraisk gruppe over k et jævnt affin gruppeskema over k .

Med den enmægtige radikal

En forbundet lineær algebraisk gruppe over et algebraisk lukket felt kaldes semisimple, hvis hver glat forbundet, opløselig normal undergruppe af er triviel. Mere generelt kaldes en tilsluttet lineær algebraisk gruppe over et algebraisk lukket felt reduktivt, hvis den største glat forbundet unipotente normale undergruppe af er triviel. Denne normale undergruppe kaldes den unipotente radikal og betegnes . (Nogle forfattere kræver ikke reduktive grupper, der skal forbindes.) En gruppe over en vilkårlig felt k kaldes semisimple eller reduktiv hvis baseændring er semisimple eller reduktiv, hvor er en algebraisk lukning af k . (Dette svarer til definitionen af ​​reduktive grupper i indledningen, når k er perfekt.) Enhver torus over k , såsom multiplikative gruppen G _m , er reduktiv. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R_ {u} (G)}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Med repræsentationsteori

En anden tilsvarende definition af en reduktiv gruppe er en forbundet gruppe, der indrømmer en trofast semi -enkel repræsentation, der forbliver halvenkel over dens algebraiske lukning ^{side 383} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k^{al}}$

Enkle reduktive grupper

En lineær algebraisk gruppe G over et felt k kaldes simpel (eller k - simpelt ) såfremt den er semisimple, nontrivial, og hver glatte forbundet normal undergruppe af G løbet k er triviel eller lig med G . (Nogle forfattere kalder denne egenskab "næsten enkel".) Dette adskiller sig en smule fra terminologien for abstrakte grupper, idet en simpel algebraisk gruppe kan have et ikke -lokalt center (selvom centret skal være begrænset). For eksempel, for et heltal n mindst 2 og et hvilket som helst felt k , er gruppen SL ( n ) over k enkel, og dens centrum er gruppeskemaet _n af n th enhedsrødder.

En central isogeni af reduktive grupper er en surjektiv homomorfisme med kerne en endelig central undergruppeskema . Hver reduktiv gruppe over et felt indrømmer en central isogeni fra produktet af en torus og nogle enkle grupper. For eksempel over ethvert felt k ,

${\ displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ gange SL (n))/\ mu _ {n}.}$

Det er lidt akavet, at definitionen af ​​en reduktiv gruppe over et felt indebærer passage til den algebraiske lukning. For et perfekt felt k kan det undgås: en lineær algebraisk gruppe G over k er reduktiv, hvis og kun hvis hver glat forbundet unipotent normal k -subgruppe af G er triviel. For et vilkårligt felt definerer sidstnævnte egenskab en pseudoreduktiv gruppe , som er noget mere generel.

Split-reduktive grupper

En reduktiv gruppe G over et felt k kaldes split, hvis den indeholder en split maksimal torus T over k (det vil sige en split torus i G, hvis basisændring til er en maksimal torus i ). Det svarer til at sige, at T er en split torus i G , der er maksimal blandt alle k -tori i G . Denne slags grupper er nyttige, fordi deres klassificering kan beskrives ved hjælp af kombinatoriske data kaldet roddata. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Eksempler

GL _n og SL _n

Et grundlæggende eksempel på en reduktiv gruppe er den generelle lineære gruppe af inverterbare n × n -matricer over et felt k , for et naturligt tal n . Især den multiplikative gruppe G _m er gruppen GL (1), og derfor er dens gruppe G _m ( k ) af k -rationelle punkter gruppen k * af ikke -nulelementer af k under multiplikation. En anden reduktiv gruppe er den særlige lineære gruppe SL ( n ) over et felt k , undergruppen af ​​matricer med determinant 1. Faktisk er SL ( n ) en simpel algebraisk gruppe for n mindst 2. ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$

O ( n ), SO ( n ) og Sp ( n )

En vigtig enkel gruppe er den symplektiske gruppe Sp (2 n ) over et felt k , undergruppen af GL (2 n ), der bevarer en ikke -degenereret vekslende bilinear form på vektorrummet k ^{2 n} . På samme måde er den ortogonale gruppe O ( q ) undergruppen af ​​den generelle lineære gruppe, der bevarer en ikke -degenereret kvadratisk form q på et vektorrum over et felt k . Den algebraiske gruppe O ( q ) har to forbundne komponenter , og dens identitetskomponent SO ( q ) er reduktiv, faktisk enkel for q af dimension n mindst 3. (For k af karakteristik 2 og n ulige, gruppeskemaet O ( q ) er faktisk forbundet, men ikke glat over k . Den simple gruppe SO ( q ) kan altid defineres som den maksimale jævnt forbundne undergruppe af O ( q ) over k .) Når k er algebraisk lukket, kan to (ikke -genererede) kvadratiske former af samme dimension er isomorfe, og derfor er det rimeligt at kalde denne gruppe SO ( n ). For et generelt felt k kan forskellige kvadratiske former for dimension n give ikke-isomorfe simple grupper SO ( q ) over k , selvom de alle har den samme basisændring til den algebraiske lukning . ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Tori

Gruppen og produkterne af den kaldes algebraisk tori . De er eksempler på reduktive grupper, da de indlejres gennem diagonalen, og fra denne fremstilling er deres unipotente radikal triviel. For eksempel integreres i fra kortet${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ times \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {2}}$

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} a_ {1} & 0 \\ 0 & a_ {2} \ end {bmatrix}}}$

Ikke-eksempler

• Enhver unipotent gruppe er ikke reducerende, da dens unipotente radikal er sig selv. Dette inkluderer additivgruppen .${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$
• Den Borel gruppe af har en ikke-triviel unipotente gruppe af øverste trekantede matrixer med på diagonalen. Dette er et eksempel på en ikke-reduktiv gruppe, som ikke er enmagtig.${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle 1}$

Tilknyttet reduktiv gruppe

Bemærk, at normaliteten af ​​den unipotente radikal indebærer, at kvotientgruppen er reduktiv. For eksempel,${\ displaystyle R_ {u} (G)}$${\ displaystyle G/R_ {u} (G)}$

${\ displaystyle B_ {n}/(R_ {u} (B_ {n})) \ cong \ prod _ {i = 1}^{n} \ mathbb {G} _ {m}}$

Andre karakteriseringer af reduktive grupper

Hver kompakt forbundet Lie -gruppe har en kompleksisering , som er en kompleks reduktiv algebraisk gruppe. Faktisk giver denne konstruktion en en-til-en-korrespondance mellem kompakte forbundne Lie-grupper og komplekse reduktive grupper op til isomorfisme. For en kompakt Lie -gruppe K med kompleksificering G er inklusionen fra K i den komplekse reduktive gruppe G ( C ) en homotopækvivalens med hensyn til den klassiske topologi på G ( C ). For eksempel er inklusionen fra den enhedsgruppe U ( n ) til GL ( n , C ) en homotopiækvivalens.

For en reduktiv gruppe G over et felt med karakteristisk nul er alle endelige-dimensionelle repræsentationer af G (som en algebraisk gruppe) fuldstændig reducerbare , det vil sige, at de er direkte summer af ureducerbare repræsentationer. Det er kilden til navnet "reducerende". Bemærk dog, at fuldstændig reducerbarhed mislykkes for reduktive grupper i positiv karakteristik (bortset fra tori). Mere detaljeret: et affin-gruppeskema G af begrænset type over et felt k kaldes lineært reduktivt, hvis dets endelige-dimensionelle repræsentationer er fuldstændig reducerbare. For k med karakteristisk nul er G lineært reduktiv, hvis og kun hvis identitetskomponenten G ^o i G er reduktiv. For k med karakteristisk p > 0 viste Masayoshi Nagata imidlertid, at G er lineært reduktiv, hvis og kun hvis G ^o er af multiplikativ type, og G / G ^o har orden prim til p .

Rødder

Klassificeringen af ​​reduktive algebraiske grupper er med hensyn til det tilhørende rodsystem , som i teorierne om komplekse semisimple Lie -algebraer eller kompakte Lie -grupper. Her er den måde, rødderne fremkommer for reduktive grupper.

Lad G være en splitreduktiv gruppe over et felt k , og lad T være en split maksimal torus i G ; så T er isomorf til ( G _m ) ⁿ for nogle n , med n kaldes rang af G . Hver repræsentation af T (som en algebraisk gruppe) er en direkte sum af 1-dimensionelle repræsentationer. En vægt for G betyder en isomorfisme klasse af 1-dimensionelle repræsentationer af T , eller tilsvarende en homomorfisme T → G _m . Vægtene danner en gruppe X ( T ) under tensorprodukt af repræsentationer, med X ( T ) isomorf i forhold til produktet af n kopier af heltalene , Z ⁿ .

Den tilstødende repræsentation er handlingen af G ved konjugering på dens Lie -algebra . En rod af G betyder en nulvægt, der forekommer i handlingen af T ⊂ G on . Underrummet af svarende til hver rod er 1-dimensionalt, og underrum af fastsat ved T er præcis den Lie algebra af T . Derfor nedbrydes Lie-algebraen til G sammen med 1-dimensionelle underrum indekseret af sættet Φ af rødder: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}$

For eksempel, når G er gruppen GL ( n ), er dens Lie -algebra vektorrummet for alle n × n -matricer over k . Lad T være undergruppen af diagonale matricer i G . Derefter udtrykkes nedbrydningen af ​​rodrummet som den direkte sum af de diagonale matricer og de 1-dimensionelle underrum indekseret af de off-diagonale positioner ( i , j ). Ved at skrive L ₁ , ..., L _n for standardgrundlaget for vægtgitteret X ( T ) ≅ Z ⁿ , rødderne er elementerne L _i - L _j for alle i ≠ j fra 1 til n . ${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

Rødderne i en halv enkel gruppe danner et rodsystem ; dette er en kombinatorisk struktur, der kan klassificeres fuldstændigt. Mere generelt danner rødderne i en reduktiv gruppe et roddato , en lille variation. Den Weyl gruppe af en reduktiv gruppe G betyder kvotienten gruppe af normalizer af en maksimal torus af torus, W = N _G ( T ) / T . Weyl -gruppen er faktisk en begrænset gruppe genereret af refleksioner. For eksempel for gruppen GL ( n ) (eller SL ( n )) er Weyl -gruppen den symmetriske gruppe S _n .

Der er uendeligt mange Borel -undergrupper, der indeholder en given maksimal torus, og de permuteres simpelthen transitivt af Weyl -gruppen (virker ved konjugering ). Et valg af Borel -undergruppe bestemmer et sæt positive rødder Φ ⁺ ⊂ Φ, med den egenskab at Φ er den usammenhængende forening af Φ ⁺ og −Φ ⁺ . Eksplicit er Lie -algebraen for B den direkte sum af Lie -algebraen for T og de positive rodrum:

${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi ^{+}} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}$

For eksempel, hvis B er Borel-undergruppen af ​​øvre trekantede matricer i GL ( n ), så er dette den indlysende nedbrydning af underrummet af de øvre trekantede matricer i . De positive rødder er L _i - L _j for 1 ≤ i < j ≤ n . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

En simpel rod betyder en positiv rod, der ikke er en sum af to andre positive rødder. Skriv Δ for sættet med simple rødder. Antallet r af simple rødder er lig med rang af kommutatoren undergruppe af G , kaldet semisimple rang af G (som er simpelthen rang af G hvis G er semisimple). For eksempel er de enkle rødder for GL ( n ) (eller SL ( n )) L _i - L _{i +1} for 1 ≤ i ≤ n - 1.

Rootsystemer er klassificeret efter det tilsvarende Dynkin -diagram , som er en endelig graf (med nogle kanter rettet eller flere). Sættet med hjørner i Dynkin -diagrammet er sættet med simple rødder. Kort fortalt beskriver Dynkin-diagrammet vinklerne mellem de simple rødder og deres relative længder med hensyn til et Weyl-gruppevariant indre produkt på vægtgitteret. De tilsluttede Dynkin -diagrammer (svarende til simple grupper) er vist nedenfor.

For en delt reduktiv gruppe G over et felt k er et vigtigt punkt, at en rod α ikke kun bestemmer et 1-dimensionelt underrum af Lie-algebraen for G , men også en kopi af additivgruppen G _a i G med den givne Lie algebra, kaldet en rodundergruppe U _α . Rodundergruppen er den unikke kopi af additivgruppen i G, som er normaliseret af T, og som har den givne Lie -algebra. Hele gruppen G genereres (som en algebraisk gruppe) af T og rodundergrupperne, mens Borel -undergruppen B genereres af T og de positive rodundergrupper. Faktisk genereres en delt halvgod gruppe G alene af rodundergrupperne.

Parabolske undergrupper

For en splittet reduktiv gruppe G over et felt k er de jævnt forbundne undergrupper af G, der indeholder en given Borel-undergruppe B af G , i en-til-en-korrespondance med delmængderne af sættet Δ af simple rødder (eller ækvivalent, undergrupperne af sæt af hjørner i Dynkin -diagrammet). Lad r være rækkefølgen af Δ, den semisimple rang af G . Hver parabolsk undergruppe af G er konjugeret til en undergruppe, der indeholder B af et element af G ( k ). Som et resultat er der nøjagtigt 2 ^r konjugeringsklasser af parabolske undergrupper i G over k . Udtrykkeligt den parabolske undergruppe svarer til en given delmængde S af Δ er gruppen genereres af B sammen med de grundlæggende undergrupper U _-a for α i S . For eksempel er de parabolske undergrupper af GL ( n ), der indeholder Borel -undergruppen B ovenfor, grupper af inverterbare matricer med nulposter under et givet sæt firkanter langs diagonalen, såsom:

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\ 0 & 0 &*&*\\ 0 & 0 & 0 &*\ end {bmatrix}} \ right \}}$

Per definition er en parabolsk undergruppe P i en reduktiv gruppe G over et felt k en jævn k -undergruppe, således at kvotionssorten G / P er korrekt over k eller tilsvarende projektiv over k . Således udgør klassificeringen af ​​parabolske undergrupper en klassificering af de projekterende homogene sorter for G (med glat stabilisatorgruppe; det er ingen begrænsning for k med karakteristisk nul). For GL ( n ) er disse flagvarianter , parametrering af sekvenser af lineære underrum af givne dimensioner a ₁ , ..., a _i indeholdt i et fast vektorrum V i dimension n :

${\ displaystyle 0 \ delsæt S_ {a_ {1}} \ delsæt \ cdots \ delsæt S_ {a_ {i}} \ delsæt V.}$

For den ortogonale gruppe eller den symplektiske gruppe har de projektive homogene sorter en lignende beskrivelse som sorter af isotrope flag med hensyn til en given kvadratisk form eller symplektisk form. For enhver reduktiv gruppe G med en Borel undergruppe B , G / B kaldes flag sort eller flag manifold af G .

Klassificering af delte reduktive grupper

Chevalley viste i 1958, at de reduktive grupper over ethvert algebraisk lukket felt er klassificeret op til isomorfisme efter roddata. Især er halvlegengrupperne over et algebraisk lukket felt klassificeret op til centrale isogenier efter deres Dynkin -diagram, og de enkle grupper svarer til de tilsluttede diagrammer. Der er således enkle grupper af typerne A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Dette resultat er i det væsentlige identisk med klassificeringerne af kompakte Lie -grupper eller komplekse semisimple Lie -algebraer, af Wilhelm Killing og Élie Cartan i 1880'erne og 1890'erne. Især dimensioner, centre og andre egenskaber ved de simple algebraiske grupper kan læses fra listen over simple Lie -grupper . Det er bemærkelsesværdigt, at klassificeringen af ​​reduktive grupper er uafhængig af karakteristikken. Til sammenligning er der mange flere simple Lie -algebraer i positiv karakteristik end i karakteristisk nul.

De ekstraordinære grupper G af type G ₂ og E ₆ var konstrueret tidligere, i det mindste i form af den abstrakte gruppe G ( k ), af LE Dickson . For eksempel gruppen G ₂ er automorfi gruppe af en octonion algebra løbet k . Derimod var Chevalley -grupperne af type F ₄ , E ₇ , E ₈ over et felt med positiv karakteristik helt nye.

Mere generelt klassificeringen af split reduktive grupper er den samme over noget felt. En semisimple gruppe G over et felt k kaldes simpelthen forbundet, hvis hver central isogeni fra en semisimple gruppe til G er en isomorfisme. (For G semisimple over de komplekse tal er det simpelthen forbundet i denne forstand, at G ( C ) blot er forbundet i den klassiske topologi.) Chevalleys klassificering giver, at der over ethvert felt k er en unik simpelthen forbundet split semisimple gruppe G med et givet Dynkin -diagram, med enkle grupper svarende til de tilsluttede diagrammer. I den anden ekstreme er en halvenkel gruppe af tilstødende type, hvis dens centrum er trivielt. Split semisimple grupper over k med given Dynkin diagram er nøjagtigt grupperne G / A , hvor G er enkeltsammenhængende gruppe og A er en k -subgroup ordning af centrum af G .

For eksempel er de simpelthen forbundne opdelte simple grupper over et felt k svarende til de "klassiske" Dynkin -diagrammer som følger:

• A _n : SL ( n +1) over k ;
• B _n : spin -gruppen Spin (2 n +1) tilknyttet en kvadratisk form af dimension 2 n +1 over k med Witt -indeks n , for eksempel formularen

${\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n+1}) = x_ {1} x_ {2}+x_ {3} x_ {4}+\ cdots+x_ {2n-1} x_ { 2n}+x_ {2n+1}^{2};}$

• C _n : den symplektiske gruppe Sp (2 n ) over k ;
• D _n : spin -gruppen Spin (2 n ) tilknyttet en kvadratisk form af dimension 2 n over k med Witt -indeks n , som kan skrives som:

${\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n}) = x_ {1} x_ {2}+x_ {3} x_ {4}+\ cdots+x_ {2n-1} x_ {2n} .}$

Den ydre automorfi gruppe af en split reduktiv gruppe G over et felt k er isomorf til automorfi gruppe af roden datum for G . Desuden opdeles automorfismegruppen i G som et semidirekt produkt :

${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G) \ cong \ operatorname {Out} (G) \ ltimes (G/Z) (k),}$

hvor Z er centrum for G . For en split semisimple enkeltsammenhængende gruppe G over et felt, den ydre automorfi gruppe G har en enklere beskrivelse: det er den automorfi gruppe med Dynkin diagram af G .

Reduktive gruppeordninger

Et gruppeskema G over et skema S kaldes reduktivt, hvis morfismen G → S er glat og affin, og hver geometrisk fiber er reduktiv. (For et punkt p i S betyder den tilsvarende geometriske fiber basisændringen af G til en algebraisk lukning af restfeltet på s .) I forlængelse af Chevalleys arbejde viste Michel Demazure og Grothendieck, at opdelte reduktive gruppeskemaer over enhver nonempty -ordning S er klassificeret efter roddata. Denne erklæring omfatter eksistensen af Chevalley grupper som gruppe ordninger end Z , og det siger, at hver split reduktiv gruppe over en ordning S er isomorf til basen ændring af en Chevalley gruppe fra Z til S . ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Ægte reduktive grupper

I forbindelse med Lie -grupper frem for algebraiske grupper er en reel reduktiv gruppe en Lie -gruppe G, så der er en lineær algebraisk gruppe L over R, hvis identitetskomponent (i Zariski -topologien ) er reduktiv, og en homomorfisme G → L ( R ) hvis kerne er endelig og hvis billede er åbent i L ( R ) (i den klassiske topologi). Det er også standard at antage, at billedet af den tilhørende repræsentation Ad ( G ) er indeholdt i Int ( g _C ) = Ad ( L ⁰ ( C )) (som er automatisk for G tilsluttet).

Især hver tilsluttet semisimple Lie -gruppe (hvilket betyder, at dens Lie -algebra er semisimple) er reduktiv. Lie -gruppen R er også reduktiv i denne forstand, da den kan ses som identitetskomponenten i GL (1, R ) ≅ R *. Problemet med at klassificere de reelle reduktive grupper reducerer stort set til at klassificere de enkle Lie -grupper. Disse er klassificeret efter deres Satake -diagram ; eller man kan bare henvise til listen over simple Lie -grupper (op til endelige belægninger).

Nyttige teorier om tilladelige repræsentationer og enhedsrepræsentationer er blevet udviklet for reelle reduktive grupper i denne generalitet. De største forskelle mellem denne definition og definitionen af ​​en reduktiv algebraisk gruppe har at gøre med, at en algebraisk gruppe G over R kan være forbundet som en algebraisk gruppe, mens Lie -gruppen G ( R ) ikke er forbundet, og ligeledes for simpelthen forbundne grupper.

For eksempel er den projektive lineære gruppe PGL (2) forbundet som en algebraisk gruppe over ethvert felt, men dens gruppe af reelle punkter PGL (2, R ) har to forbundne komponenter. Identitetskomponenten i PGL (2, R ) (undertiden kaldet PSL (2, R )) er en reel reduktiv gruppe, der ikke kan ses som en algebraisk gruppe. På samme måde er SL (2) simpelthen forbundet som en algebraisk gruppe over ethvert felt, men Lie -gruppen SL (2, R ) har en grundlæggende gruppe isomorf til heltalene Z , og derfor har SL (2, R ) ikke -private dækkende rum . Per definition er alle begrænsede belægninger af SL (2, R ) (såsom den metaplektiske gruppe ) reelle reduktive grupper. På den anden side er det universelle dæksel til SL (2, R ) ikke en reel reduktiv gruppe, selvom dens Lie -algebra er reduktiv , det vil sige produktet af en semisimple Lie -algebra og en abelsk Lie -algebra.

For en tilsluttet reel reduktiv gruppe G er kvotmanifolden G / K af G ved en maksimal kompakt undergruppe K et symmetrisk rum af ikke-kompakt type. Faktisk opstår hvert symmetrisk rum af ikke-kompakt type på denne måde. Disse er centrale eksempler i Riemannian geometri af manifolder med ikke -positiv snit krumning . For eksempel er SL (2, R )/ SO (2) det hyperbolske plan , og SL (2, C )/ SU (2) er hyperbolsk 3-rum.

For en reduktiv gruppe G over et felt k, der er komplet med hensyn til en diskret værdiansættelse (f.eks. P-adiske tal Q _p ), spiller den affine bygning X af G rollen som det symmetriske rum. Nemlig X er en Simpliciel kompleks med en virkning af G ( k ), og G ( k ) bevarer en CAT (0) metrisk på X , analogen af en metrisk med nonpositive krumning. Dimensionen af affine bygning er k -rank af G . For eksempel er bygningen af SL (2, Q _p ) et træ .

Repræsentationer af reduktive grupper

For en delt reduktiv gruppe G over et felt k parametriseres de irreducerbare repræsentationer af G (som en algebraisk gruppe) af de dominerende vægte , som er defineret som skæringspunktet mellem vægtgitteret X ( T ) ≅ Z ⁿ med en konveks kegle (et Weyl -kammer ) i R ⁿ . Især denne parametrering er uafhængig af kendetegn ved k . Mere detaljeret fastsætte en split maksimal torus og en Borel undergruppe, T ⊂ B ⊂ G . Så B er det semidirect produkt af T med en glat tilsluttet unipotente undergruppe U . Definere en højeste vægtvektor i en repræsentation V af G løbet k at være en ikke-nul vektor v , således at B kortlægger linje udspændt af v ind i sig selv. Derefter virker B på den linje gennem dens kvotiegruppe T , ved et element λ i vægtgitteret X ( T ). Chevalley viste, at enhver irreducerbar repræsentation af G har en unik vektor med højeste vægt op til skalarer; den tilsvarende "højeste vægt" λ er dominerende; og hver dominerende vægt λ er den højeste vægt af en unik irreducerbar repræsentation L (λ) af G , op til isomorfisme.

Der er stadig problemet med at beskrive den ureducerbare repræsentation med den højeste vægt. For k med karakteristisk nul er der i det væsentlige komplette svar. For en dominerende vægt λ defineres Schur -modulet ∇ (λ) som k -vektorrummet af sektioner af G -ækvivalente linjebundt på flagmanifolden G / B tilknyttet λ; dette er en repræsentation af G . For k med karakteristisk nul siger Borel -Weil -sætningen , at den ureducerbare repræsentation L (λ) er isomorf i forhold til Schur -modulet ∇ (λ). Endvidere Weyl karakter formel giver tegn (og især dimension) på denne repræsentation.

For en delt reduktiv gruppe G over et felt k med positiv karakteristik er situationen langt mere subtil, fordi repræsentationer af G typisk ikke er direkte summer af irreducible. For en dominerende vægt λ er den irreducerbare repræsentation L (λ) den unikke enkle submodul ( socle ) i Schur -modulet ∇ (λ), men det behøver ikke at være lig med Schur -modulet. Dimensionen og karakteren af ​​Schur -modulet er givet af Weyl -tegnformlen (som i karakteristisk nul) af George Kempf . Dimensionerne og tegnene for de ureducerbare repræsentationer L (λ) er generelt ukendte, selvom der er blevet udviklet en stor teori for at analysere disse repræsentationer. Et vigtigt resultat er, at dimensionen og karakter af L (λ) er kendte, når den karakteristiske p af k er meget større end Coxeter antallet af G , ved Henning Andersen , Jens Jantzen , og Wolfgang Soergel (bevise Lusztig 's formodninger ved, at sag). Deres karakterformel for p large er baseret på Kazhdan – Lusztig -polynomierne , som er kombinatorisk komplekse. For enhver prime p formodede Simon Riche og Geordie Williamson de irreducerbare tegn i en reduktiv gruppe med hensyn til p -Kazhdan -Lusztig -polynomierne, som er endnu mere komplekse, men i det mindste kan beregnes.

Ikke-opdelte reduktive grupper

Som diskuteret ovenfor er klassificeringen af ​​splitreduktive grupper den samme over ethvert felt. Derimod kan klassificeringen af ​​vilkårlige reduktive grupper være vanskelig afhængigt af basisfeltet. Nogle eksempler blandt de klassiske grupper er:

• Hver ikke -genereret kvadratisk form q over et felt k bestemmer en reduktiv gruppe G = SO ( q ). Her er G enkel, hvis q har dimension n mindst 3, da den er isomorf til SO ( n ) over en algebraisk lukning . Den k -rank af G er lig med Witt indekset af q (den maksimale dimension af en isotrop underrum løbet k ). Så den simple gruppe G er fordelt over k hvis og kun hvis q har den maksimalt mulige Witt indeks, .${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle \ lfloor n/2 \ rfloor}$
• Hver central simpel algebra A over k bestemmer en reduktiv gruppe G = SL (1, A ), kernen i den reducerede norm på gruppen af ​​enheder A * (som en algebraisk gruppe over k ). Den grad af A betyder kvadratroden af dimensionen af A som en k -vector rum. Her er G enkel, hvis A har grad n mindst 2, da den er isomorf til SL ( n ) over . Hvis A har indeks r (hvilket betyder, at A er isomorf i forhold til matrixalgebraen M _{n / r} ( D ) for en divisionsalgebra D med grad r over k ), så er k -rækken af G ( n / r ) -1. Så den simple gruppe G er delt over k, hvis og kun hvis A er en matrixalgebra over k .${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Som et resultat omfatter problemet med at klassificere reduktive grupper over k i det væsentlige problemet med at klassificere alle kvadratiske former over k eller alle centrale simple algebraer over k . Disse problemer er lette for k algebraisk lukkede, og de forstås for nogle andre felter såsom talfelter, men for vilkårlige felter er der mange åbne spørgsmål.

En reduktiv gruppe over et felt k kaldes isotrop, hvis den har k -rang større end 0 (det vil sige, hvis den indeholder en ikke -privat split -torus) og ellers anisotrop . For en halv enkelt gruppe G over et felt k er følgende betingelser ækvivalente:

• G er isotrop (det vil sige, G indeholder en kopi af den multiplikative gruppe G _m over k );
• G indeholder en parabolsk undergruppe over k, der ikke er lig med G ;
• G indeholder en kopi af additivgruppen G _a over k .

For k perfekt er det også ækvivalent at sige, at G ( k ) indeholder et andet unipotent element end 1.

For en forbundet lineær algebraisk gruppe G over et lokalt felt k med karakteristisk nul (f.eks. De reelle tal) er gruppen G ( k ) kompakt i den klassiske topologi (baseret på topologien af k ), hvis og kun hvis G er reduktiv og anisotrop. Eksempel: den ortogonale gruppe SO ( p , q ) over R har reel rang min ( p , q ), og derfor er den anisotrop, hvis og kun hvis p eller q er nul.

En reduktiv gruppe G over et felt k kaldes quasi-split, hvis den indeholder en Borel-undergruppe over k . En splitreduktiv gruppe er quasi-split. Hvis G er quasi-opdelt over k , konjugeres alle to Borel-undergrupper af G af et element af G ( k ). Eksempel: den ortogonale gruppe SO ( p , q ) over R er delt, hvis og kun hvis | p - q | ≤ 1, og det er kvasidelt, hvis og kun hvis | p - q | ≤ 2.

Struktur af semi -simple grupper som abstrakte grupper

For en simpelthen forbundet splittet halvgod gruppe G over et felt k , gav Robert Steinberg en eksplicit præsentation af den abstrakte gruppe G ( k ). Det er genereret ved kopier af tilsætningsstoffet gruppe af k indekseret af rødderne af G (roden undergrupper), med forbindelser bestemt ved Dynkin diagram af G .

For en simpelthen forbundet split semisimple gruppe G over et perfekt felt k , bestemte Steinberg også automorphismegruppen for den abstrakte gruppe G ( k ). Enhver automorfisme er et produkt af en indre automorfisme , en diagonal automorfisme (hvilket betyder konjugering med et passende punkt for en maksimal torus), en grafautomorfisme (svarende til en automorfisme i Dynkin -diagrammet) og en feltautomorfisme (kommer fra en automorfisme) af feltet k ). ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

For en k -enkel algebraisk gruppe G , siger Tits enkelhedssætning , at den abstrakte gruppe G ( k ) er tæt på at være enkel under milde antagelser. Antag nemlig, at G er isotrop over k , og antag, at feltet k har mindst 4 elementer. Lad G ( k ) ⁺ være undergruppen af den abstrakte gruppe G ( k ), der genereres ved k -point af kopier af tilsætningsstoffet gruppe G _et forhold k indeholdt i G . (Ved antagelsen om, at G er isotropisk over k , er gruppen G ( k ) ⁺ ikke -triviel, og endda Zariski tæt i G, hvis k er uendelig.) Så er kvotientgruppen af G ( k ) ⁺ ved dens centrum enkel (som en abstrakt gruppe). Beviset bruger Jacques Tits 'maskineri af BN-par .

Undtagelserne for felter i rækkefølge 2 eller 3 er godt forstået. For k = F ₂ forbliver Tits enkelhedssætning gyldig, undtagen når G er delt af type A ₁ , B ₂ eller G ₂ eller ikke-delt (det vil sige enhed) af type A ₂ . For k = F ₃ gælder sætningen bortset fra G af type A ₁ .

For en k -enkelt gruppe G , for at forstå hele gruppen G ( k ), kan man overveje Whitehead -gruppen W ( k , G ) = G ( k )/ G ( k ) ⁺ . For G simpelthen forbundet og quasi-split er Whitehead-gruppen triviel, og derfor er hele gruppen G ( k ) simpel modulo dens centrum. Mere generelt spørger Kneser -Tits -problemet om, hvilke isotrope k -simple grupper Whitehead -gruppen er triviel. I alle kendte eksempler er W ( k , G ) abelsk.

For en anisotrop k -enkel gruppe G kan den abstrakte gruppe G ( k ) langt fra være enkel. Lad for eksempel D være en divisionsalgebra med centrum et p -adisk felt k . Antag, at dimensionen af D over k er endelig og større end 1. Så er G = SL (1, D ) en anisotrop k -enkel gruppe. Som nævnt ovenfor er G ( k ) kompakt i den klassiske topologi. Da den også er fuldstændig afbrudt , er G ( k ) en uendelig gruppe (men ikke endelig). Som følge heraf indeholder G ( k ) uendeligt mange normale undergrupper med begrænset indeks .

Gitter og aritmetiske grupper

Lad G være en lineær algebraisk gruppe over den rationelle tal Q . Derefter kan G udvides til et affin -gruppeskema G over Z , og dette bestemmer en abstrakt gruppe G ( Z ). En aritmetisk gruppe betyder enhver undergruppe af G ( Q ), der står i rimeligt forhold til G ( Z ). (Aritmetic for en undergruppe af G ( Q ) er uafhængig af valget af Z -struktur.) SL ( n , Z ) er f.eks. En aritmetisk undergruppe af SL ( n , Q ).

For en Lie -gruppe G betyder et gitter i G en diskret undergruppe Γ af G , så manifolden G /Γ har et begrænset volumen (med hensyn til et G -varierende mål). For eksempel er en diskret undergruppe Γ et gitter, hvis G /Γ er kompakt. Den Margulis arithmeticity teorem siger, især: for en simpel Lie gruppe G af fast rang mindst 2, hver gitter i G er en aritmetisk gruppe.

Galois -handlingen på Dynkin -diagrammet

I forsøget på at klassificere reduktive grupper, som ikke behøver at opdeles, er et trin Tits -indekset , som reducerer problemet til anisotropiske grupper. Denne reduktion generaliserer flere grundlæggende sætninger i algebra. For eksempel siger Witt's dekomponeringsteorem , at en ikke -degenereret kvadratisk form over et felt bestemmes op til isomorfisme af sit Witt -indeks sammen med dens anisotrope kerne. På samme måde reducerer Artin – Wedderburn -sætningen klassificeringen af ​​centrale simple algebraer over et felt til tilfælde af divisionsalgebrer. Ved at generalisere disse resultater viste Tits, at en reduktiv gruppe over et felt k bestemmes op til isomorfisme ved hjælp af dets Tits -indeks sammen med dens anisotrope kerne, en tilhørende anisotropisk semisimple k -gruppe.

For en reduktiv gruppe G over et felt k virker den absolutte Galois -gruppe Gal ( k _s / k ) (kontinuerligt) på det "absolutte" Dynkin -diagram over G , det vil sige Dynkin -diagrammet over G over en adskillelig lukning k _s ( som også er Dynkin -diagrammet over G over en algebraisk lukning ). Den bryster indeks G består af roden datum for G _{k s} , Galois aktion på dens Dynkin diagram, og et Galois-invariant delmængde af hjørnerne i Dynkin diagrammet. Traditionelt tegnes Tits -indekset ved at cirkulere Galois -banerne i den givne delmængde. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Der er en fuldstændig klassificering af kvasidelte grupper i disse termer. For hver handling af den absolutte Galois-gruppe i et felt k på et Dynkin-diagram er der en unik simpelthen forbundet halvt simpel quasi-delt gruppe H over k med den givne handling. (For en kvasisplittet gruppe er hver Galois-bane i Dynkin-diagrammet omkredset.) Desuden er enhver anden simpelthen forbundet semisimplel gruppe G over k med den givne handling en indre form for den quasi-opdelte gruppe H , hvilket betyder, at G er gruppen er forbundet til et element af Galois cohomologi sæt H ¹ ( k , H / Z ), hvor Z er centrum for H . Med andre ord, G er twist af H forbundet med nogle H / Z -læger over k , som diskuteret i det næste afsnit.

Eksempel: Lad q være en ikke -genereret kvadratisk form med lige dimension 2 n over et felt k med karakteristik ikke 2, med n ≥ 5. (Disse begrænsninger kan undgås.) Lad G være den simple gruppe SO ( q ) over k . Det absolutte Dynkin -diagram for G er af type D _n , og derfor er dets automorfisegruppe af orden 2 og skifter de to "ben" i D _n -diagrammet. Virkningen af ​​den absolutte Galois -gruppe af k på Dynkin -diagrammet er triviel, hvis og kun hvis den underskrevne diskriminant d af q i k */( k *) ² er triviel. Hvis d er utrivelig, så er den indkodet i Galois-handlingen på Dynkin-diagrammet: indeks-2-undergruppen i Galois-gruppen, der fungerer som identiteten er . Gruppen G er delt, hvis og kun hvis q har Witt-indeks n , det maksimale mulige, og G er kvasidelt, hvis og kun hvis q har Witt-indeks mindst n -1. ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (k_ {s}/k ({\ sqrt {d}})) \ undersæt \ operatorname {Gal} (k_ {s}/k)}$

Torsorer og Hasse -princippet

En torsor for en affin -gruppeskema G over et felt k betyder en affin -skema X over k med en handling af G , som er isomorfisk med virkningen af sig selv ved venstre translation. En torsor kan også ses som et hoved G-bundt over k med hensyn til fppf-topologien på k , eller den topiske topologi, hvis G er glat over k . Det spidse sæt af isomorfiske klasser af G -læger over k kaldes H ¹ ( k , G ) på Galois -kohomologiens sprog. ${\ displaystyle X _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Torsorer opstår, når man søger at klassificere former for et givet algebraisk objekt Y over et felt k , hvilket betyder objekter X over k, der bliver isomorfe for Y over algebraisk lukning af k . Sådanne former (op til isomorfisme) er nemlig i en-til-en-korrespondance med sættet H ¹ ( k , Aut ( Y )). For eksempel er (ikke -genererede) kvadratiske former for dimension n over k klassificeret efter H ¹ ( k , O ( n )), og centrale simple algebraer af grad n over k er klassificeret efter H ¹ ( k , PGL ( n )). Også, k -formerne af en given algebraisk gruppe G (undertiden kaldet "snoninger" af G ) klassificeres af H ¹ ( k , Aut ( G )). Disse problemer motivere en systematisk undersøgelse af G -torsors, især for reduktive grupper G .

Når det er muligt, håber man at klassificere G -læger ved hjælp af kohomologiske invarianter , som er invarianter, der tager værdier i Galois -kohomologi med abelske koefficientgrupper M , H ^a ( k , M ). I denne retning beviste Steinberg Serres "Formodning I": for en forbundet lineær algebraisk gruppe G over et perfekt felt af kohomologisk dimension højst 1, H ¹ ( k , G ) = 1. (Tilfældet med et begrænset felt var tidligere kendt som Langs sætning .) Det følger f.eks., at hver reduktiv gruppe over et begrænset felt er quasi-delt.

Serre's Conjecture II forudsiger, at for en simpelthen forbundet semisimplel gruppe G over et felt af kohomologisk dimension højst 2, H ¹ ( k , G ) = 1. Formodningen er kendt for et totalt imaginært talfelt (som har kohomologisk dimension 2). Mere generelt, for ethvert talfelt k , beviste Martin Kneser , Günter Harder og Vladimir Chernousov (1989) Hasse -princippet : for en simpelthen forbundet semisimple gruppe G over k , kortet

${\ displaystyle H^{1} (k, G) \ to \ prod _ {v} H^{1} (k_ {v}, G)}$

er bijektiv. Her løber v over alle steder af k , og k _v er det tilsvarende lokale felt (muligvis R eller C ). Desuden er det spidse sæt H ¹ ( k _v , G ) trivielt for hvert ikke -arkimidisk lokalt felt k _v , og derfor er det kun de reelle steder for k der betyder noget. Det analoge resultat for et globalt felt k med positiv karakteristik blev tidligere bevist af Harder (1975): for hver enkelt forbundne semisimple gruppe G over k er H ¹ ( k , G ) triviel (da k ikke har nogen reelle steder).

I det lidt anderledes tilfælde af en tilstødende gruppe G over et talfelt k holder Hasse -princippet i en svagere form: det naturlige kort

${\ displaystyle H^{1} (k, G) \ to \ prod _ {v} H^{1} (k_ {v}, G)}$

er injektiv. For G = PGL ( n ) udgør dette Albert -Brauer -Hasse -Noether -sætningen og siger, at en central simpel algebra over et talfelt bestemmes af dens lokale invarianter.

Med udgangspunkt i Hasse -princippet er klassificeringen af ​​semisimple grupper over talfelter godt forstået. For eksempel er der nøjagtig tre Q -former i den usædvanlige gruppe E ₈ , svarende til de tre reelle former for E ₈ .

Se også

• De grupper af Lie typen er de finite simple grupper konstrueret af simple algebraiske grupper over endelige legemer.
• Generaliseret flagesort , Bruhat -nedbrydning , Schubert -sort , Schubert -beregning
• Schur -algebra , Deligne -Lusztig -teori
• Virkelig form (løgnteori)
• Weils formodning om Tamagawa -tal
• Langlands klassifikation , Langlands dobbelt gruppe , Langlands program , geometrisk Langlands program
• Særgruppe , væsentlig dimension
• Geometrisk invariant teori , Lunas skive -sætning , Haboush's sætning
• Radikal for en algebraisk gruppe

Noter

Referencer

• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups , Graduate Texts in Mathematics, 126 (2. udgave), New York: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 , ISBN 0-387-97370-2, MR  1102012
• Borel, Armand ; Tits, Jacques (1971), "Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I.", Inventiones Mathematicae , 12 : 95–104, Bibcode : 1971InMat..12 ... 95B , doi : 10.1007/BF01404653 , MR  0294349
• Chevalley, Claude (2005) [1958], Cartier, P. (red.), Classification des groupes algébriques semi-simples , Collected Works, Vol. 3, Springer Nature , ISBN 3-540-23031-9, MR  2124841
• Conrad, Brian (2014), "Reduktive group schemes" (PDF) , Autour des schémas en groupes , 1 , Paris: Société Mathématique de France , s. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR  3309122
• Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Paris: Masson, ISBN 978-2225616662, MR  0302656
• Demazure, M .; Grothendieck, A. (2011) [1970]. Gille, P .; Polo, P. (red.). Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes . Société Mathématique de France . ISBN 978-2-85629-323-2. MR  2867621 . Revideret og kommenteret udgave af originalen fra 1970.
• Demazure, M .; Grothendieck, A. (1970). Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, and structure des schémas en groupes généraux . Forelæsningsnotater i matematik. 152 . Berlin; New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0059005 . ISBN 978-3540051800. MR  0274459 .
• Demazure, M .; Grothendieck, A. (2011) [1970]. Gille, P .; Polo, P. (red.). Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs . Société Mathématique de France . ISBN 978-2-85629-324-9. MR  2867622 . Revideret og kommenteret udgave af originalen fra 1970.
• Gille, Philippe (2009), "Le problème de Kneser – Tits" (PDF) , Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008 , Astérisque, 326 , Société Mathématique de France , s. 39–81, ISBN 978-285629-269-3, MR  2605318
• Jantzen, Jens Carsten (2003) [1987], repræsentationer for algebraiske grupper (2. udg.), American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3527-2, MR  2015057
• Milne, JS (2017), Algebraic Groups: Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483, MR  3729270
• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994), Algebraic Groups and Number Theory , Academic Press , ISBN 0-12-558180-7, MR  1278263
• VL Popov (2001) [1994], "Reduktiv gruppe" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Riche, Simon; Williamson, Geordie (2018), Tilting Modules and the p -Canonical Basis , Astérisque, 397 , Société Mathématique de France , arXiv : 1512.08296 , Bibcode : 2015arXiv151208296R , ISBN 978-2-85629-880-0
• Springer, Tonny A. (1979), "Reduktive grupper" , Automorfe former, repræsentationer og L -funktioner , 1 , American Mathematical Society , s. 3–27, ISBN 0-8218-3347-2, MR  0546587
• Springer, Tonny A. (1998), Linear Algebraic Groups , Progress in Mathematics, 9 (2. udgave), Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4 , ISBN 978-0-8176-4021-7, MR  1642713
• Steinberg, Robert (1965), "Regular elements of semisimple algebraic groups" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 25 : 49–80, doi : 10.1007/bf02684397 , MR  0180554
• Steinberg, Robert (2016) [1968], Forelæsninger om Chevalley Groups , University Lecture Series, 66 , American Mathematical Society , doi : 10.1090/ulect/066 , ISBN 978-1-4704-3105-1, MR  3616493
• Tits, Jacques (1964), "Algebraiske og abstrakte simple grupper", Annals of Mathematics , 80 (2): 313–329, doi : 10.2307/1970394 , JSTOR  1970394 , MR  0164968

eksterne links

• Demazure, M .; Grothendieck, A. , Gille, P .; Polo, P. (red.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux Revideret og kommenteret udgave af originalen fra 1970.