Rektangulær funktion - Rectangular function

Rektangulær funktion

Den rektangulære funktion (også kendt som rektangelfunktionen , rektfunktionen , Pi -funktionen , portfunktionen , enhedsimpulsen eller den normaliserede kassevognfunktion ) er defineret som

${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t) = \ Pi (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0, og {\ text {if}} | t |> {\ frac {1 } {2}} \\ {\ frac {1} {2}} og {\ text {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1 og {\ text {if }} | t | <{\ frac {1} {2}}. \ end {array}} \ right.}$

Alternative definitioner af funktionen defineres til at være 0, 1 eller udefineret. ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left (\ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}$

Forhold til kassevognens funktion

Den rektangulære funktion er et specielt tilfælde af den mere generelle kassevognfunktion :

${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {tX} {Y}} \ right) = u (t- (XY/2))-u (t- (X+Y/2)) = u (t-X+Y/2) -u (tXY/2)}$

hvor er Heaviside -funktionen ; funktionen er centreret om og har varighed , fra til . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle XY/2}$${\ displaystyle X+Y/2}$

Fouriertransformation af den rektangulære funktion

De unitære Fouriertransformationer af den rektangulære funktion er

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i2 \ pi ft} \, dt = {\ frac {\ sin (\ pi f) } {\ pi f}} = \ mathrm {sinc} {(\ pi f)}, \,}$

ved hjælp af almindelig frekvens f , og

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i \ omega t } \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {sin} \ venstre (\ omega /2 \ højre)} {\ omega /2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ mathrm {sinc} \ venstre (\ omega /2 \ højre), \,}$

Plot af normaliseret sinc (x) -funktion (dvs. sinc (πx)) med dens spektrale frekvenskomponenter.

ved hjælp af vinkelfrekvens ω, hvor er den unormaliserede form for sinc -funktionen . ${\ displaystyle \ mathrm {sinc}}$

Bemærk, at så længe definitionen af ​​pulsfunktionen kun er motiveret af dens adfærd i tidsdomæneoplevelsen, er der ingen grund til at tro, at den oscillerende fortolkning (dvs. Fouriertransformationsfunktionen) skal være intuitiv eller forstås direkte af mennesker . Nogle aspekter af det teoretiske resultat kan imidlertid forstås intuitivt, da endelighed i tidsdomæne svarer til en uendelig frekvensrespons. (Omvendt vil en endelig Fourier -transformation svare til uendelig tidsdomænerespons.)

Forhold til den trekantede funktion

Vi kan definere den trekantede funktion som konvolutionen af to rektangulære funktioner:

${\ displaystyle \ mathrm {tri} = \ mathrm {rect} *\ mathrm {rect}. \,}$

Brug med sandsynlighed

Når man ser den rektangulære funktion som en sandsynlighedstæthedsfunktion , er det et specielt tilfælde af den kontinuerlige ensartede fordeling med . Den karakteristiske funktion er ${\ displaystyle a = -1/2, b = 1/2}$

${\ displaystyle \ varphi (k) = {\ frac {\ sin (k/2)} {k/2}},}$

og dens momentgenererende funktion er

${\ displaystyle M (k) = {\ frac {\ sinh (k/2)} {k/2}},}$

hvor er den hyperbolske sinusfunktion . ${\ displaystyle \ sinh (t)}$

Rationel tilnærmelse

Pulsfunktionen kan også udtrykkes som en grænse for en rationel funktion :

${\ displaystyle \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}}}$

Gyldighedsdemonstration

Først overvejer vi sagen hvor . Bemærk, at udtrykket altid er positivt for heltal . Men nærmer sig derfor nul for store . ${\ displaystyle | t | <{\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2t <1}$${\ displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$

Den følger det:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = {\ frac {1} { 0+1}} = 1, | t | <{\ frac {1} {2}}}$

For det andet overvejer vi sagen hvor . Bemærk, at udtrykket altid er positivt for heltal . Men vokser derfor meget stort for stort . ${\ displaystyle | t |> {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2t> 1}$${\ displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$

Den følger det:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = {\ frac {1} { +\ infty +1}} = 0, | t |> {\ frac {1} {2}}}$

For det tredje overvejer vi sagen hvor . Vi kan simpelthen erstatte i vores ligning: ${\ displaystyle | t | = {\ frac {1} {2}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {1^{2n} +1}} = {\ frac {1} {1+1}} = {\ frac {1} {2}}}$

Vi ser, at det tilfredsstiller definitionen af ​​pulsfunktionen.

${\ displaystyle \ derfor \ mathrm {rect} (t) = \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t )^{2n} +1}} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1 & {\ mbox {if}} | t | <{\ frac {1} {2}}. \\\ slut {cases}}}$

Se også

• Fourier transform
• Firkantbølge
• Trinfunktion
• Top-hat filter

Referencer