Téglalap alakú funkció - Rectangular function

Téglalap alakú funkció

A téglalap alakú függvény (szintén ismert, mint a téglalap funkció , rect funkció , PI funkció , kapu funkciót , egység impulzus , vagy a normalizált marhavagon funkció ) úgy definiáljuk,

{\ displaystyle \ operatornév {rect} (t) = \ Pi (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0, & {\ text {if}} | t |> {\ frac {1 } {2}} \\ {\ frac {1} {2}}, & {\ text {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1 és {\ text {if }} | t | <{\ frac {1} {2}}. \ end {tömb}} \ jobb.}

A függvény alternatív definíciói 0, 1 vagy nem definiáltak. ${\ displaystyle \ operatornév {rect} \ left (\ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}$

Kapcsolat a boxcar funkcióval

A téglalap alakú függvény az általánosabb boxcar funkció speciális esete :

{\ displaystyle \ operatornév {rect} \ left ({\ frac {tX} {Y}} \ right) = u (t- (XY/2))-u (t- (X+Y/2)) = u (t-X+Y/2) -u (tXY/2)}

hol van a Heaviside funkció ; a függvény középpontjában áll, és időtartama , tól ig . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle XY/2}$ ${\ displaystyle X+Y/2}$

A téglalap alakú függvény Fourier -transzformációja

A téglalap alakú függvény egységbeli Fourier -transzformációi

{\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i2 \ pi ft} \, dt = {\ frac {\ sin (\ pi f) } {\ pi f}} = \ mathrm {sinc} {(\ pi f)}, \,}

közönséges f frekvencia használatával , és

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i \ omega t } \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {sin} \ left (\ omega /2 \ right)} {\ omega /2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ mathrm {sinc} \ balra (\ omega /2 \ jobb), \,}

A normalizált sinc (x) függvény ábrázolása (azaz sinc (πx)) spektrális frekvenciakomponenseivel.

ang szögfrekvencia használatával, ahol a sinc függvény normalizálatlan formája . ${\ displaystyle \ mathrm {sinc}}$

Ne feledje, hogy mindaddig, amíg az impulzusfüggvény meghatározását csak az időtartománybeli viselkedése motiválja, nincs ok azt feltételezni, hogy az oszcilláló értelmezésnek (azaz a Fourier-transzformációs függvénynek) intuitívnak kell lennie, vagy az embereknek közvetlenül meg kell értenie . Az elméleti eredmény néhány aspektusa azonban intuitív módon is megérthető, mivel az időtartomány végessége végtelen frekvenciaválasznak felel meg. (Fordítva, a véges Fourier -transzformáció végtelen időtartományú válasznak felel meg.)

Kapcsolat a háromszög függvénnyel

Tudjuk meghatározni a háromszög alakú függvény , mint a konvolúció két négyszögletes funkciók:

{\ displaystyle \ mathrm {tri} = \ mathrm {rect} *\ mathrm {rect}. \,}

Használja valószínűséggel

Megtekintése a négyszögletes funkcionálnak sűrűségfüggvény , ez egy speciális esete az folytonos egyenletes eloszlású az . A jellegzetes funkció az ${\ displaystyle a = -1/2, b = 1/2}$

{\ displaystyle \ varphi (k) = {\ frac {\ sin (k/2)} {k/2}},}

és momentumgeneráló funkciója az

{\ displaystyle M (k) = {\ frac {\ sinh (k/2)} {k/2}},}

hol van a hiperbolikus szinuszfüggvény . ${\ displaystyle \ sinh (t)}$

Racionális közelítés

Az impulzusfüggvény a racionális függvény határaként is kifejezhető :

{\ displaystyle \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}}}

Érvényesség bizonyítása

Először azt az esetet vizsgáljuk meg, ahol . Vegye figyelembe, hogy a kifejezés egész számra mindig pozitív . Azonban, és így nagyhoz közelít a nullához . ${\ displaystyle | t | <{\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2t <1}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$

Ebből következik, hogy:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = {\ frac {1} { 0+1}} = 1, | t | <{\ frac {1} {2}}}

Másodszor, megvizsgáljuk azt az esetet, amikor . Vegye figyelembe, hogy a kifejezés egész számra mindig pozitív . Azonban, és ezért nagyon nagyra nő nagyra . ${\ displaystyle | t |> {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2t> 1}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$