Trinfunktion - Step function

I matematik kaldes en funktion på de reelle tal en trinfunktion (eller trappefunktion ), hvis den kan skrives som en endelig lineær kombination af indikatorfunktioner af intervaller . Uformelt set er en trinfunktion en stykkevis konstant funktion med kun endeligt mange stykker.

Eksempel på en trinfunktion (den røde graf). Denne særlige trinfunktion er højre-kontinuerlig .

Definition og første konsekvenser

En funktion kaldes en trinfunktion, hvis den kan skrives som ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum \ grænser _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x)}$, for alle reelle tal ${\ displaystyle x}$

hvor , er reelle tal, er intervaller, og er den indikator funktion af : ${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ chi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ i A \\ 0 & {\ text {if}} x \ notin A \\\ end { sager}}}$

I denne definition kan intervallerne antages at have følgende to egenskaber: ${\ displaystyle A_ {i}}$

1. Intervallerne er adskilt fra hinanden : for${\ displaystyle A_ {i} \ cap A_ {j} = \ emptyset}$${\ displaystyle i \ neq j}$
2. Den forening af intervallerne er hele den virkelige linje:${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} = \ mathbb {R}.}$

Faktisk, hvis det ikke er tilfældet til at begynde med, kan der vælges et andet sæt intervaller, som disse antagelser holder for. For eksempel trinfunktionen

${\ displaystyle f = 4 \ chi _ {[- 5,1)} + 3 \ chi _ {(0,6)}}$

kan skrives som

${\ displaystyle f = 0 \ chi _ {(- \ infty, -5)} + 4 \ chi _ {[- 5,0]} + 7 \ chi _ {(0,1)} + 3 \ chi _ { [1,6)} + 0 \ chi _ {[6, \ infty)}.}$

Variationer i definitionen

Nogle gange kræves det, at intervallerne er højreåbne eller tilladt at være singleton. Betingelsen om, at samlingen af ​​intervaller skal være endelig, droppes ofte, især i skolematematik, skønt den stadig skal være lokal endelig, hvilket resulterer i definitionen af ​​stykkevise konstante funktioner.

Eksempler

Den heaviside trinfunktion er en ofte brugt trinfunktion.

• En konstant funktion er et trivielt eksempel på en trinfunktion. Så er der kun et interval,${\ displaystyle A_ {0} = \ mathbb {R}.}$
• Den sign funktion sgn ( x ) , som er -1 for negative tal og en for positive tal, og er den enkleste ikke-konstant trinfunktion.
• Den Heaviside-funktionen H ( x ) , som er 0 for negative tal og 1 for positive tal, svarer til tegnet funktion, op til et skift og omfanget af rækkevidde ( ). Det er den matematiske konceptet bag nogle test -signaler , såsom dem, der anvendes til at bestemme stepresponsen af et dynamisk system .${\ displaystyle H = (\ operatorname {sgn} +1) / 2}$

Den rektangulære funktion , den næste enkleste trinfunktion.

• Den rektangulære funktion , den normaliserede kassevognfunktion , bruges til at modellere en enhedsimpuls.

Ikke-eksempler

• Den heltalsdelen funktion er ikke en trinfunktion ifølge definitionen i denne artikel, da det har et uendeligt antal intervaller. Imidlertid definerer nogle forfattere også trinfunktioner med et uendeligt antal intervaller.

Ejendomme

• Summen og produktet af totrinsfunktioner er igen en trinfunktion. Produktet af en trinfunktion med et tal er også en trinfunktion. Som sådan danner trinfunktionerne en algebra over de reelle tal.
• En trinfunktion tager kun et endeligt antal værdier. Hvis intervallerne for i ovenstående definition af trinfunktions er disjunkte og deres forening er den virkelige linje, så for alle${\ displaystyle A_ {i},}$${\ displaystyle i = 0,1, \ prikker, n}$${\ displaystyle f (x) = \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle x \ i A_ {i}.}$
• Den bestemte integral af en trinfunktion er en stykkevis lineær funktion .
• Den Lebesgue integral af en trinfunktion er hvor er længden af intervallet , og det antages her, at alle intervaller har endelig længde. Faktisk kan denne lighed (betragtes som en definition) være det første skridt i konstruktionen af ​​Lebesgue-integralen.${\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ int f \, dx = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ ell (A_ {i}),}$${\ displaystyle \ ell (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {i}}$
• En diskret tilfældig variabel defineres undertiden som en tilfældig variabel, hvis kumulative fordelingsfunktion er stykkevis konstant. I dette tilfælde er det lokalt en trinfunktion (globalt kan det have et uendeligt antal trin). Normalt kaldes enhver tilfældig variabel med kun talbart mange mulige værdier en diskret tilfældig variabel, i dette tilfælde er deres kumulative fordelingsfunktion ikke nødvendigvis lokalt en trinfunktion, da uendeligt mange intervaller kan akkumuleres i et endeligt område.

Se også

• Crenel funktion
• Stykkevis defineret funktion
• Sigmoid funktion
• Enkel funktion
• Trinregistrering
• Enhedstrinsfunktion

Referencer