Trekantet funktion - Triangular function

Eksemplarisk trekantet funktion

En trekantet funktion (også kendt som en trekantfunktion , hatfunktion eller teltfunktion ) er en funktion, hvis graf har form som en trekant. Ofte er dette en ensartet trekant med højde 1 og base 2, i hvilket tilfælde den omtales som den trekantede funktion. Trekantede funktioner er nyttige i signalbehandling og kommunikationssystemteknik som repræsentationer af idealiserede signaler, og den trekantede funktion specifikt som en integreret transformeringskernefunktion , hvorfra der kan udledes mere realistiske signaler, f.eks. I estimering af kernedensitet . Det har også applikationer i pulskodemodulation som en pulsform til overførsel af digitale signaler og som et matchet filter til modtagelse af signalerne. Det bruges også til at definere det trekantede vindue, der undertiden kaldes Bartlett -vinduet .

Definitioner

Den mest almindelige definition er som en stykkevis funktion:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (x) = \ Lambda (x) \ & {\ overset {\ underset {\ text {def}} {}} {=}} \ \ max {\ big (} 1- | x |, 0 {\ big)} \\ & = {\ begin {cases} 1- | x |, & | x | <1; \\ 0 & {\ text {ellers}}. \ \\ end {cases}} \ end {align}}}$

Tilsvarende kan det defineres som konvolvering af to identiske enheds rektangulære funktioner :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (x) & = \ operatorname {rect} (x)*\ operatorname {rect} (x) \\ & = \ int _ {-\ infty}^{ \ infty} \ operatorname {rect} (x- \ tau) \ cdot \ operatorname {rect} (\ tau) \, d \ tau. \\\ end {align}}}$

Den trekantede funktion kan også repræsenteres som produktet af de rektangulære og absolutte værdifunktioner:

${\ displaystyle \ operatorname {tri} (x) = \ operatorname {rect} (x/2) {\ big (} 1- | x | {\ big)}.}$

Alternativ trekantfunktion

Bemærk, at nogle forfattere i stedet definerer trekantsfunktionen til at have en base af bredde 1 i stedet for bredde 2:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (2x) = \ Lambda (2x) \ & {\ overset {\ underset {\ text {def}} {}} {=}} \ \ max {\ big (} 1-2 | x |, 0 {\ big)} \\ & = {\ begin {cases} 1-2 | x |, & | x | <{\ tfrac {1} {2}}; \ \ 0 og {\ tekst {ellers}}. \\\ slut {cases}} \ end {align}}}$

I sin mest generelle form er en trekantet funktion enhver lineær B-spline :

${\ displaystyle \ operatorname {tri} _ {j} (x) = {\ begin {cases} (x-x_ {j-1})/(x_ {j} -x_ {j-1}) og x_ {j -1} \ leq x <x_ {j}; \\ (x_ {j+1} -x)/(x_ {j+1} -x_ {j}), & x_ {j} \ leq x <x_ {j +1}; \\ 0 og {\ tekst {ellers}}. \ Slut {sager}}}$

Hvorimod definitionen øverst er et specielt tilfælde

${\ displaystyle \ Lambda (x) = \ operatorname {tri} _ {j} (x),}$

hvor , og . ${\ displaystyle x_ {j-1} =-1}$${\ displaystyle x_ {j} = 0}$${\ displaystyle x_ {j+1} = 1}$

En lineær B-spline er det samme som en kontinuerlig stykkevis lineær funktion , og denne generelle trekantfunktion er nyttig til formelt at definere som ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {j} y_ {j} \ cdot \ operatorname {tri} _ {j} (x),}$

hvor for hele heltal . Den stykkevis lineære funktion passerer gennem hvert punkt udtrykt som koordinater med ordnet par , det vil sige ${\ displaystyle x_ {j} <x_ {j+1}}$${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}}$

${\ displaystyle f (x_ {j}) = y_ {j}}$.

Skalering

For enhver parameter : ${\ displaystyle a \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} \ left ({\ tfrac {t} {a}} \ right) & = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ tfrac {1 } {| a |}} \ operatorname {rect} \ left ({\ tfrac {\ tau} {a}} \ right) \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ tfrac {t- \ tau} {a }} \ right) \, d \ tau \\ & = {\ begin {cases} 1- | t/a |, & | t | <| a |; \\ 0 & {\ text {ellers}}. \ end {cases}} \ end {align}}}$

Fourier transform

Transformen bestemmes let ved hjælp af konvolutionsegenskaben for Fourier -transformer og Fourier -transformen af ​​den rektangulære funktion :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {tri} (t) \} & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t)*\ operatorname {rect} (t) \} \\ & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} \\ & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} ^{2} \\ & = \ mathrm {sinc} ^{2} (f), \ end {justeret }}}$

hvor er den normaliserede sync -funktion . ${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (x) = \ sin (\ pi x)/(\ pi x)}$

Se også

• Källén -funktion , også kendt som trekantfunktion
• Teltkort
• Trekantet fordeling
• Trekantbølge , en stykkevis lineær periodisk funktion
• Trigonometriske funktioner

Referencer