Obdélníková funkce - Rectangular function

Obdélníková funkce

Obdélníkové funkce (také známý jako funkce obdélník , rect funkce , funkce Pi , funkci brány , jednotky pulzu , nebo normalizované funkce vagónu ), je definován jako

${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t) = \ Pi (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0, & {\ text {if}} | t |> {\ frac {1 } {2}} \\ {\ frac {1} {2}}, & {\ text {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1, & {\ text {if }} | t | <{\ frac {1} {2}}. \ end {array}} \ right.}$

Alternativní definice funkce definují jako 0, 1 nebo nedefinované. ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left (\ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}$

Vztah k funkci boxcar

Obdélníková funkce je zvláštním případem obecnější funkce boxcar :

${\ Displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {tX} {Y}} \ right) = u (t- (XY/2))-u (t- (X+Y/2)) = u (t-X+Y/2) -u (tXY/2)}$

kde je funkce Heaviside ; funkce je vystředěna na a má trvání , od do . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle XY/2}$${\ displaystyle X+Y/2}$

Fourierova transformace obdélníkové funkce

Tyto jednotkové Fourier převádí obdélníkové funkce jsou

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i2 \ pi ft} \, dt = {\ frac {\ sin (\ pi f) } {\ pi f}} = \ mathrm {sinc} {(\ pi f)}, \,}$

pomocí běžné frekvence f , a

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i \ omega t } \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {sin} \ left (\ omega /2 \ right)} {\ omega /2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ mathrm {sinc} \ left (\ omega /2 \ right), \,}$

Vykreslení normalizované funkce sinc (x) (tj. Sinc (πx)) s jejími spektrálními frekvenčními složkami.

pomocí úhlové frekvence ω, kde je nenormalizovaná forma sinc funkce . ${\ displaystyle \ mathrm {sinc}}$

Všimněte si toho, že pokud je definice pulzní funkce motivována pouze jejím chováním ve zkušenosti v časové oblasti, není důvod se domnívat, že oscilační interpretace (tj. Funkce Fourierovy transformace) by měla být intuitivní nebo přímo srozumitelná lidem. . Některé aspekty teoretického výsledku však lze chápat intuitivně, protože konečnost v časové oblasti odpovídá nekonečné frekvenční odezvě. (Naopak, konečná Fourierova transformace bude odpovídat odezvě nekonečné časové oblasti.)

Vztah k trojúhelníkové funkci

Trojúhelníkovou funkci můžeme definovat jako konvoluci dvou obdélníkových funkcí:

${\ Displaystyle \ mathrm {tri} = \ mathrm {rect} *\ mathrm {rect}. \,}$

Použití v pravděpodobnosti

Při pohledu na obdélníkovou funkci jako funkci hustoty pravděpodobnosti jde o speciální případ spojitého rovnoměrného rozdělení s . Charakteristická funkce je ${\ Displaystyle a = -1/2, b = 1/2}$

${\ Displaystyle \ varphi (k) = {\ frac {\ sin (k/2)} {k/2}},}$

a jeho funkce generující moment je

${\ Displaystyle M (k) = {\ frac {\ sinh (k/2)} {k/2}},}$

kde je hyperbolická sinusová funkce. ${\ Displaystyle \ sinh (t)}$

Racionální aproximace

Pulzní funkce může být také vyjádřena jako limit racionální funkce :

${\ Displaystyle \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}}}$

Ukázka platnosti

Nejprve zvažujeme případ, kdy . Všimněte si, že výraz je vždy kladný pro celé číslo . Nicméně, a proto se blíží nule pro velké . ${\ displaystyle | t | <{\ frac {1} {2}}}$${\ Displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2t <1}$${\ Displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$

Z toho vyplývá, že:

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = {\ frac {1} { 0+1}} = 1, | t | <{\ frac {1} {2}}}$

Za druhé, zvažujeme případ, kdy . Všimněte si, že výraz je vždy kladný pro celé číslo . Nicméně, a proto roste velmi velký pro velké . ${\ displaystyle | t |> {\ frac {1} {2}}}$${\ Displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2t> 1}$${\ Displaystyle (2t)^{2n}}$${\ displaystyle n}$

Z toho vyplývá, že:

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = {\ frac {1} { +\ infty +1}} = 0, | t |> {\ frac {1} {2}}}$

Za třetí, zvažujeme případ, kdy . V naší rovnici můžeme jednoduše dosadit: ${\ displaystyle | t | = {\ frac {1} {2}}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {1^{2n} +1}} = {\ frac {1} {1+1}} = {\ frac {1} {2}}}$

Vidíme, že splňuje definici pulzní funkce.

${\ Displaystyle \ proto \ mathrm {rect} (t) = \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t )^{2n} +1}} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1 & {\ mbox {if}} | t | <{\ frac {1} {2}}. \\\ end {cases}}}$

Viz také

• Fourierova transformace
• Čtvercová vlna
• Kroková funkce
• Top-hat filtr

Reference