Rektangulær funksjon - Rectangular function

Rektangulær funksjon

Den rektangulær funksjon (også kjent som rektangel funksjon , rect funksjon , Pi funksjon , gate funksjon , enhet puls , eller den normaliserte boxcar funksjonen ) er definert som

{\ displaystyle \ operatorname {rect} (t) = \ Pi (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0, og {\ text {if}} | t |> {\ frac {1 } {2}} \\ {\ frac {1} {2}} og {\ text {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1 og {\ text {if }} | t | <{\ frac {1} {2}}. \ end {array}} \ right.}

Alternative definisjoner av funksjonen defineres til å være 0, 1 eller udefinert. ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left (\ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}$

Forhold til varebilfunksjonen

Den rektangulære funksjonen er et spesialtilfelle for den mer generelle vognfunksjonen :

{\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {tX} {Y}} \ right) = u (t- (XY/2))-u (t- (X+Y/2)) = u (t-X+Y/2) -u (tXY/2)}

hvor er Heaviside -funksjonen ; funksjonen er sentrert på og har varighet , fra til . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle XY/2}$ ${\ displaystyle X+Y/2}$

Fouriertransform av den rektangulære funksjonen

De enhetlige Fourier -transformasjonene av den rektangulære funksjonen er

{\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i2 \ pi ft} \, dt = {\ frac {\ sin (\ pi f) } {\ pi f}} = \ mathrm {sinc} {(\ pi f)}, \,}

ved bruk av vanlig frekvens f , og

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e^{-i \ omega t } \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {sin} \ venstre (\ omega /2 \ høyre)} {\ omega /2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ mathrm {sinc} \ venstre (\ omega /2 \ høyre), \,}

Plott av normalisert sinc (x) -funksjon (dvs. sinc (πx)) med sine spektrale frekvenskomponenter.

ved hjelp av vinkelfrekvens ω, hvor er den unormaliserte formen for sinc -funksjonen . ${\ displaystyle \ mathrm {sinc}}$

Vær oppmerksom på at så lenge definisjonen av pulsfunksjonen bare er motivert av dens oppførsel i tidsdomenerfaringen, er det ingen grunn til å tro at den oscillerende tolkningen (dvs. Fouriertransformasjonsfunksjonen) skal være intuitiv, eller forstås direkte av mennesker . Noen aspekter av det teoretiske resultatet kan imidlertid forstås intuitivt, ettersom endeligheten i tidsdomenet tilsvarer en uendelig frekvensrespons. (Omvendt, en endelig Fourier -transformasjon vil svare til uendelig tidsdomene.)

Forholdet til den trekantede funksjonen

Vi kan definere den trekantede funksjonen som konvolusjonen av to rektangulære funksjoner:

{\ displaystyle \ mathrm {tri} = \ mathrm {rect} *\ mathrm {rect}. \,}

Bruk med sannsynlighet

Når vi ser på den rektangulære funksjonen som en sannsynlighetstetthetsfunksjon , er det et spesielt tilfelle av den kontinuerlige jevne fordelingen med . Den karakteristiske funksjonen er ${\ displaystyle a = -1/2, b = 1/2}$

{\ displaystyle \ varphi (k) = {\ frac {\ sin (k/2)} {k/2}},}

og dens øyeblikkegenererende funksjon er

{\ displaystyle M (k) = {\ frac {\ sinh (k/2)} {k/2}},}

hvor er den hyperboliske sinusfunksjonen . ${\ displaystyle \ sinh (t)}$

Rasjonell tilnærming

Pulsfunksjonen kan også uttrykkes som en grense for en rasjonell funksjon :

{\ displaystyle \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}}}

Gyldighetsdemonstrasjon

Først vurderer vi saken hvor . Legg merke til at begrepet alltid er positivt for heltall . Men og dermed nærmer seg null for stor . ${\ displaystyle | t | <{\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2t <1}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$

Det følger at:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t)^{2n} +1}} = {\ frac {1} { 0+1}} = 1, | t | <{\ frac {1} {2}}}

For det andre vurderer vi saken der . Legg merke til at begrepet alltid er positivt for heltall . Imidlertid vokser det derfor veldig stort for stort . ${\ displaystyle | t |> {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2t> 1}$ ${\ displaystyle (2t)^{2n}}$ ${\ displaystyle n}$