Længde funktion - Length function

I det matematiske område for geometrisk gruppeteori er en længdefunktion en funktion, der tildeler et tal til hvert element i en gruppe.

Definition

En længdefunktion L  :  G  →  R ⁺ på en gruppe G er en funktion, der tilfredsstiller:

${\ displaystyle {\ begin {align} L (e) & = 0, \\ L (g^{-1}) & = L (g) \\ L (g_ {1} g_ {2}) & \ leq L (g_ {1})+L (g_ {2}), \ quad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ i G. \ end {justeret}}}$

Sammenlign med aksiomerne for en metrik og en filtreret algebra .

Ordet metrisk

Et vigtigt eksempel på en længde er ordet metrisk : givet en præsentation af en gruppe af generatorer og relationer er længden af ​​et element længden af ​​det korteste ord, der udtrykker det.

Coxeter -grupper (inklusive den symmetriske gruppe ) har kombinatoriske vigtige længdefunktioner ved hjælp af de enkle refleksioner som generatorer (således har hver enkel refleksion længde 1). Se også: længde af et Weyl -gruppeelement .

Et længste element i en Coxeter -gruppe er både vigtigt og unikt op til konjugering (op til forskellige valg af enkle refleksioner).

Ejendomme

En gruppe med en længdefunktion danner ikke en filtreret gruppe , hvilket betyder, at underniveau -sæt ikke generelt danner undergrupper. ${\ displaystyle S_ {i}: = \ {g \ midt L (g) \ leq i \}}$

Imidlertid gruppe algebra af en gruppe med en længde funktioner danner et filtreret algebra : aksiom svarer til filtrering aksiom. ${\ displaystyle L (gh) \ leq L (g)+L (h)}$

Denne artikel indeholder materiale fra Length-funktion på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .