Funkce délky - Length function

V matematickém poli teorie geometrických grup je délková funkce funkcí, která každému prvku ve skupině přiřazuje číslo.

Definice

Funkce délky L  :  G  →  R ⁺ na skupině G je funkce splňující:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} L (e) & = 0, \\ L (g^{-1}) & = L (g) \\ L (g_ {1} g_ {2}) & \ leq L (g_ {1})+L (g_ {2}), \ quad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ in G. \ end {aligned}}}$

Porovnejte s axiomy pro metriku a filtrovanou algebru .

Metrika slova

Důležitým příkladem délky je slovo metrika : vzhledem k prezentaci skupiny generátory a vztahy je délka prvku délka nejkratšího slova, které jej vyjadřuje.

Coxeterské skupiny (včetně symetrické skupiny ) mají kombinatorické důležité délkové funkce využívající jako generátory jednoduché odrazy (každý jednoduchý odraz má tedy délku 1). Viz také: délka prvku skupiny Weyl .

Nejdelší prvek ze skupiny Coxeter je důležité, ale i jedinečná až konjugace (až jinou volbu jednoduchých odrazů).

Vlastnosti

Skupina s funkcí délky se nebude tvořit filtrované skupiny , což znamená, že Podzemních sady netvoří podskupin obecně. ${\ Displaystyle S_ {i}: = \ {g \ mid L (g) \ leq i \}}$

Nicméně, skupina algebry skupiny s délkou funkcí tvoří filtruje algebry : axiómem odpovídá filtrační axiomu. ${\ Displaystyle L (gh) \ leq L (g)+L (h)}$

Tento článek včlení materiál z funkce Length na PlanetMath , který je chráněn licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .