Funzione lunghezza - Length function

Nel campo matematico della teoria dei gruppi geometrici , una funzione di lunghezza è una funzione che assegna un numero a ciascun elemento di un gruppo.

Definizione

Una funzione di lunghezza L  :  G  →  R ⁺ su un gruppo G è una funzione che soddisfa:

${\displaystyle {\begin{allineato}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{allineato}}}$

Confronta con gli assiomi per una metrica e un'algebra filtrata .

Metrica delle parole

Un esempio importante di lunghezza è la parola metrica : data una presentazione di un gruppo per generatori e relazioni, la lunghezza di un elemento è la lunghezza della parola più corta che lo esprime.

I gruppi di Coxeter (incluso il gruppo simmetrico ) hanno importanti funzioni combinatorie di lunghezza, usando le riflessioni semplici come generatori (quindi ogni riflessione semplice ha lunghezza 1). Vedi anche: lunghezza di un elemento del gruppo di Weyl .

Un elemento più lungo di un gruppo di Coxeter è sia importante che unico fino alla coniugazione (fino alla diversa scelta di semplici riflessioni).

Proprietà

Un gruppo con una funzione di lunghezza non forma un gruppo filtrato , il che significa che gli insiemi di sottolivello non formano sottogruppi in generale. ${\displaystyle S_{i}:=\{g\mid L(g)\leq i\}}$

Tuttavia, l' algebra dei gruppi di un gruppo con una funzione di lunghezza forma un'algebra filtrata : l'assioma corrisponde all'assioma di filtrazione. ${\displaystyle L(gh)\leq L(g)+L(h)}$

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