Niveau indstillet - Level set

For beregningsteknik, se Level-set metode . For lige overflader af kraftfelter, se Potentialeoverflade .

Image
Peger på konstante skiver x 2 = f ( x 1 ) .
Image
Linjer ved konstante skiver x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Image
Planer ved konstante skiver på x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n -1) -dimensionelle niveausæt for funktioner af formularen f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n hvor a 1 , a 2 , ..., a n er konstanter i ( n + 1) -dimensionalt euklidisk rum, for n = 1, 2, 3.
Image
Peger på konstante skiver x 2 = f ( x 1 ) .
Image
Konturkurver ved konstante skiver x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Image
Buede overflader ved konstante skiver på x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n -1) -dimensionale niveausæt af ikke -lineære funktioner f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) i ( n + 1) -dimensionalt euklidisk rum, for n = 1, 2, 3.

I matematik , et niveau sæt af en reel -valued funktion f af n reale variabler er et sæt , hvor funktionen tager på en given konstant værdi c , der er:

Når antallet af uafhængige variable er to, er et niveau sæt kaldet en plan kurve , også kendt som kontur linje eller isolinje ; så en niveaukurve er sættet af alle realværdierede løsninger af en ligning i to variabler x 1 og x 2 . Når n  = 3, kaldes et niveausæt for en plan overflade (eller isosurface ); så en plan overflade er sættet af alle reelt værdsatte rødder i en ligning i tre variabler x 1 , x 2 og x 3 . For højere værdier af n er niveausættet en niveauoveroverflade , sættet af alle reelt værdsatte rødder i en ligning i n > 3 variabler.

Et niveausæt er et specielt tilfælde af en fiber .

Alternative navne

Image
Skæringer mellem en koordineringsfunktions jævne overflader med en trefoil knude . Røde kurver er tættest på beskueren, mens gule kurver er længst.

Niveau sæt vises i mange applikationer, ofte under forskellige navne.

For eksempel er en implicit kurve en niveau -kurve, der betragtes uafhængigt af sine nabokurver, hvilket understreger, at en sådan kurve er defineret af en implicit ligning . Analogt kaldes en plan overflade undertiden en implicit overflade eller en isosurface .

Navnet isocontour bruges også, hvilket betyder en kontur af lige højde. I forskellige anvendelsesområder har isokonturer modtaget specifikke navne, som ofte angiver karakteren af ​​værdierne for den betragtede funktion, såsom isobar , isoterm , isogon , isochron , isoquant og ligegyldighedskurve .

Eksempler

Overvej den 2-dimensionelle euklidiske afstand:

Et niveau sæt af denne funktion består af de punkter, der ligger i en afstand fra oprindelsen, ellers kendt som en cirkel . For eksempel fordi . Geometrisk betyder det, at punktet ligger på cirklen med radius 5 centreret ved oprindelsen. Mere generelt kan en kugle i et metrisk rum med radius centreret ved defineres som det indstillede niveau .

Et andet eksempel er plottet af Himmelblaus funktion vist i figuren til højre. Hver vist kurve er en niveaukurve for funktionen, og de er logaritmisk placeret i afstand: Hvis en kurve repræsenterer , repræsenterer kurven direkte "inden for" , og kurven direkte "udenfor" repræsenterer .

Image
Niveaukurve plot med log-afstand af Himmelblaus funktion

Niveau sæt kontra gradienten

Image
Overvej en funktion f, hvis graf ligner en bakke. De blå kurver er niveausættene; de røde kurver følger gradientens retning. Den forsigtige vandrer følger de blå stier; den dristige vandrer følger de røde stier. Bemærk, at blå og røde stier altid krydser hinanden i rette vinkler.
Sætning : Hvis funktionen f er differentiabel , den gradient af f ved et punkt er enten nul eller vinkelret på niveau sæt f på det tidspunkt.

For at forstå, hvad dette betyder, skal du forestille dig, at to vandrere er på samme sted på et bjerg. En af dem er fed, og han beslutter sig for at gå i den retning, hvor skråningen er stejlest. Den anden er mere forsigtig; han ønsker ikke at klatre eller stige ned og vælge en sti, der holder ham i samme højde. I vores analogi siger ovenstående sætning, at de to vandrere vil afgå i retninger vinkelret på hinanden.

En konsekvens af denne sætning (og dens bevis) er, at hvis f er differentierbar, er et niveausæt en overflade og en manifold uden for de kritiske punkter i f . Ved et kritisk punkt, kan et niveau sæt reduceres til et punkt (for eksempel ved en lokal ekstremum af f ) eller kan have en singularitet såsom en selvstændig skæringspunkt eller en spids .

Under- og superniveau sæt

Et sæt af formularen

kaldes et underniveau sæt af f (eller alternativt et lavere niveau sæt eller grøft af f ). Et strengt sæt af f -niveauer er

Tilsvarende

kaldes et superniveau sæt af f . Og på samme måde er et strengt sæt på f

Sublevel -sæt er vigtige i minimeringsteorien . Den boundness af nogle ikke-tom underniveau sæt og nederste semicontinuity af funktionen indebærer, at en funktion opnår sit minimum ved Weierstrass sætning . Den konveksitet af alle underniveau sæt karakteriserer quasiconvex funktioner .

Se også

Referencer