Funcția lungime - Length function

În câmpul matematic al teoriei geometrice a grupurilor , o funcție de lungime este o funcție care atribuie un număr fiecărui element al unui grup.

Definiție

O funcție de lungime L  :  G  →  R ⁺ pe un grup G este o funcție care îndeplinește:

${\ displaystyle {\ begin {align} L (e) & = 0, \\ L (g ^ {- 1}) & = L (g) \\ L (g_ {1} g_ {2}) & \ leq L (g_ {1}) + L (g_ {2}), \ quad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ în G. \ end {align}}}$

Comparați cu axiomele pentru o algebră metrică și filtrată .

Metrică de cuvinte

Un exemplu important de lungime este cuvântul metric : având în vedere o prezentare a unui grup de către generatori și relații, lungimea unui element este lungimea celui mai scurt cuvânt care îl exprimă.

Grupurile Coxeter (inclusiv grupul simetric ) au funcții combinatorii de lungime importantă, folosind reflexele simple ca generatoare (astfel fiecare reflecție simplă are lungimea 1). Vezi și: lungimea unui element de grup Weyl .

Un element mai lung al unui grup Coxeter este atât important cât și unic până la conjugare (până la alegerea diferită a reflexiilor simple).

Proprietăți

Un grup cu o funcție de lungime nu formează un grup filtrat , ceea ce înseamnă că seturile de subnivel nu formează subgrupuri în general. ${\ displaystyle S_ {i}: = \ {g \ mid L (g) \ leq i \}}$

Cu toate acestea, algebra de grup a unui grup cu funcții de lungime formează o algebră filtrată : axioma corespunde axiomei de filtrare. ${\ displaystyle L (gh) \ leq L (g) + L (h)}$

Acest articol încorporează material din funcția Lungime pe PlanetMath , care este licențiată sub licența Creative Commons Attribution / Share-Alike .