Funkcja długości - Length function

W zakresie matematycznym geometrycznej teorii grup , A funkcja długość jest funkcją, która wyznacza pewną liczbę każdego z elementów grupy.

Definicja

Funkcja długości L  :  G  →  R ⁺ na grupie G jest funkcją spełniającą:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} L (e) i = 0 \ \ L (g ^ {-1}) i = L (g) \ \ L (g_ {1} g_ {2}) i \ leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{aligned}}}$

Porównaj z aksjomatami dla metryki i algebry filtrowanej .

Słowo metryka

Ważnym przykładem długości jest metryka słowa : biorąc pod uwagę prezentację grupy przez generatory i relacje, długość elementu jest długością najkrótszego słowa wyrażającego go.

Grupy Coxetera (w tym grupa symetryczna ) mają kombinatoryczne ważne funkcje długości, wykorzystując proste odbicia jako generatory (tak więc każde proste odbicie ma długość 1). Zobacz też: długość elementu grupy Weyl .

Najdłuższy element grupy Coxeter jest zarówno ważny i wyjątkowy do koniugacji (do innego wyboru prostego odbicia).

Nieruchomości

Grupa z funkcją długości nie tworzy grupy filtrowanej , co oznacza, że zestawy podpoziomów nie tworzą ogólnie podgrup. ${\ Displaystyle S_ {i}: = \ {g \ średni L (g) \ równoważnik i \}}$

Jednak algebra grupowa grupy z funkcjami długości tworzy algebrę filtrowaną : aksjomat odpowiada aksjomatowi filtracji. ${\ Displaystyle L (gh) \ leq L (g) + L (h)}$

Ten artykuł zawiera materiał z funkcji Length dostępnej w PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .