Längd funktion - Length function

I det matematiska området för geometrisk gruppteori är en längdfunktion en funktion som tilldelar varje element i en grupp ett nummer.

Definition

En längdfunktion L  :  G  →  R ⁺ på en grupp G är en funktion som tillfredsställer:

${\ displaystyle {\ begin {align} L (e) & = 0, \\ L (g^{-1}) & = L (g) \\ L (g_ {1} g_ {2}) & \ leq L (g_ {1})+L (g_ {2}), \ quad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ i G. \ end {align}}}$

Jämför med axiomen för ett mått och en filtrerad algebra .

Ordmetrisk

Ett viktigt exempel på en längd är ordet metrisk : med tanke på en presentation av en grupp av generatorer och relationer är längden på ett element längden på det kortaste ordet som uttrycker det.

Coxetergrupper (inklusive den symmetriska gruppen ) har kombinatoriska viktiga längdfunktioner, med hjälp av de enkla reflektionerna som generatorer (sålunda har varje enkel reflektion längd 1). Se även: längd av ett Weyl -gruppelement .

Ett längsta element i en Coxeter -grupp är både viktigt och unikt fram till konjugering (upp till olika val av enkla reflektioner).

Egenskaper

En grupp med en längdfunktion bildar inte en filtrerad grupp , vilket betyder att delnivåuppsättningarna inte genererar undergrupper i allmänhet. ${\ displaystyle S_ {i}: = \ {g \ mitt L (g) \ leq i \}}$

Emellertid den grupp algebra av en grupp med en längdfunktioner bildar en filtrerad algebra : de axiom motsvarar filtrerings axiom. ${\ displaystyle L (gh) \ leq L (g)+L (h)}$

Denna artikel innehåller material från Length-funktionen på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Erkännande/Dela-Lika-licens .