Sekskantede fliser - Hexagonal tiling

Sekskantede fliser

Type	Almindelig flisebelægning
Vertex -konfiguration	6.6.6 (eller 6 ³ )
Ansigtskonfiguration	V3.3.3.3.3.3 (eller V3 ⁶ )
Schläfli -symbol (er)	{6,3} t {3,6}
Wythoff -symbol (er)	3 \| 6 2 2 6 \| 3 3 3 3 \|
Coxeter diagram (er)
Symmetri	p6m , [6,3], (*632)
Rotationssymmetri	p6 , [6,3] ⁺ , (632)
Dobbelt	Trekantet flisebelægning
Ejendomme	Hvirvel-transitive , kant-transitive , ansigt-transitive

I geometri er den sekskantede fliser eller sekskantede tessellation en regelmæssig flisebelægning af det euklidiske plan , hvor præcis tre sekskanter mødes ved hvert toppunkt. Den har Schläfli -symbolet på {6,3} eller t {3,6} (som en afkortet trekantet flisebelægning).

Den engelske matematiker John Conway kaldte det en hextille .

Sekskantens indre vinkel er 120 grader, så tre sekskanter på et tidspunkt udgør hele 360 grader. Det er en af tre regelmæssige fliser på flyet . De to andre er trekantede fliser og firkantede fliser .

Ansøgninger

Den sekskantede fliser er den tætteste måde at arrangere cirkler i to dimensioner. Den honeycomb formodninger , at den sekskantede fliser er den bedste måde at opdele en overflade i regioner med samme område med den mindste samlede omkreds. Den optimale tredimensionelle struktur til fremstilling af bikage (eller rettere sagt sæbebobler) blev undersøgt af Lord Kelvin , der mente, at Kelvin-strukturen (eller kropscentreret kubisk gitter) er optimal. Den mindre regelmæssige Weaire – Phelan -struktur er dog lidt bedre.

Denne struktur eksisterer naturligt i form af grafit , hvor hvert ark grafen ligner kyllingetråd, med stærke kovalente carbonbindinger. Rørformede grafenplader er blevet syntetiseret; disse er kendt som carbon nanorør . De har mange potentielle anvendelser på grund af deres høje trækstyrke og elektriske egenskaber. Silicien ligner hinanden.

Kyllingetråd består af et sekskantet gitter (ofte ikke regelmæssigt) af tråde.

Den tætteste cirkelpakning er arrangeret som sekskanterne i denne flisebelægning
Hønsenet hegn
Graphene
Et kulstofrør kan ses som en sekskantet flise på en cylindrisk overflade
Sekskantet persisk flise c.1955

Den sekskantede flisebelægning forekommer i mange krystaller. I tre dimensioner er den ansigtscentrerede kubiske og sekskantede tætpakning almindelige krystalstrukturer. De er de tætteste kuglepakninger i tre dimensioner. Strukturelt består de af parallelle lag af sekskantede fliser, der ligner grafitstrukturen. De adskiller sig på den måde, at lagene er forskudt fra hinanden, hvor den ansigtscentrerede kubik er den mere regelmæssige af de to. Rent kobber danner blandt andet et ansigtscentreret kubisk gitter.

Ensartede farvninger

Der er tre forskellige ensartede farvninger af en sekskantet flisebelægning, der alle er genereret fra reflekterende symmetri af Wythoff -konstruktioner . ( H , k ) repræsenterer den periodiske gentagelse af en farvet flise, der tæller sekskantede afstande som h først og k sekund. Den samme optælling bruges i Goldberg -polyederne med en notation { p +, 3} _{h , k} , og kan anvendes på hyperboliske fliser til p > 6.

k-uniform	1-uniform			2-uniform		3-uniform
Symmetri	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Billede
Farver	1	2	3	2	4	2	7
(h, k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Schläfli	{6,3}	t {3,6}	t {3 ^[3] }
Wythoff	3 \| 6 2	2 6 \| 3	3 3 3 \|
Coxeter
Conway	H	tΔ		cH = t6daH		wH = t6dsH

Den 3-farve fliser er en tessellation genereret af orden-3 permutoeder .

Affasede sekskantede fliser

En affaset sekskantet flise, der erstatter kanter med nye sekskanter og omdannes til en anden sekskantet flisebelægning. I grænsen forsvinder de originale ansigter, og de nye sekskanter degenererer til rhombier, og det bliver en rhombisk fliser .

Den affasede sekskantede fliser degenererer til en rhombilleflise ved grænsen

Sekskanter (H)	Affasede sekskanter (cH)			Rhombi (daH)

Relaterede fliser

Sekskanterne kan dissekeres i sæt med 6 trekanter. Denne proces fører til to 2-ensartede fliser og den trekantede fliser :

Almindelig flisebelægning	Dissektion	2-ensartede fliser		Almindelig flisebelægning
Original		1/3 dissekeret	2/3 dissekeret	fuldt dissekeret
Almindelig flisebelægning	Indsat	2-Uniform Duals		Almindelig flisebelægning
Original		1/3 indsat	2/3 indsat	helt indsat

Den sekskantede flisebelægning kan betragtes som en aflang rhombisk flisebelægning , hvor hvert hjørne af den rhombiske fliser er strakt til en ny kant. Dette ligner forholdet mellem den rhombiske dodecahedron og de rhombo-hexagonal dodecahedron tessellationer i 3 dimensioner.

Rhombisk flisebelægning	Sekskantede fliser	Hegn bruger denne relation

Det er også muligt at opdele prototilerne i visse sekskantede fliser med to, tre, fire eller ni lige store femkanter:

Femkantede fliser type 1 med overlæg af almindelige sekskanter (hver omfattende 2 femkanter).	femkantet flisebelægning type 3 med overlæg af almindelige sekskanter (hver omfattende 3 femkanter).	Femkantede fliser type 4 med overlejringer af halvregulære sekskanter (hver omfattende 4 femkanter).	Femkantede fliser type 3 med overlæg i to størrelser af almindelige sekskanter (omfattende henholdsvis 3 og 9 femkanter).

Symmetri mutationer

Denne fliser er topologisk relateret som en del af sekvensen af regelmæssige fliser med sekskantede flader, der starter med den sekskantede fliser, med Schläfli -symbolet {6, n} og Coxeter -diagram , skrider frem til det uendelige.

* n 62 symmetri mutation af almindelige fliser: {6, n } v t e
Sfærisk	Euklidisk	Hyperboliske fliser
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6, ∞}

Denne flisebelægning er topologisk relateret til regulære polyedre med toppunkt figur n ³ , som en del af sekvens, der fortsætter ind i hyperbolske plan .

* n 32 symmetri mutation af almindelige fliser: { n , 3} v t e
Sfærisk				Euklidisk	Kompakt hyperb.		Paraco.	Ikke -kompakt hyperbolsk

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Det er på lignende måde relateret til de ensartede afkortede polyeder med vertex -figur n .6.6.

* n 32 symmetri mutation af afkortede fliser: n .6.6 v t e
Sym. * n 42 [n, 3]	Sfærisk				Euklid.	Kompakt		Parac.	Ikke -kompakt hyperbolsk
Sym. * n 42 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3] ...	*∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Afkortede figurer
Konfig.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis- figurer
Konfig.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Denne flisebelægning er også en del af en sekvens af afkortede rhombiske polyeder og fliser med [n, 3] Coxeter -gruppesymmetri. Terningen kan ses som en rhombisk hexahedron, hvor romberne er firkanter. De afkortede former har regelmæssige n-goner ved de afkortede hjørner og ikke-regelmæssige sekskantede flader.

Symmetri mutationer af dobbelt kvasiregulære fliser: V (3.n) ²
*n32	Sfærisk			Euklidisk	Hyperbolisk
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832 ...	*∞32
Flisebelægning
Konf.	V (3.3) ²	V (3.4) ²	V (3.5) ²	V (3.6) ²	V (3.7) ²	V (3.8) ²	V (3.∞) ²

Wythoff konstruktioner fra sekskantede og trekantede fliser

Ligesom det ensartede polyeder er der otte ensartede fliser, der kan baseres på den almindelige sekskantede fliser (eller den dobbelte trekantede fliser ).

Tegner fliserne farvet som røde på de originale ansigter, gule ved de originale hjørner og blå langs de originale kanter, er der 8 former, 7 som er topologisk adskilte. (Den afkortede trekantede fliser er topologisk identisk med den sekskantede fliser.)

Ensartede sekskantede/trekantede fliser
Grundlæggende domæner	Symmetri : [6,3], (*632)							[6,3] ⁺ , (632)
	{6,3}	t {6,3}	r {6,3}	t {3,6}	{3,6}	rr {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}


Konfig.	6 ³	3.12.12	(6.3) ²	6.6.6	3 ⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Monohedrale konvekse sekskantede fliser

Der er 3 typer monohedrale konvekse sekskantede fliser. De er alle isohedrale . Hver har parametriske variationer inden for en fast symmetri. Type 2 indeholder glidereflektioner og er 2-isohedral, der holder kirale par adskilte.

3 typer monohedrale konvekse sekskantede fliser
1	2		3
p2, 2222	pgg, 22 ×	p2, 2222	p3, 333

b = e B+C+D = 360 °	b = e, d = f B+C+E = 360 °		a = f, b = c, d = e B = D = F = 120 °
2-flisegitter	4-flisegitter		3-flisegitter

Topologisk tilsvarende fliser

Sekskantede fliser kan laves med den samme {6,3} topologi som den almindelige flisebelægning (3 sekskanter omkring hvert toppunkt). Med isohedrale ansigter er der 13 variationer. Symmetri givet forudsætter, at alle ansigter har samme farve. Farver her repræsenterer gitterstillingerne. Enfarvede (1-flise) gitter er parallelogon- sekskanter.

13 isohedrisk flisebelagte sekskanter
pg (× ×)	p3 (333)	pmg (22*)

pgg (22 ×)	p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Andre isohedrisk flisebelagte topologiske sekskantede fliser ses som firkanter og femkanter, der ikke er kant-til-kant, men fortolkes som kolinære tilstødende kanter:

Isohedrisk flisebelagte firkanter
pmg (22*)		pgg (22 ×)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Parallelogram	Trapez	Parallelogram	Rektangel	Parallelogram	Rektangel	Rektangel

Isohedrisk flisebelagte femkanter
p2 (2222)	pgg (22 ×)	p3 (333)

De 2-ensartede og 3-ensartede tessellationer har en rotationsfrihedsgrad, der forvrænger 2/3 af sekskanterne, herunder en kolinær kasse, der også kan ses som en kant-til-kant flisebelægning af sekskanter og større trekanter.

Det kan også forvrænges til et kiralt 4-farvet trevejs vævet mønster, der forvrænger nogle sekskanter til parallelogrammer . Det vævede mønster med 2 farvede flader har roterende 632 (p6) symmetri . Et chevronmønster har pmg (22*) symmetri, som sænkes til p1 (°) med 3 eller 4 farvede fliser.

Fast	Gyrated	Fast	Vævet	Chevron
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)	p1 (°)

p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)	p1 (°)

Cirkelpakning

Den sekskantede flisebelægning kan bruges som en cirkelpakning og placerer cirkler med samme diameter i midten af hvert punkt. Hver cirkel er i kontakt med 3 andre cirkler i pakningen ( kysenummer ). Spalten inde i hver sekskant giver mulighed for en cirkel, hvilket skaber den tætteste pakning fra den trekantede fliser , med hver cirkel kontakt med maksimalt 6 cirkler.

Relaterede regelmæssige komplekse apeirogoner

Der er 2 regelmæssige komplekse apeirogoner , der deler hjørnerne af den sekskantede fliser. Regelmæssige komplekse apeirogoner har hjørner og kanter, hvor kanter kan indeholde 2 eller flere hjørner. Regelmæssige apeirogoner p { q } r er begrænset af: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Kanter har p -hjørner, og toppunktfigurer er r -gonale.

Den første er lavet af 2-kanter, tre omkring hvert toppunkt, den anden har sekskantede kanter, tre omkring hvert toppunkt. En tredje kompleks apeirogon, der deler de samme hjørner, er kvasiregulær, som veksler 2-kanter og 6-kanter.

2 {12} 3 eller	6 {4} 3 eller

Se også

Referencer

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3. udgave, 1973), Dover-udgave, ISBN 0-486-61480-8 s. 296, tabel II: Regelmæssige honningkager
Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Fliser og mønstre . New York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Kapitel 2.1: Regelmæssige og ensartede fliser , s. 58–65)
Williams, Robert (1979). Det geometriske fundament for naturlig struktur: En kildebog for design . Dover Publications, Inc. s. 35. ISBN 0-486-23729-X.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

eksterne links

DNA | urlname = HexagonalGrid | title = Sekskantet gitter}}
- Weisstein, Eric W. "Regelmæssig tessellation" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Uniform tessellation" . MathWorld .
Klitzing, Richard. "2D euklidiske fliser o3o6x - hexat - O3" .

v t e Grundlæggende konvekse regelmæssige og ensartede honningkager i dimensioner 2-9
Plads	Familie	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E ²	Ensartet flisebelægning	{3 ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Sekskantet
E ³	Ensartet konveks honningkage	{3 ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Ensartet 4-bikage	{3 ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-cellet honningkage
E ⁵	Ensartet 5-honningkage	{3 ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Ensartet 6-bikage	{3 ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Ensartet 7-honningkage	{3 ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	q _{8 8}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Ensartet 8-honningkage	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Ensartet 9-bikage	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Ensartet 10-bikage	{3 ^[11] }	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n -1}	Ensartet ( n -1) - honningkage	{3 ^[n] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁

Languages

In other projects