Sexkantig kakel - Hexagonal tiling
| Sexkantig kakel | |
|---|---|
 |
|
| Typ | Regelbunden kakling |
| Vertex -konfiguration | 6.6.6 (eller 6 3 )
|
| Ansikts konfiguration | V3.3.3.3.3.3 (eller V3 6 ) |
| Schläfli -symbol (er) | {6,3} t {3,6} |
| Wythoff -symbol (er) | 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 | |
| Coxeter -diagram |
     
|
| Symmetri | p6m , [6,3], (*632) |
| Rotationssymmetri | p6 , [6,3] + , (632) |
| Dubbel | Triangulär kakel |
| Egenskaper | Vertex-transitive , edge-transitive , face-transitive |
I geometri är den sexkantiga kaklingen eller den sexkantiga tessellationen en vanlig kakling av det euklidiska planet , där exakt tre hexagoner möts vid varje hörn. Den har Schläflis symbol för {6,3} eller t {3,6} (som en stympad triangulär kakel).
Engelsk matematiker John Conway kallade det en hextille .
Sexkantens inre vinkel är 120 grader så tre hexagoner vid en punkt gör hela 360 grader. Det är en av tre vanliga plattor på planet . De andra två är det triangulära kaklet och det fyrkantiga kaklet .
Ansökningar
Det sexkantiga kaklet är det tätaste sättet att arrangera cirklar i två dimensioner. Den bikakeformade gissningar anges att den hexagonala plattsättning är det bästa sättet att dela upp en yta in i regioner med lika area med minsta totala omkretsen. Den optimala tredimensionella strukturen för att göra bikakan (eller snarare såpbubblor) undersöktes av Lord Kelvin , som trodde att Kelvin-strukturen (eller kroppscentrerad kubisk gitter) är optimal. Den mindre regelbundna Weaire – Phelan -strukturen är dock något bättre.
Denna struktur existerar naturligt i form av grafit , där varje ark av grafen liknar kycklingtråd, med starka kovalenta kolbindningar. Rörformiga grafenark har syntetiserats; dessa är kända som kolnanorör . De har många potentiella tillämpningar på grund av deras höga draghållfasthet och elektriska egenskaper. Silicen är liknande.
Kycklingtråd består av ett sexkantigt galler (ofta inte vanligt) av trådar.
Den tätaste cirkelförpackningen är arrangerad som sexkantarna i denna kakel
Hönsnät stängsel
Ett kol -nanorör kan ses som en sexkant på en cylindrisk yta
Sexkantig persisk kakel ca 1955
.jpg)
Det sexkantiga kaklet förekommer i många kristaller. I tre dimensioner är den ansiktscentrerade kubiska och sexkantiga förpackningen vanliga kristallstrukturer. De är de tätaste sfärförpackningarna i tre dimensioner. Strukturellt består de av parallella lager av sexkantiga plattor, liknande grafitstrukturen. De skiljer sig åt på det sätt som lagren är förskjutna från varandra, med den ansiktscentrerade kubiken som är den mer regelbundna av de två. Rent koppar , bland annat material, bildar ett ansiktscentrerat kubikgitter.
Enhetliga färgningar
Det finns tre distinkta enhetliga färgningar av en sexkantig kakel, alla genererade från reflekterande symmetri hos Wythoff -konstruktioner . ( H , k ) representerar den periodiska upprepningen av en färgad kakel och räknar sexkantiga avstånd som h först och k andra. Samma räkning används i Goldberg -polyedern , med notationen { p +, 3} h , k , och kan tillämpas på hyperboliska plattor för p > 6.
| k-uniform | 1-uniform | 2-uniform | 3-uniform | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetri | p6m, (*632) | p3m1, (*333) | p6m, (*632) | p6, (632) | |||
| Bild |
|
|
|
|
|
|
|
| Färger | 1 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 7 |
| (h, k) | (1,0) | (1,1) | (2,0) | (2,1) | |||
| Schläfli | {6,3} | t {3,6} | t {3 [3] } | ||||
| Wythoff | 3 | 6 2 | 2 6 | 3 | 3 3 3 | | ||||
| Coxeter |
|
|
|
||||
| Conway | H | tΔ | cH = t6daH | wH = t6dsH | |||
Trefärgsplattorna är en tessellation som genereras av order-3- permutoeder .
Avfasad sexkantig kakel
En fasad sexkantig kakel som ersätter kanter med nya sexkantar och förvandlas till en annan sexkantig kakel. I gränsen försvinner de ursprungliga ansiktena, och de nya hexagonerna urartar till romber, och det blir en rombisk kakel .
| Sexkantar (H) | Avfasade hexagoner (cH) | Rhombi (daH) | ||
|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
Relaterade kakel
Sexkantarna kan dissekeras i uppsättningar med 6 trianglar. Denna process leder till två 2-enhetliga kakel och det trekantiga kaklet :
| Regelbunden kakling | Dissektion | 2-enhetliga kakel | Regelbunden kakling | |
|---|---|---|---|---|
 Original |
 
|
 1/3 dissekerade |
 2/3 dissekerade |
 helt dissekerad |
| Vanlig kakel | Insats | 2-Uniform Duals | Vanlig kakel | |
_6.6.6.png) Original |
|
_3.3.3.3.3.3;_3.3.6.6.png) 1/3 infälld |
_36;_34.6_1.png) 2/3 infälld |
_3.3.3.3.3.3_Soccer_Variant.png) helt infälld |
Det sexkantiga kaklet kan betraktas som en långsträckt rombkakel , där varje hörn av den rombiska kaklingen sträcks ut till en ny kant. Detta liknar förhållandet mellan den rombiska dodekaedronen och de rombo-sexkantiga dodekaederns tessellationer i 3 dimensioner.
 Rombisk kakel |
Sexkantig kakel |
 Stängsel använder denna relation |
Det är också möjligt att dela upp prototilerna för vissa sexkantiga plattor med två, tre, fyra eller nio lika femkantar:
 Pentagonal kakelplattor typ 1 med överlägg av vanliga sexkantar (var och en består av två femkanter). |
 femkantig kakelplattform typ 3 med överlägg av vanliga sexkantar (var och en består av tre femkanter). |
 Pentagonal kakelplattor typ 4 med överlägg av halvregelformade sexkantar (var och en består av 4 femkanter). |
 Pentagonal kakel typ 3 med överlägg i två storlekar av vanliga sexkantar (omfattande 3 respektive 9 femkanter). |
Symmetri mutationer
Denna kakel är topologiskt relaterad som en del av sekvensen av vanliga kakelplattor med sexkantiga ytor, med början på den sexkantiga kakelplattan, med Schläfli -symbolen {6, n} och Coxeter -diagram 
, utvecklas till oändligheten.
| * n 62 symmetri mutation av vanliga kakel: {6, n } | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sfärisk | Euklidisk | Hyperboliska plattor | ||||||
 {6,2} |
{6,3} |
 {6,4} |
 {6,5} |
 {6,6} |
 {6,7} |
 {6,8} |
... |
 {6, ∞} |
Denna sida vid sida är topologiskt relaterad till vanliga polyeder med toppunkt figur n 3 , som en del av sekvensen som fortsätter in i det hyperboliska planet .
| * n 32 symmetri mutation av vanliga plattor: { n , 3} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sfärisk | Euklidisk | Kompakt hyperb. | Paraco. | Icke -kompakt hyperbolisk | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | {12i, 3} | {9i, 3} | {6i, 3} | {3i, 3} |
Det är på liknande sätt relaterat till de enhetliga stympade polyedrarna med toppunkt figur n .6.6.
| * n 32 symmetri mutation av stympade plattor: n .6.6 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sym. * n 42 [n, 3] |
Sfärisk | Euklid. | Kompakt | Parac. | Icke -kompakt hyperbolisk | |||||||
| *232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3] ... |
*∞32 [∞, 3] |
[12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
| Avkortade figurer |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Konfig. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
| n-kis- figurer |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
| Konfig. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 | |
Denna kakel är också en del av en sekvens av stympad rombisk polyeder och kakel med [n, 3] Coxeter -gruppsymmetri. Kuben kan ses som en rombisk hexahedron där romberna är rutor. De stympade formerna har regelbundna n-goner vid de stympade hörnen och oregelbundna sexkantiga ytor.
| Symmetri mutationer av dubbla kvasiregulära plattor: V (3.n) 2 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *n32 | Sfärisk | Euklidisk | Hyperbolisk | ||||||||
| *332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832 ... | *∞32 | |||||
| Kakel |
|
|
|
|
|
|
|
||||
| Konf. | V (3.3) 2 | V (3.4) 2 | V (3.5) 2 | V (3.6) 2 | V (3.7) 2 | V (3.8) 2 | V (3.∞) 2 | ||||
Wythoff -konstruktioner från sexkantiga och triangulära plattor
Liksom den enhetliga polyedern finns det åtta enhetliga plattor som kan baseras på det vanliga sexkantiga kaklet (eller det dubbla triangulära kaklet ).
Rita brickorna färgade som röda på originalytorna, gula vid de ursprungliga hörnen och blå längs originalkanterna, det finns 8 former, 7 som är topologiskt distinkta. (Det stympade triangulära kaklet är topologiskt identiskt med det sexkantiga kaklet.)
| Uniform sexkantiga/triangulära plattor | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Grundläggande domäner |
Symmetri : [6,3], (*632) | [6,3] + , (632) | ||||||
| {6,3} | t {6,3} | r {6,3} | t {3,6} | {3,6} | rr {6,3} | tr {6,3} | sr {6,3} | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Konfig. | 6 3 | 3.12.12 | (6.3) 2 | 6.6.6 | 3 6 | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 |
Monohedrala konvexa sexkantiga plattor
Det finns 3 typer av monohedrala konvexa sexkantiga plattor. De är alla isohedrala . Var och en har parametriska variationer inom en fast symmetri. Typ 2 innehåller glidreflektioner och är 2-isohedral som håller kirala par distinkta.
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| p2, 2222 | pgg, 22 × | p2, 2222 | p3, 333 |
 |
 |
 |
|
 b = e B+C+D = 360 ° |
 b = e, d = f B+C+E = 360 ° |
 a = f, b = c, d = e B = D = F = 120 ° |
|
 2-kakel gitter |
 4-kakel gitter |
 3-kakel gitter |
|
Topologiskt likvärdiga kakel
Sexkantiga plattor kan göras med samma {6,3} topologi som det vanliga kaklet (3 hexagoner runt varje hörn). Med isohedrala ytor finns det 13 varianter. Symmetri ges förutsätter att alla ansikten har samma färg. Färgerna representerar gitterpositionerna. Enfärgade (1-brickor) galler är parallellogon hexagoner.
| pg (× ×) | p2 (2222) | p3 (333) | pmg (22*) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
| pgg (22 ×) | p31m (3*3) | p2 (2222) | cmm (2*22) | p6m (*632) | ||
|
|
|
|
|
|
|
Andra isohedris-kaklade topologiska sexkantiga plattor ses som fyrkantiga och femkantiga som inte är kant-till-kant, utan tolkas som kolinjära angränsande kanter:
| pmg (22*) | pgg (22 ×) | cmm (2*22) | p2 (2222) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
 Parallellogram |
 Trapezoid |
 Parallellogram |
 Rektangel |
 Parallellogram |
 Rektangel |
 Rektangel |
| p2 (2222) | pgg (22 ×) | p3 (333) |
|---|---|---|
|
|
|
De 2-enhetliga och 3-enhetliga tessellationerna har en rotationsfrihetsgrad som snedvrider 2/3 av hexagonerna, inklusive ett kolinjärt fall som också kan ses som en kant-till-kant-plattning av hexagoner och större trianglar.
Det kan också förvrängas till ett kiralt 4-färgat vävt mönster i tre riktningar, vilket förvränger några hexagoner till parallellogram . Det vävda mönstret med 2 färgade ytor har rotationssymmetri 632 (p6) . Ett chevronmönster har pmg (22*) symmetri, som sänks till p1 (°) med 3 eller 4 färgade brickor.
| Regelbunden | Gyrated | Regelbunden | Vävd | Sparre |
|---|---|---|---|---|
| p6m, (*632) | p6, (632) | p6m (*632) | p6 (632) | p1 (°) |
|
|
|
|
|
|
| p3m1, (*333) | p3, (333) | p6m (*632) | p2 (2222) | p1 (°) |
|
|
|
|
|
|
Cirkelpackning
Det sexkantiga kaklet kan användas som en cirkelförpackning och placerar cirklar med samma diameter i mitten av varje punkt. Varje cirkel är i kontakt med 3 andra cirklar i förpackningen ( kyssnummer ). Spalten inuti varje sexkant möjliggör en cirkel, vilket skapar den tätaste packningen från den triangulära plattan , med varje cirkelkontakt med maximalt 6 cirklar.
Relaterade vanliga komplexa apeirogoner
Det finns två vanliga komplexa apeirogoner som delar hörnen på den sexkantiga plattan. Vanliga komplexa apeirogoner har hörn och kanter, där kanter kan innehålla 2 eller fler hörn. Regelbundna apeirogoner p { q } r begränsas av: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Kanter har p -hörn och hörnfigurer är r -gonala.
Den första är gjord av 2-kanter, tre runt varje hörn, andra har sexkantiga kanter, tre runt varje hörn. En tredje komplex apeirogon, som delar samma hörn, är kvasiregulär, som alternerar 2-kanter och 6-kanter.
|
|
|
2 {12} 3 eller  
|
6 {4} 3 eller  
|
|
|---|
Se även
- Sexkantigt galler
- Sexkantig prismatisk honungskaka
- Plattor av vanliga polygoner
- Lista över enhetliga plattor
- Lista över vanliga polytoper
- Sexkantig kakelfärgad honungskaka
- Hex karta brädspel design
Referenser
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3: e upplagan, 1973), Dover-upplagan, ISBN 0-486-61480-8 sid. 296, tabell II: Vanliga honungskakor
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Kakel och mönster . New York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Kapitel 2.1: Regelbundna och enhetliga kakel , s. 58–65)
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . Dover Publications, Inc. sid. 35. ISBN 0-486-23729-X.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
externa länkar
- DNA | urlname = HexagonalGrid | title = Hexagonal Grid}}
- Klitzing, Richard. "2D euklidiska plattor o3o6x - hexat - O3" .
| Plats | Familj | / / / | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| E 2 | Uniform kakel | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
| E 3 | Uniform konvex honungskaka | {3 [4] } | 5 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
| E 4 | Uniform 4-honungskaka | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Honeycomb med 24 celler |
| E 5 | Uniform 5-honungskaka | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
| E 6 | Uniform 6-honungskaka | {3 [7] } | 5 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
| E 7 | Uniform 7-honungskaka | {3 [8] } | 8 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
| E 8 | Uniform 8-honungskaka | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
| E 9 | Uniform 9-honungskaka | {3 [10] } | 8 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
| E 10 | Uniform 10-honungskaka | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
| E n -1 | Uniform ( n -1) - honungskaka | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |
