Vertex konfiguration - Vertex configuration

Icosidodecahedron.png
Icosidodecahedron 		Icosidodecahedron vertfig labeled.png
Vertex-figur repræsenteret som
3.5.3.5 eller (3.5) 2

I geometri er en toppunktkonfiguration en stenografisk notation til at repræsentere toppunktfiguren af en polyhedron eller flisebelægning som ansigtssekvensen omkring et toppunkt. For ensartet polyhedra er der kun en toppunkttype, og derfor definerer toppunktkonfigurationen polyhedronet fuldt ud. ( Chiral polyhedra findes i spejlbilledpar med samme toppunktkonfiguration.)

En toppunktkonfiguration er angivet som en række af tal, der repræsenterer antallet af sider af ansigterne, der går rundt om toppunktet. Betegnelsen " abc " beskriver et toppunkt, der har 3 ansigter omkring sig, ansigter med a- , b- og c- sider.

For eksempel angiver "3.5.3.5" et toppunkt, der hører til 4 ansigter, skiftevis trekanter og femkanter . Denne toppunktkonfiguration definerer den vertex-transitive icosidodecahedron . Notationen er cyklisk og svarer derfor til forskellige udgangspunkter, så 3.5.3.5 er den samme som 5.3.5.3. Rækkefølgen er vigtig, så 3.3.5.5 er forskellig fra 3.5.3.5. (Den første har to trekanter efterfulgt af to femkanter.) Gentagne elementer kan samles som eksponenter, så dette eksempel er også repræsenteret som (3.5) 2 .

Det er forskelligt blevet kaldt en vertex beskrivelse , vertex type , vertex symbol , vertex arrangement , vertex mønster , ansigt-vektor . Det kaldes også et Cundy og Rollett-symbol for dets anvendelse til arkimediske faste stoffer i deres 1952-bog Mathematical Models .

Vertex tal

En toppunktkonfiguration kan også repræsenteres som en polygonal toppunktfigur, der viser ansigterne omkring toppunktet. Denne toppunktfigur har en 3-dimensionel struktur, da ansigterne ikke er i samme plan for polyedre, men for vertexuniform polyhedre er alle de nærliggende hjørner i samme plan, og så dette planfremspring kan bruges til visuelt at repræsentere toppunktkonfigurationen .

Variationer og anvendelser

Regelmæssige netværksværdier, { p , q } = p q
Polyiamond-3-1.svg
{3,3} = 3 3
Defekt 180 ° 		Polyiamond-4-1.svg
{3,4} = 3 4
Defekt 120 ° 		Polyiamond-5-4.svg
{3,5} = 3 5
Defekt 60 ° 		Polyiamond-6-11.svg
{3,6} =

3 6
Defekt 0 °

TrominoV.jpg
{4,3}
Defekt 90 ° 		Firkantet flisebelægning vertfig.png
{4,4} =

4 4
Defekt 0 °

Pentagon net.png
{5,3} = 5 3
Defekt 36 ° 		Sekskantet flisebelægning vertfig.png
{6,3} =

6 3
Defekt 0 °

Et toppunkt har brug for mindst 3 ansigter og en vinkelfejl .
En 0 ° vinkelfejl fylder det euklidiske plan med en regelmæssig flisebelægning.
Ved Descartes 'sætning er antallet af hjørner 720 ° / defekt (4π radianer / defekt ).

Forskellige notationer bruges, nogle gange med et komma (,) og nogle gange et punkt (.) Separator. Periodeoperatøren er nyttig, fordi det ligner et produkt og en eksponentnotation kan bruges. For eksempel er 3.5.3.5 undertiden skrevet som (3.5) 2 .

Notationen kan også betragtes som en ekspansiv form for det enkle Schläfli-symbol for almindelig polyhedra . Schläfli-notationen { p , q } betyder q p -gons omkring hvert toppunkt. Så { p , q } kan skrives som ppp .. ( q gange) eller p q . For eksempel er en icosahedron {3,5} = 3.3.3.3.3 eller 3 5 .

Denne betegnelse gælder for polygonale fliser samt polyeder. En plan toppunktkonfiguration betegner en ensartet flisebelægning ligesom en ikke-plan toppunktkonfiguration betegner en ensartet polyhedron.

Notationen er tvetydig for chirale former. For eksempel har snub-terningen med og mod urets former, der er identiske på tværs af spejlbilleder. Begge har en 3.3.3.3.4 toppunktkonfiguration.

Stjernepolygoner

Notationen gælder også for ikke-konvekse regelmæssige ansigter, stjernepolygoner . For eksempel har et pentagram symbolet {5/2}, hvilket betyder, at det har 5 sider, der går rundt om midten to gange.

For eksempel er der 4 regelmæssige stjernepolyeder med regelmæssige polygon- eller stjernepolygon-toppunktfigurer. Den lille stellede dodecahedron har Schläfli-symbolet på {5 / 2,5}, der udvides til en eksplicit toppunktkonfiguration 5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2 eller kombineret som (5/2) 5 . Den store stjernede dodecahedron , {5 / 2,3}, har en trekantet toppunktfigur og konfiguration (5 / 2.5 / 2.5 / 2) eller (5/2) 3 . Den store dodecahedron , {5,5 / 2}, har en pentagrammisk toppunktfigur med toppunktkonfiguration er (5.5.5.5.5) / 2 eller (5 5 ) / 2. En stor icosahedron , {3,5 / 2}, har også en pentagrammisk toppunktfigur med toppunktkonfiguration (3.3.3.3.3) / 2 eller (3 5 ) / 2.

Lille stelleret dodecahedron vertfig.png Stor stelleret dodecahedron vertfig.png Stor snub icosidodecahedron vertfig.png Stor retrosnub icosidodecahedron vertfig.png Lille retrosnub icosicosidodecahedron vertfig.png
{5 / 2,5} = (5/2) 5 {5 / 2,3} = (5/2) 3 3 4,5 / 2 3 4 .5 / 3 (3 4,5 / 2) / 2
Stor dodecahedron vertfig.png Stor icosahedron vertfig.svg DU57 facetter.png DU72 facetter.png DU74 facetter.png
{5,5 / 2} = (5 5 ) / 2 {3,5 / 2} = (3 5 ) / 2 V.3 4 .5 / 2 V3 4 .5 / 3 V (3 4,5 / 2) / 2

Inverterede polygoner

Ansigter på en toppunktfigur anses for at udvikle sig i en retning. Nogle ensartede polyedre har toppunktfigurer med inversioner, hvor ansigterne skrider fremad. En vertex-figur repræsenterer dette i stjernepolygonnotationen af sider p / q således at p <2 q , hvor p er antallet af sider og q antallet af drejninger omkring en cirkel. For eksempel betyder "3/2" en trekant, der har hjørner, der går rundt to gange, hvilket er det samme som bagud en gang. Tilsvarende er "5/3" et baglæns pentagram 5/2.

Alle ensartede toppunktkonfigurationer af regelmæssige konvekse polygoner

Se også: Archimedean_solid § Klassificering , flisebelægning med regelmæssige polygoner § Kombinationer af regelmæssige polygoner, der kan mødes ved et toppunkt , og ensartet flisebelægning § Udvidede lister over ensartede fliser

Semiregulære polyedre har toppunktkonfigurationer med positiv vinkelfejl .

BEMÆRK: Hovedpunktet kan repræsentere en regelmæssig eller semiregulær flisebelægning på flyet, hvis dens mangel er nul. Det kan repræsentere en flisebelægning af det hyperbolske plan, hvis dens mangel er negativ.

For ensartet polyhedra kan vinkeldefekten bruges til at beregne antallet af hjørner. Descartes 'sætning siger, at alle vinkelfejl i en topologisk sfære skal summe til 4 π  radianer eller 720 grader.

Da ensartede polyeder har alle identiske hjørner, giver denne relation os mulighed for at beregne antallet af hjørner, som er 4 π / defekt eller 720 / defekt .

Eksempel: En afkortet terning 3.8.8 har en vinkelfejl på 30 grader. Derfor har den 720/30 = 24 hjørner.

Især følger det, at { a , b } har 4 / (2 - b (1 - 2 / a )) hjørner.

Hver opregnet toppunktkonfiguration definerer potentielt entydigt en semiregulær polyhedron. Imidlertid er ikke alle konfigurationer mulige.

Topologiske krav begrænser eksistensen. Specifikt indebærer pqr, at en p -gon er omgivet af alternerende q -gons og r -gons, så enten er p lige eller q er lig med r . Tilsvarende er q lige eller p er lig med r , og r er lige eller p er lig med q . Derfor er potentielt mulige tredobler 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (for ethvert n > 2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Faktisk viser alle disse konfigurationer med tre ansigter, der mødes ved hvert toppunkt, at eksistere.

Antallet i parentes er antallet af hjørner, bestemt af vinkelfejlen.

Tredobler
Firdobler
Femdobbelte
Sekskuber

Ansigtskonfiguration

Image
Rhombisk dodecahedron

De ensartede dobbelte eller catalanske faste stoffer , herunder bipyramiderne og trapezohedrene , er lodret-regelmæssige ( ansigtstransitive ), og de kan derfor identificeres ved en lignende notation, der undertiden kaldes ansigtskonfiguration . Cundy og Rollett foranstillet disse dobbelte symboler med en V . I modsætning hertil bruger Fliser og mønstre firkantede parenteser omkring symbolet for isohedriske fliser.

Denne notation repræsenterer et sekventielt antal af ansigter, der findes ved hvert toppunkt omkring et ansigt . For eksempel repræsenterer V3.4.3.4 eller V (3.4) 2 den rhombiske dodecahedron, som er ansigtstransitiv: hvert ansigt er en rombe , og skiftende hjørner af romben indeholder 3 eller 4 ansigter hver.

Bemærkninger

Referencer

  • Cundy, H. og Rollett, A., Mathematical Models (1952), (3. udgave, 1989, Stradbroke, England: Tarquin Pub.), 3.7 The Archimedean Polyhedra . Pp. 101–115, s. 118–119 Tabel I, Nets of Archimedean Duals, V. a . b . c ... som lodret-regelmæssige symboler.
  • Peter Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press (1977) De arkimediske faste stoffer. Pp. 156–167.
  • Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . Dover Publications, Inc. ISBN   0-486-23729-X . Bruger Cundy-Rollett symbol.
  • Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Fliser og mønstre . WH Freeman and Company. ISBN   0-7167-1193-1 . Pp. 58–64, Flisebelægning af regelmæssige polygoner abc ... (Flisebelægning efter regelmæssige polygoner og stjernepolygoner) s. 95–97, 176, 283, 614–620, monohedral flisebelægningssymbol [v 1 .v 2 . ... .v r ]. s. 632–642 hule fliser.
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN   978-1-56881-220-5 (s. 289 Vertex-figurer bruger kommaseparator til arkimediske faste stoffer og fliser).

eksterne links