Standard Borel-plads - Standard Borel space
I matematik , en standard Borel rum er Borel rum er forbundet til et polsk rum . Ved at diskontere borelrum af diskrete polske rum er der op til isomorfisme af målbare rum kun et standardborelrum.
Formel definition
Et målbart rum ( X , Σ) siges at være "standard Borel", hvis der findes en metrik på X, der gør det til et komplet adskilleligt metrisk rum på en sådan måde, at Σ derefter er Borel σ-algebra . Standard Borel-rum har flere nyttige egenskaber, der ikke holder for generelle målbare rum.
Ejendomme
- Hvis ( X , Σ) og ( Y , Τ) er standard Borel, er en hvilken som helst bijektiv målbar kortlægning en isomorfisme (dvs. den omvendte kortlægning er også målbar). Dette følger af Souslins sætning , da et sæt, der er både analytisk og coanalytisk , nødvendigvis er Borel.
- Hvis ( X , Σ) og ( Y , Τ) er standard Borel mellemrum og derefter f er målelig hvis og kun hvis grafen for f er Borel.
- Produktet og den direkte forening af en tællbar familie af standard Borel-rum er standard.
- Hvert komplet sandsynlighedsmål på et standard Borel-rum gør det til et standard sandsynlighedsrum .
Kuratowskis sætning
Sætning . Lad X være et polsk rum , det vil sige et topologisk rum, således at der er en metrisk d på X, der definerer topologien for X, og som gør X til et fuldstændigt adskilleligt metrisk rum. Derefter er X som et borelum Borel isomorft til et af (1) R , (2) Z eller (3) et endeligt rum. (Dette resultat minder om Maharams sætning .)
Det følger heraf, at et standardborelrum er karakteriseret op til isomorfisme ved dets kardinalitet, og at ethvert utalligt standardborelrum har kardinaliteten i kontinuumet.
Borelisomorfier på standardborelrum er analoge med homeomorfier på topologiske rum : begge er vedektive og lukkede under sammensætning, og en homeomorfisme og dens omvendte er begge kontinuerlige , i stedet for at begge kun er målbare med Borel.
