Forbindelse (vektorbundt) - Connection (vector bundle)

I matematik , og især differential geometri og målingsteori , er en forbindelse på et fiberbundt en enhed, der definerer en forestilling om paralleltransport på bundtet; det vil sige en måde at "forbinde" eller identificere fibre over nærliggende punkter. Det mest almindelige tilfælde er en lineær forbindelse på et vektorbundt , for hvilket begrebet parallel transport skal være lineært . En lineær forbindelse er ækvivalent specificeret af et kovariant derivat , en operatør, der adskiller sektioner af bundtet langs tangentretninger i basismanifolden, på en sådan måde, at parallelle sektioner har derivat nul. Lineære forbindelser generaliserer, til vilkårlige vektorbundter, Levi-Civita-forbindelsen på tangentbundtet i et pseudo-Riemannian manifold , hvilket giver en standard måde at differentiere vektorfelter på. Ikke -lineære forbindelser generaliserer dette koncept til bundter, hvis fibre ikke nødvendigvis er lineære.

Lineære forbindelser kaldes også Koszul-forbindelser efter Jean-Louis Koszul , der gav en algebraisk ramme for at beskrive dem ( Koszul 1950 ).

Denne artikel definerer forbindelsen på et vektorgruppe ved hjælp af en fælles matematisk notation, der af-understreger koordinater. Imidlertid bruges andre notationer også regelmæssigt: i generel relativitet skrives vektorbundtberegninger normalt ved hjælp af indekserede tensorer; i målingsteori understreges endomorfierne af vektorrumsfibrene. De forskellige betegnelser er ækvivalente, som diskuteret i artiklen om metriske forbindelser (kommentarerne der gælder for alle vektorbundter).

Motivering

Et afsnit af et vektorbundt generaliserer forestillingen om en funktion på en manifold, i den forstand, at en standardvektorværdi-funktion kan ses som en sektion af det trivielle vektorgruppe . Det er derfor naturligt at spørge, om det er muligt at differentiere et afsnit i analogi med, hvordan man differentierer et vektorfelt. Når vektorbundtet er tangentbundtet til en pseudo-Riemannian manifold , besvares dette spørgsmål naturligt af Levi-Civita-forbindelsen , som er den unikke torsionsfri forbindelse , der er kompatibel med den pseudo-Riemanniske metrik på tangentbundtet. Generelt er der ikke et sådant naturligt valg af en måde at differentiere sektioner på. ${\ displaystyle f: M \ til \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^{n} \ til M}$

Et afsnit af et bundt kan ses som en generaliseret funktion fra basen ind i fibrene i vektorbundtet. Dette kan visualiseres ved hjælp af sektionen, som i figuren ovenfor.

Modelsagen er at differentiere et -komponentvektorfelt på det euklidiske rum . I denne indstilling kan derivatet på et punkt i retningen simpelthen defineres af ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle dX}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle dX (v) (x) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {X (x+tv) -X (x)} {t}}.}$

Bemærk, at vi for hver har defineret en ny vektor, så derivatet i retning af har givet et nyt -komponentvektorfelt på . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle dX (v) (x) \ in \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Når man går over til en sektion af et vektorgruppe på en manifold , støder man på to centrale spørgsmål med denne definition. For det første, da manifolden ikke har nogen lineær struktur, giver udtrykket ingen mening om . I stedet tager man en sådan vej og beregner ${\ displaystyle X \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x+tv}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ gamma: (-1,1) \ til M}$${\ displaystyle \ gamma (0) = x, \ gamma '(0) = v}$

${\ displaystyle dX (v) (x) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {X (\ gamma (t))-X (\ gamma (0))} {t}}.}$

Dette giver dog stadig ikke mening, fordi er en vektor i fiberen over , og fiberen over , som er et andet vektorrum. Dette betyder, at der ikke er nogen måde at give mening om subtraktionen af ​​disse to udtryk, der ligger i forskellige vektorrum. ${\ displaystyle X (\ gamma (t)) \ i E _ {\ gamma (t)}}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$${\ displaystyle X (\ gamma (0)) = X (x) \ i E_ {x}}$${\ displaystyle x}$

Målet er at løse ovenstående problem ved at finde en måde at differentiere sektioner af et vektorbundt i retning af vektorfelter og få et andet afsnit af vektorbundtet tilbage. Der er tre mulige løsninger på dette problem. Alle tre kræver, at man vælger, hvordan man adskiller sektioner, og kun i særlige indstillinger som tangentbundtet på en Riemannian manifold er der et naturligt sådant valg.

1. ( Parallel transport ) Da problemet er, at vektorer og ligger i forskellige fibre af , er en løsning at definere en isomorfisme for alle tæt på nul. Ved hjælp af denne isomorfisme kan man transportere til fiberen og derefter tage forskellen. Eksplicit,${\ displaystyle X (\ gamma (t))}$${\ displaystyle X (x)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle P_ {t}^{\ gamma}: E _ {\ gamma (t)} \ til E_ {x}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X (\ gamma (t))}$${\ displaystyle E_ {x}}$
   $${\ displaystyle dX (v) (x) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {P_ {t}^{\ gamma} X (\ gamma (t))-X (\ gamma (0)) } {t}}.}$$

   
   Dette er paralleltransporten , og valget af isomorfismer for alle kurver i kan tages som definitionen på, hvordan man adskiller et afsnit.${\ displaystyle P_ {t}^{\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$
2. ( Ehresmann -forbindelse ) Brug forestillingen om differential på et kort over glatte manifolder. Et snit er pr. Definition et glat kort, således at . Dette har en differential , med egenskaben for et vektorfelt . Dog vil man i stedet gerne have været en sektion af sig selv. Faktisk er det lodrette bundt tilbagetrækning af sammen med den samme fiber som . Hvis man vælger en projektion af vektorbundter, ville komponering med denne projektion lande igen . Dette kaldes en lineær Ehresmann -forbindelse på vektorbundtet . Der er mange valg af projektionsoperatører, så generelt er der mange forskellige måder at differentiere et vektorfelt på.${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle s: M \ til E}$${\ displaystyle \ pi \ circ s = \ operatorname {Id}}$${\ displaystyle ds: TM \ til TE}$${\ displaystyle ds (X) \ in \ Gamma (TE)}$${\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle ds (X)}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle V \ delsæt TE}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle \ nu: TE \ til V}$${\ displaystyle ds (X)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle \ nu: TE \ til V}$
3. ( Kovariant derivat ) Den tredje løsning er at abstrahere de egenskaber, som et derivat af et afsnit af et vektorgruppe skal have, og tage dette som en aksiomatisk definition. Dette er forestillingen om en forbindelse eller kovariant derivat beskrevet i denne artikel. De to andre tilgange ovenfor kan begge vise sig at svare til denne aksiomatiske definition af differentiering.

Formel definition

Lad være et glat vektorbundt over en differentierbar manifold . Betegn rummet for glatte dele af by . En forbindelse på er et - lineært kort (eller når vektorbundtet er et komplekst vektorgruppe , et -linearet kort) ${\ displaystyle E \ til M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ nabla: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (T^{*} M \ otimes E)}$

sådan, at Leibniz -reglen

${\ displaystyle \ nabla (fs) = df \ otimes s+f \ nabla s}$

holder til alle glatte funktioner på og alle glatte sektioner af . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$

Hvis er et tangentvektorfelt på (dvs. en sektion af tangentbundtet ) kan man definere et kovariantderivat langs${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle TM}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X}: \ Gamma (E) \ til \ Gamma (E)}$

ordregivende med den resulterende covariant indeks i forbindelse: . Det kovariante derivat opfylder: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} (s) = (\ nabla (s)) (X)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ nabla \! _ {X} (s_ {1} {+} s_ {2}) \ = \ \ nabla \! _ {X} s_ {1}+\ nabla \ ! _ {X} s_ {2} \\ & \ nabla \! _ {(X_ {1} {+} X_ {2})} s \ = \ \ nabla \! _ {X_ {1}} s+\ nabla \! _ {X_ {2}} s \\ & \ nabla \! _ {X} (fs) \ = \ f \, \ nabla \! _ {X} s+X (f) s \\ & \ nabla \! _ {fX} s \ = \ f \, \ nabla \! _ {X} s. \ end {align}}}$

Omvendt definerer enhver operatør, der opfylder ovenstående egenskaber, en forbindelse til, og en forbindelse i denne forstand er også kendt som et kovariantderivat på . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Fremkaldte forbindelser

I betragtning af et vektorbundt er der mange tilknyttede bundter, hvortil der kan konstrueres, for eksempel dobbeltvektorbundtet , tensoreffekter , symmetriske og antisymmetriske tensorkræfter og de direkte summer . En forbindelse på fremkalder en forbindelse på en af ​​disse tilknyttede bundter. Letheden ved at passere mellem forbindelser på tilhørende bundter fanges mere elegant af teorien om hovedbundtforbindelser , men her præsenterer vi nogle af de grundlæggende inducerede forbindelser. ${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle E^{\ otimes k}}$${\ displaystyle S ^{k} E, \ Lambda ^{k} E}$${\ displaystyle E^{\ oplus k}}$${\ displaystyle E}$

Dobbelt forbindelse

I betragtning af en forbindelse til defineres den inducerede dobbelte forbindelse til implicit af ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ nabla ^{*}}$${\ displaystyle E^{*}}$

${\ displaystyle d (\ langle \ xi, s \ rangle) (X) = \ langle \ nabla _ {X}^{*} \ xi, s \ rangle +\ langle \ xi, \ nabla _ {X} s \ rangle.}$

Her er et glat vektorfelt, er et snit af og et snit af dobbeltbundtet og den naturlige parring mellem et vektorrum og dets dual (forekommer på hver fiber mellem og ). Bemærk, at denne definition i det væsentlige håndhæver forbindelsen, så en naturlig produktregel opfyldes for parring . ${\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ xi \ in \ Gamma (E^{*})}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle \ nabla ^{*}}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Tensor produktforbindelse

Givet forbindelser på to vektorbundter , definer tensor -produktforbindelsen med formlen ${\ displaystyle \ nabla ^{E}, \ nabla ^{F}}$${\ displaystyle E, F \ til M}$

${\ displaystyle (\ nabla ^{E} \ otimes \ nabla ^{F}) _ {X} (s \ otimes t) = \ nabla _ {X} ^{E} (s) \ otimes t+s \ otimes \ nabla _ {X}^{F} (t).}$

Her har vi . Bemærk igen, at dette er den naturlige måde at kombinere for at håndhæve produktreglen for tensor -produktforbindelsen. Ved gentagen anvendelse af den ovennævnte konstruktion, der anvendes på tensorproduktet , opnår man også tensoreffektforbindelsen på for enhver og vektorgruppe . ${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E), t \ in \ Gamma (F), X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle \ nabla ^{E}, \ nabla ^{F}}$${\ displaystyle E^{\ otimes k} = (E^{\ otimes (k-1)}) \ otimes E}$${\ displaystyle E^{\ otimes k}}$${\ displaystyle k \ geq 1}$${\ displaystyle E}$

Direkte sumforbindelse

Den direkte sumforbindelse er defineret af

${\ displaystyle (\ nabla ^{E} \ oplus \ nabla ^{F}) _ {X} (s \ oplus t) = \ nabla _ {X} ^{E} (s) \ oplus \ nabla _ {X }^{F} (t),}$

hvor . ${\ displaystyle s \ oplus t \ in \ Gamma (E \ oplus F)}$

Symmetriske og udvendige strømforbindelser

Da den symmetriske effekt og ydre effekt af et vektorbundt naturligt kan ses som underrum af tensoreffekten , gælder definitionen af ​​tensorproduktforbindelsen på en ligetil måde for denne indstilling. Faktisk eftersom de symmetriske og udvendige algebraer sidde inde i tensor algebra som direkte summands, og forbindelsesdata henseender denne naturlige opdeling, kan man blot begrænse disse summands. Definer eksplicit den symmetriske produktforbindelse ved ${\ displaystyle S^{k} E, \ Lambda^{k} E \ delsæt E^{\ otimes k}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X}^{\ odot 2} (s \ cdot t) = \ nabla _ {X} s \ cdot t+s \ cdot \ nabla _ {X} t}$

og ekstern produktforbindelse ved

${\ displaystyle \ nabla _ {X}^{\ kile 2} (s \ kile t) = \ nabla _ {X} s \ kile t+s \ kile \ nabla _ {X} t}$

for alle . Gentagne applikationer af disse produkter giver induceret symmetrisk strøm og udvendige strømtilslutninger på og henholdsvis. ${\ displaystyle s, t \ in \ Gamma (E), X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle S^{k} E}$${\ displaystyle \ Lambda ^{k} E}$

Endomorfisme forbindelse

Endelig kan man definere den inducerede forbindelse på vektorbundtet af endomorfier , endomorfisme -forbindelsen . Dette er simpelthen tensor -produktforbindelsen for den dobbelte forbindelse til og fra . Hvis og , så sammensætningen også, gælder følgende produktregel for endomorfisme -forbindelsen: ${\ displaystyle \ nabla ^{\ operatorname {End} {E}}}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E) = E^{*} \ otimes E}$${\ displaystyle \ nabla ^{*}}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle u \ in \ Gamma (\ operatorname {End} (E))}$${\ displaystyle u (s) \ i \ Gamma (E)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} (u (s)) = \ nabla _ {X}^{\ operatorname {End} (E)} (u) (s)+u (\ nabla _ {X} (s )).}$

Ved at vende denne ligning er det muligt at definere endomorfisme -forbindelsen som den unikke forbindelse, der tilfredsstiller

${\ displaystyle \ nabla _ {X}^{\ operatorname {End} (E)} (u) (s) = \ nabla _ {X} (u (s))-u (\ nabla _ {X} (s ))}}$

for enhver og dermed undgå behovet for først at definere dobbeltforbindelsen og tensor -produktforbindelsen. ${\ displaystyle u, s, X}$

Enhver tilknyttet pakke

I betragtning af et vektorbundt af rang og enhver repræsentation i en lineær gruppe er der en induceret forbindelse på det tilhørende vektorgruppe . Denne teori er mest rammende fanget af at passere til hovedstolen bundt forbindelse på rammen bundt af og bruge teorien om principielle bundter. Hvert af de ovennævnte eksempler kan ses som særlige tilfælde af denne konstruktion: det dobbelte bundt svarer til den inverse transpose (eller inverse adjoint) repræsentation, tensorproduktet til tensorproduktrepræsentationen, den direkte sum til den direkte sumrepræsentation, og så på. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ rho: \ mathrm {GL} (r, \ mathbb {K}) \ til G}$${\ displaystyle G \ delsæt \ mathrm {GL} (V)}$${\ displaystyle F = E \ times _ {\ rho} V}$${\ displaystyle E}$

Udvendige kovariante derivater og vektorværdier

Lad være et vektorbundt. En -værdieret differential grad er en sektion af tensor -produktpakken : ${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ bigwedge ^{r} T ^{*} M \ otimes E.}$

Pladsen i sådanne former er betegnet med

${\ displaystyle \ Omega ^{r} (E) = \ Omega ^{r} (M; E) = \ Gamma \ venstre (\ bigwedge ^{r} T ^{*} M \ otimes E \ right) = \ Omega ^{r} (M) \ otimes _ {C ^{\ infty} (M)} \ Gamma (E),}$

hvor det sidste tensorprodukt betegner tensorproduktet af moduler over ringen af glatte funktioner på . ${\ displaystyle M}$

En -værdieret 0 -formular er blot en sektion af bundtet . Det er, ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ Omega ^{0} (E) = \ Gamma (E).}$

I denne notation er en forbindelse på et lineært kort ${\ displaystyle E \ til M}$

${\ displaystyle \ nabla: \ Omega ^{0} (E) \ til \ Omega ^{1} (E).}$

En forbindelse kan derefter betragtes som en generalisering af det ydre derivat til vektorgruppe -værdiansatte former. I betragtning af en forbindelse til er der faktisk en unik måde at udvide til et eksternt kovariant derivat${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle d _ {\ nabla}: \ Omega ^{r} (E) \ til \ Omega ^{r+1} (E).}$

Dette udvendige kovariante derivat er defineret af følgende Leibniz -regel, som er specificeret på simple tensorer af formen og udvidet lineært: ${\ displaystyle \ omega \ otimes s}$

${\ displaystyle d _ {\ nabla} (\ omega \ otimes s) = d \ omega \ otimes s+(-1)^{\ deg \ omega} \ omega \ wedge \ nabla s}$

hvor så, at , er et snit, og betegner -formen med værdier i defineret ved at kile med den enformede del af . Bemærk, at for -værdierede 0 -formularer gendanner dette den normale Leibniz -regel for forbindelsen . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^{r} (M)}$${\ displaystyle \ deg \ omega = r}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle \ omega \ wedge \ nabla s}$${\ displaystyle r+1}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ nabla s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$

I modsætning til det almindelige udvendige derivat har man generelt . Faktisk er det direkte relateret til krumningen af ​​forbindelsen (se nedenfor ). ${\ displaystyle d _ {\ nabla}^{2} \ neq 0}$${\ displaystyle d _ {\ nabla}^{2}}$${\ displaystyle \ nabla}$

Affinere egenskaberne af forbindelsessættet

Hver vektorgruppe over en mangfoldighed indrømmer en forbindelse, som kan bevises ved hjælp af enhedens skillevægge . Forbindelser er imidlertid ikke unikke. Hvis og er to forbindelser til, så er deres forskel en -linear operatør. Det er, ${\ displaystyle \ nabla _ {1}}$${\ displaystyle \ nabla _ {2}}$${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle C^{\ infty} (M)}$

${\ displaystyle (\ nabla _ {1}-\ nabla _ {2}) (fs) = f (\ nabla _ {1} s- \ nabla _ {2} s)}$

for alle glatte funktioner på og alle glatte sektioner af . Det følger heraf, at forskellen entydigt kan identificeres med en en-form på med værdier i endomorfisme-bundtet : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla _ {1}-\ nabla _ {2}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E) = E^{*} \ otimes E}$

${\ displaystyle (\ nabla _ {1}-\ nabla _ {2}) \ in \ Omega ^{1} (M; \ mathrm {End} \, E).}$

Omvendt, hvis en forbindelse er tændt og er en enformular på med værdier i , er forbindelsen tændt . ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E)}$${\ displaystyle \ nabla +A}$${\ displaystyle E}$

Med andre ord er forbindelsesrummet et affint rum for . Dette affine rum betegnes almindeligvis . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ Omega ^{1} (\ operatorname {End} (E))}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Forhold til rektor og Ehresmann forbindelser

Lade være en vektor bundt af rang , og lad være den primære ramme bundt af . Derefter fremkalder en (hoved) forbindelse på en forbindelse til . Bemærk først, at sektioner af er i en-til-en-korrespondance med højre-ækvivalente kort . (Dette kan ses ved at overveje tilbagetrækningen af over , hvilket er isomorft for det trivielle bundt .) Givet et afsnit af lad det tilsvarende ækvivalente kort være . Det kovariante derivat på gives derefter af ${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E) \ to \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E) \ til M}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E) \ times \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ psi (s)}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ psi (\ nabla _ {X} s) = X^{H} (\ psi (s))}$

hvor er den horisontale elevator af fra til . (Husk, at den vandrette løft bestemmes af forbindelsen til .) ${\ displaystyle X^{H}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$

Omvendt bestemmer en forbindelse på en forbindelse til , og disse to konstruktioner er indbyrdes omvendte. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$

En forbindelse til bestemmes også ækvivalent af en lineær Ehresmann -forbindelse på . Dette giver en metode til at konstruere den tilhørende hovedforbindelse. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

De inducerede forbindelser, der diskuteres i #Inducerede forbindelser, kan konstrueres som forbindelser på andre tilknyttede bundter til rammebundlen af ved hjælp af andre repræsentationer end den ovenfor viste standardrepræsentation. For eksempel hvis betegner standardrepræsentation af on , så er det tilknyttede bundt til repræsentationen af on den direkte sumpakke , og den inducerede forbindelse er netop det, der blev beskrevet ovenfor. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (k, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle \ rho \ oplus \ rho}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (k, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{k} \ oplus \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle E \ oplus E}$

Lokalt udtryk

Lad være en vektorgruppe af rang , og lad være en åben delmængde af hvilken trivialiserer. Derfor over sættet , indrømmer en lokal glat ramme af sektioner ${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} = (e_ {1}, \ dots, e_ {k}); \ quad e_ {i}: U \ til \ venstre.E \ højre | _ {U}.}$

Da rammen definerer et grundlag for fiberen for enhver , kan man udvide enhver lokal sektion i rammen som ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x \ i U}$${\ displaystyle s: U \ til \ venstre.E \ højre | _ {U}}$

${\ displaystyle s = \ sum _ {i = 1}^{k} s^{i} e_ {i}}$

for en samling af glatte funktioner . ${\ displaystyle s^{1}, \ dots, s^{k}: U \ til \ mathbb {R}}$

I betragtning af en forbindelse til er det muligt at udtrykke over i form af den lokale sektionsramme ved at bruge den karakteristiske produktregel for forbindelsen. For ethvert basisafsnit kan mængden udvides i den lokale ramme som ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle \ nabla (e_ {i}) \ in \ Omega ^{1} (U) \ otimes \ Gamma (U, E)}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$

${\ displaystyle \ nabla (e_ {i}) = \ sum _ {j = 1}^{k} A_ {i}^{\ j} \ otimes e_ {j},}$

hvor er en samling af lokale enformularer. Disse former kan sættes i en matrix af en-former defineret af ${\ displaystyle A_ {i} ^{\ j} \ in \ Omega ^{1} (U); \, j = 1, \ dots, k}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {1}^{\ 1} & \ cdots & A_ {k}^{\ 1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1}^{ \ k} & \ cdots & A_ {k} ^{\ k} \ end {pmatrix}} \ in \ Omega ^{1} (U, \ operatorname {End} (\ left.E \ right | _ {U}) )}}$

kaldet den lokale forbindelsesform for over${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$ . Handlingen af på ethvert afsnit kan beregnes i form af brug af produktreglen som ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle s: U \ til \ venstre.E \ højre | _ {U}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ nabla (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} (ds^{j}+A_ {i}^{\ j} s^{i}) \ otimes e_ {j }.}$

Hvis den lokale sektion også er skrevet i matrixnotation som en kolonnevektor med den lokale ramme som grundlag, ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$

${\ displaystyle s = {\ begin {pmatrix} s^{1} \\\ vdots \\ s^{k} \ end {pmatrix}},}$

derefter ved hjælp af almindelig matrixmultiplikation kan man skrive

${\ displaystyle \ nabla (s) = ds+As}$

hvor er stenografi for at anvende det udvendige derivat på hver komponent af som en søjlevektor. I denne notation skriver man ofte lokalt, at . I denne forstand er en forbindelse lokalt fuldstændigt specificeret af dens forbindelse enform i en eller anden trivialisering. ${\ displaystyle ds}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ venstre. \ nabla \ højre | _ {U} = d+A}$

Som forklaret i #Affine-egenskaber for forbindelsessættet adskiller enhver forbindelse sig fra en anden ved en endomorfisme-værdsat enform . Fra dette perspektiv er forbindelses-en-formen netop den endomorfisme-værdsatte en-form, således at forbindelsen på adskiller sig fra den trivielle forbindelse på , som eksisterer, fordi der er et trivialiserende sæt til . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ venstre. \ nabla \ højre | _ {U}}$${\ displaystyle \ left.E \ right | _ {U}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ left.E \ right | _ {U}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E}$

Forholdet til Christoffel -symboler

I pseudo-Riemannian geometri er Levi-Civita-forbindelsen ofte skrevet i form af Christoffelsymbolerne i stedet for forbindelsesformen . Det er muligt at definere Christoffelsymboler for en forbindelse på et hvilket som helst vektorbundt, og ikke kun tangentbundtet i et pseudo-Riemannian manifold. For at gøre dette, antage, at ud over at være en trivialisere åben delmængde for vektoren bundt , der er også en lokal diagram for manifolden og indrømmede lokale koordinater . ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij}^{\ \ k}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x^{1}, \ dots, x^{n}); \ quad x^{i}: U \ to \ mathbb {R}}$

I et sådant lokalt diagram er der en fremtrædende lokal ramme for de differentierede one-formularer givet af , og de lokale forbindelses-one-formularer kan udvides på dette grundlag som ${\ displaystyle (dx^{1}, \ dots, dx^{n})}$${\ displaystyle A_ {i}^{j}}$

${\ displaystyle A_ {i}^{\ j} = \ sum _ {\ ell = 1}^{n} \ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} dx^{\ ell}}$

for en samling af lokale glatte funktioner , kaldet Christoffels symboler for over . I det tilfælde, hvor og er Levi-Civita-forbindelsen, stemmer disse symboler præcist overens med Christoffelsymbolerne fra pseudo-Riemannian geometri. ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j}: U \ til \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E = TM}$${\ displaystyle \ nabla}$

Udtrykket for, hvordan handlinger i lokale koordinater kan udvides yderligere med hensyn til det lokale diagram og Christoffelsymbolerne, givet af ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ nabla (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ sum _ {\ ell = 1}^{n} \ venstre ({\ frac {\ delvis s^{j} } {\ delvis x^{\ ell}}}+\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} s^{i} \ right) dx^{\ ell} \ otimes e_ {j}.}$

Kontrahering af dette udtryk med den lokale koordinat -tangensvektor fører til ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ delvis x^{\ ell}}}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ frac {\ partial} {\ delvis x^{\ ell}}} (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ venstre ({\ frac {\ delvis s^{j}} {\ delvis x^{\ ell}}}+\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} s^{i} \ right) e_ {j}.}$

Dette definerer en samling af lokalt definerede operatører ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ ell}: \ Gamma (U, E) \ to \ Gamma (U, E); \ quad \ nabla _ {\ ell} (s): = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ venstre ({\ frac {\ delvis s^{j}} {\ delvis x^{\ ell}}}+\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} s^{ i} \ højre) e_ {j},}$

med den ejendom, der

${\ displaystyle \ nabla (s) = \ sum _ {\ ell = 1}^{n} dx^{\ ell} \ otimes \ nabla _ {\ ell} (s).}$

Ændring af lokal trivialisering

Antag, at der er et andet valg af lokal ramme frem for det samme trivialiserende sæt , så der er en matrix af glatte funktioner, der relaterer til og defineres af ${\ displaystyle \ mathbf {e '}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle g = (g_ {i}^{\ j})}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle \ mathbf {e '}}$

${\ displaystyle e_ {i} = \ sum _ {j = 1}^{k} g_ {i}^{\ j} e '_ {j}.}$

Sporer gennem konstruktionen af ​​den lokale forbindelsesformular til rammen , finder man, at forbindelsen one-form for er givet af ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle \ mathbf {e '}}$

${\ displaystyle {A '} _ {i}^{\ j} = \ sum _ {p, q = 1}^{k} g_ {p}^{\ j} A_ {q}^{\ p} { (g^{-1})} _ {i}^{\ q}-\ sum _ {p = 1}^{k} (dg) _ {p}^{\ j} {(g^{-1 })} _ {i}^{\ p}}$

hvor betegner den inverse matrix til . I matrixnotation kan dette skrives ${\ displaystyle g^{-1} = \ left ({(g^{-1})} _ {i}^{\ j} \ right)}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle A '= gAg^{-1}-(dg) g^{-1}}$

hvor er matrixen af ​​en-former givet ved at tage det ydre derivat af matrixen komponent-for-komponent. ${\ displaystyle dg}$${\ displaystyle g}$

I det tilfælde, hvor tangentbundtet er og er jakobiansk af en koordinatomdannelse af , kan de lange formler for transformationen af ​​Christoffelsymbolerne i Levi-Civita-forbindelsen gendannes fra de mere kortfattede transformationslove i forbindelsesformen ovenfor. ${\ displaystyle E = TM}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle M}$

Parallel transport og holonomi

En forbindelse på en vektor bundt definerer en begrebet parallel transport på langs en kurve i . Lad være en glat vej ind . Et afsnit af langs siges at være parallelt, hvis ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ til M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} s = 0}$

for alle . Tilsvarende kan man overveje tilbagetrækningsbundtet af by . Dette er et vektorbundt over med fiber over . Forbindelsen on trækker tilbage til en forbindelse on . Et afsnit af er parallelt, hvis og kun hvis . ${\ displaystyle t \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle E _ {\ gamma (t)}}$${\ displaystyle t \ in [0,1]}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} \ nabla (s) = 0}$

Antag, at det er en vej fra til ind . Ovenstående ligning, der definerer parallelle sektioner, er en almindelig differentialligning i første orden (jf. Lokalt udtryk ovenfor) og har derfor en unik løsning for hver mulig indledende tilstand. Det er, for hver vektor i der findes en unik parallel sektion af med . Definer et parallelt transportkort${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle s (0) = v}$

${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma}: E_ {x} \ til E_ {y} \,}$

af . Det kan vises, at det er en lineær isomorfisme , med invers givet ved at følge den samme procedure med den omvendte vej fra til . ${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma} (v) = s (1)}$${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma ^{-}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Sådan gendannes det kovariante derivat af en forbindelse fra dens paralleltransport. Værdierne for et snit transporteres parallelt langs stien tilbage til , og derefter tages kovariansderivatet i det faste vektorrum, fiberen over .${\ displaystyle s (\ gamma (t))}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma (0) = x}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$

Parallel transport kan anvendes til at definere holonomi gruppe af forbindelsen baseret på et punkt i . Dette er undergruppen bestående af alle parallelle transportkort, der kommer fra sløjfer baseret på : ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (E_ {x})}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hol} _ {x} = \ {\ tau _ {\ gamma}: \ gamma {\ text {er en loop baseret på}} x \}. \,}$

En forbindelses holonomigruppe er tæt forbundet med forbindelsens krumning ( AmbroseSinger 1953 ).

Forbindelsen kan gendannes fra sine paralleltransportoperatører som følger. Hvis er et vektorfelt og et snit, skal du på et tidspunkt vælge en integreret kurve for kl . For hver vil vi skrive for det parallelle transportkort, der rejser langs fra til . Især for alle har vi . Derefter definerer en kurve i vektorrummet , som kan differentieres. Det kovariante derivat genvindes som ${\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle x \ i M}$ ${\ displaystyle \ gamma: (-\ varepsilon, \ varepsilon) \ til M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t \ in (-\ varepsilon, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ tau _ {t}: E _ {\ gamma (t)} \ til E_ {x}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle t \ in (-\ varepsilon, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ tau _ {t} s (\ gamma (t)) \ i E_ {x}}$${\ displaystyle t \ mapsto \ tau _ {t} s (\ gamma (t))}$${\ displaystyle E_ {x}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} s (x) = {\ frac {d} {dt}} \ venstre (\ tau _ {t} s (\ gamma (t)) \ højre) _ {t = 0} .}$

Dette viser, at en tilsvarende definition af en forbindelse er givet ved at specificere alle parallelle transportisomorfier mellem fibre af og tage ovenstående udtryk som definitionen på . ${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$

Krumning

Den krumning af en forbindelse på er et 2-formular på med værdier i endomorfien bundt . Det er, ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E \ til M}$${\ displaystyle F _ {\ nabla}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E) = E^{*} \ otimes E}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} \ in \ Omega ^{2} (\ mathrm {End} (E)) = \ Gamma (\ Lambda ^{2} T ^{*} M \ otimes \ mathrm {End} ( E)).}$

Det er defineret af udtrykket

${\ displaystyle F _ {\ nabla} (X, Y) (s) = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} s- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} s- \ nabla _ {[ X, Y]} s}$

hvor og er tangentvektorfelter på og er en sektion af . Man skal kontrollere, at der er -linear i begge og og at det faktisk definerer et bundt endomorfisme af . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F _ {\ nabla}}$${\ displaystyle C^{\ infty} (M)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle E}$

Som nævnt ovenfor behøver det kovariante udvendige derivat ikke at være firkantet til nul, når det virker på værdiansatte former. Operatøren er imidlertid strengt tensorial (dvs. -linear). Dette indebærer, at det er induceret fra en 2-form med værdier i . Denne 2-form er netop den krumningsform, der er angivet ovenfor. For en værdsat form har vi ${\ displaystyle d _ {\ nabla}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle d _ {\ nabla}^{2}}$${\ displaystyle C^{\ infty} (M)}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle (d _ {\ nabla})^{2} \ sigma = F _ {\ nabla} \ wedge \ sigma.}$

En flad forbindelse er en hvis krumningsform forsvinder identisk.

Lokal form og Cartans strukturligning

Krumningsformen har en lokal beskrivelse kaldet Cartans strukturligning . Hvis har lokal form på nogle trivialiserende åbne delmængder til , så ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U \ delsæt M}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = dA+A \ kile A}$

på . For at tydeliggøre denne notation, bemærk at der er en endomorfisme-værdsat enform, og derfor tager de lokale koordinater form af en matrix af en-former. Operationen anvender det udvendige derivat komponentmæssigt til denne matrix og betegner matrixmultiplikation, hvor komponenterne er kilet frem for multipliceret. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle A \ kile A}$

I lokale koordinater på over , hvis forbindelsesformularen er skrevet til en samling af lokale endomorfier , så har man ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x^{1}, \ prikker, x^{n})}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A = A _ {\ ell} dx^{\ ell} = (\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j}) dx^{\ ell}}$${\ displaystyle A _ {\ ell} = (\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j})}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = \ sum _ {p, q = 1}^{n} {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ delvis A_ {q}} {\ delvis x^{p}}}-{\ frac {\ delvis A_ {p}} {\ delvis x^{q}}}+[A_ {p}, A_ {q}] \ højre) dx^{p} \ kile dx^{q}.}$

Yderligere udvidelse af dette med hensyn til Christoffelsymbolerne frembringer det velkendte udtryk fra Riemannian geometri. Nemlig hvis er et afsnit af over , så ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j}}$${\ displaystyle s = s^{i} e_ {i}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ sum _ {p, q = 1}^{n} {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ partiel \ Gamma _ {qi}^{\ \ j}} {\ delvis x^{p}}}-{\ frac {\ delvis \ Gamma _ {pi}^{\ \ j }} {\ delvis x^{q}}}+\ Gamma _ {pr}^{\ \ j} \ Gamma _ {qi}^{\ \ r}-\ Gamma _ {qr}^{\ \ j} \ Gamma _ {pi}^{\ \ r} \ right) s^{i} dx^{p} \ wedge dx^{q} \ otimes e_ {j} = \ sum _ {i, j = 1}^ {k} \ sum _ {p, q = 1}^{n} R_ {pqi}^{\ \ \ j} s^{i} dx^{p} \ kile dx^{q} \ otimes e_ {j }.}$

Her er den fulde krumningstensor af , og i Riemannian geometri ville blive identificeret med den Riemanniske krumningstensor . ${\ displaystyle R = (R_ {pqi}^{\ \ \ j})}$${\ displaystyle F _ {\ nabla}}$

Det kan kontrolleres, at hvis vi definerer at være kileprodukt af former, men kommutator for endomorfismer i modsætning til sammensætning, så , og med denne alternative notation, tager Cartan -strukturligningen form ${\ displaystyle [A, A]}$${\ displaystyle A \ kile A = {\ frac {1} {2}} [A, A]}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = dA+{\ frac {1} {2}} [A, A].}$

Denne alternative notation bruges almindeligvis i teorien om hovedbundtforbindelser, hvor vi i stedet bruger en forbindelsesform , en Lie -algebra -værdsat enform, for hvilken der ikke er nogen forestilling om sammensætning (i modsætning til i tilfælde af endomorfismer), men der er en forestilling om en Lie -beslag. ${\ displaystyle \ omega}$

I nogle referencer (se f.eks. ( MadsenTornehave1997 )) kan Cartan -strukturligningen skrives med et minustegn:

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = dA-A \ kile A.}$