Morfisme af algebraiske sorter - Morphism of algebraic varieties

I algebraisk geometri , en funktion fra en kvasi-affin sort til dens underliggende felt , er en regelmæssig funktion , hvis for et vilkårligt punkt i der findes en åben kvarter U omkring dette punkt, således at f kan udtrykkes ved fraktion ligesom hvori er polynomier på den omgivende affine rum , således at h er intetsteds nul på U . Et almindeligt kort fra en vilkårlig sort til affinere rum er et kort givet af n-tuple af regulære funktioner. En morfisme mellem to sorter er et kontinuerligt kort som sådan, at for hvert åbent sæt og for hver almindelig funktion som , er funktionen regelmæssig. Sammensætningen af ​​morfisme er morfisme, så de udgør en kategori . I denne kategori kaldes en morfisme, der har en invers, isomorfisme . Vi siger, at to sorter er isomorfe, hvis der findes isomorfisme mellem dem eller tilsvarende, hvis deres koordinatringe er isomorfe (dvs. ) som algebraer over deres underliggende felter. ${\ displaystyle f \ colon Y \ to k}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle g/h}$${\ displaystyle g, h}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ varphi \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle V \ subseteq Y}$${\ displaystyle f \ kolon V \ til k}$${\ displaystyle f \ circ \ varphi \ colon \ varphi ^{-1} (V) \ to k}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle A (X) \ cong A (Y)}$

Silverman definerer morfisme som et rationelt kort, der er regelmæssigt på alle punkter.

Definition

Hvis X og Y er lukkede undervarianter af og (så de er affine sorter ), så er et almindeligt kort begrænsningen af ​​et polynomisk kort Eksplicit har det formen: ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{m}}$${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n} \ to \ mathbb {A} ^{m}}$

${\ displaystyle f = (f_ {1}, \ dots, f_ {m})}$

hvor s er i koordinatringen af X : ${\ displaystyle f_ {i}}$

${\ displaystyle k [X] = k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]/I,}$

hvor jeg er det ideelle definerende X (bemærk: to polynomer f og g definerer den samme funktion på X, hvis og kun hvis f  -  g er i I ). Billedet f ( X ) ligger i Y , og dermed opfylder de definerende ligninger i Y . Det vil sige, at et almindeligt kort er det samme som begrænsningen af ​​et polynomisk kort, hvis komponenter opfylder de definerende ligninger for . ${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle Y}$

Mere generelt, et kort f : X → Y mellem to sorter er regelmæssig ved et punkt x , hvis der er et kvarter U af x og et kvarter V af f ( x ), således at f ( U ) ⊂ V og den begrænsede funktion f : U → V er regelmæssig som en funktion på nogle affine diagrammer af U og V . Så f kaldes regelmæssig , hvis det er almindelig på alle punkter i X .

• Bemærk: Det er ikke umiddelbart indlysende, at de to definitioner falder sammen: hvis X og Y er affine sorter, så er et kort f : X → Y regelmæssigt i første forstand, hvis og kun hvis det er sådan i anden forstand. Det er heller ikke umiddelbart klart, om regelmæssighed afhænger af et valg af affinekort (det gør det ikke.) Denne form for konsistensproblem forsvinder imidlertid, hvis man vedtager den formelle definition. Formelt defineres en (abstrakt) algebraisk variant til at være en bestemt form for et lokalt ringet rum . Når denne definition bruges, er en morfisme af sorter bare en morfisme af lokalt ringede rum.

Sammensætningen af ​​almindelige kort er igen regelmæssig; således udgør algebraiske sorter kategorien af ​​algebraiske sorter, hvor morfismerne er de almindelige kort.

Regelmæssige kort mellem affine sorter svarer kontravariant i en-til-en til algebrahomomorfier mellem koordinatringene: hvis f : X → Y er en morfisme af affine sorter, så definerer det algebrahomomorfismen

${\ displaystyle f^{\#}: k [Y] \ til k [X], \, g \ mapsto g \ circ f}$

hvor er koordinatringene for X og Y ; det er veldefineret, da det er et polynom i elementer af . Omvendt, hvis det er en algebrahomomorfisme, inducerer det morfismen ${\ displaystyle k [X], k [Y]}$${\ displaystyle g \ circ f = g (f_ {1}, \ dots, f_ {m})}$${\ displaystyle k [X]}$${\ displaystyle \ phi: k [Y] \ til k [X]}$

${\ displaystyle \ phi ^{a}: X \ til Y}$

givet af: skrift ${\ displaystyle k [Y] = k [y_ {1}, \ dots, y_ {m}]/J,}$

${\ displaystyle \ phi ^{a} = (\ phi ({\ overline {y_ {1}}}), \ dots, \ phi ({\ overline {y_ {m}}})))}$

hvor er billederne af 's. Bemærk såvel som Især er f en isomorfisme af affine sorter, hvis og kun hvis f ^# er en isomorfisme af koordinatringene. ${\ displaystyle {\ overline {y}} _ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle {\ phi ^{a}} ^{\#} = \ phi}$${\ displaystyle {f^{\#}}^{a} = f.}$

For eksempel, hvis X er en lukket subvariety af en affin sorten Y og f er den integration, så f ^# er begrænsningen af regelmæssige funktioner på Y til X . Se #Eksempler herunder for flere eksempler.

Regelmæssige funktioner

I det særlige tilfælde, at Y er lig A ^1, kaldes det almindelige kort f : X → A ¹ for en regulær funktion og er algebraiske analoger til glatte funktioner, der er undersøgt i differentialgeometri. Den ring af almindelige funktioner (dvs. den koordinat ring eller mere abstrakt ringen af globale afsnit af strukturen neg) er et grundlæggende formål i affin algebraisk geometri. Den eneste regulære funktion på en projektiv sort er konstant (dette kan ses som en algebraisk analog af Liouvilles sætning i kompleks analyse ).

En skalarfunktion f : X → A ¹ er regelmæssig på et punkt x, hvis det i et åbent affint kvarter af x er en rationel funktion, der er regelmæssig ved x ; dvs. der er regelmæssige funktioner g , h nær x, således at f = g / h og h ikke forsvinder ved x . Forsigtig: betingelsen er for nogle par ( g , h ) ikke for alle par ( g , h ); se eksempler .

Hvis X er en kvasi-projektiv sort ; dvs. en åben undervariation af en projektiv sort, så er funktionsfeltet k ( X ) det samme som for lukningen af X og dermed er en rationel funktion på X af formen g / h for nogle homogene elementer g , h af samme grad i den homogene koordinatring af (jf. Projektiv sort#Variationsstruktur .) Så er en rationel funktion f på X regelmæssig på et punkt x, hvis og kun hvis der er nogle homogene elementer g , h af samme grad i sådanne at f = g / h og h ikke forsvinder ved x . Denne karakterisering er undertiden taget som definitionen af ​​en regulær funktion. ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle k [{\ overline {X}}]}$${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle k [{\ overline {X}}]}$

Sammenligning med en morfisme af ordninger

Hvis X = Spec A og Y = Spec B er affine skemaer , bestemmer hver ringhomomorfisme φ: B → A en morfisme

${\ displaystyle \ phi ^{a}: X \ til Y, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ phi ^{-1} ({\ mathfrak {p}})}$

ved at tage de pre-billeder af prime idealer . Alle morfisme mellem affine skemaer er af denne type, og limning af sådanne morfismer giver en morfisme af skemaer generelt.

Nu, hvis X , Y er affine sorter; dvs. A , B er integrerede domæner, der er endeligt genererede algebraer over et algebraisk lukket felt k , og derefter arbejder ovenstående kun med de lukkede punkter sammen med definitionen givet i #Definition . (Bevis: Hvis f  : X → Y er en morfisme, så skriver vi, vi skal vise ${\ displaystyle \ phi = f^{\#}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {f (x)} = \ phi ^{-1} ({\ mathfrak {m}} _ {x})}$

hvor er de maksimale idealer svarende til punkterne x og f ( x ); dvs., . Dette er øjeblikkeligt.) ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}, {\ mathfrak {m}} _ {f (x)}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {g \ i k [X] \ mid g (x) = 0 \}}$

Denne kendsgerning betyder, at kategorien af ​​affinesorter kan identificeres med en fuld underkategori af affine -ordninger over k . Da morfisme af sorter opnås ved limning af morfisme af affine sorter på samme måde, som morfisme af ordninger opnås ved limning af morfisme af affine ordninger, følger det, at kategorien af ​​sorter er en fuld underkategori af kategorien af ​​ordninger over k .

For flere detaljer, se [1] .

Eksempler

• De regulære funktioner på A ⁿ er præcis polynomierne i n variabler, og de regulære funktioner på P ⁿ er præcist konstanterne.
• Lad X være affinekurven . Derefter${\ displaystyle y = x^{2}}$
  $${\ displaystyle f: X \ til \ mathbf {A} ^{1}, \, (x, y) \ mapsto x}$$

  
  er en morfisme; det er bijektiv med det omvendte . Da g også er en morfisme, er f en isomorfisme af sorter.${\ displaystyle g (x) = (x, x^{2})}$
• Lad X være affinekurven . Derefter${\ displaystyle y^{2} = x^{3}+x^{2}}$
  $${\ displaystyle f: \ mathbf {A}^{1} \ til X, \, t \ mapsto (t^{2} -1, t^{3} -t)}$$

  
  er en morfisme. Det svarer til ringhomomorfismen
  $${\ displaystyle f^{\#}: k [X] \ til k [t], \, g \ mapsto g (t^{2} -1, t^{3} -t),}$$

  
  som ses at være injektiv (da f er surjektiv).
• Fortsæt det foregående eksempel, lad U = A ¹  - {1}. Da U er komplementet til hyperplanet t = 1, er U affin. Begrænsningen er bijektiv. Men den tilsvarende ringhomomorfisme er inklusionen , som ikke er en isomorfisme og derfor begrænsningen f | _U er ikke en isomorfisme.${\ displaystyle f: U \ til X}$${\ displaystyle k [X] = k [t^{2} -1, t^{3} -t] \ hookrightarrow k [t, (t-1)^{-1}]}$
• Lad X være affinekurven x ² + y ² = 1 og lad
  $${\ displaystyle f (x, y) = {1-y \ over x}.}$$

  
  Så f er en rationel funktion på X . Det er regelmæssig på (0, 1) på trods af udtrykket, for som en rationel funktion på X , f kan også skrives som .${\ displaystyle f (x, y) = {x \ over 1+y}}$
• Lad X = A ² - (0, 0) . Så er X en algebraisk variant, da den er en åben delmængde af en sort. Hvis f er en regelmæssig funktion på X , så er f regelmæssig tændt og det samme er i . Tilsvarende er det i . Således kan vi skrive:${\ displaystyle D _ {\ mathbf {A} ^{2}} (x) = \ mathbf {A} ^{2}-\ {x = 0 \}}$${\ displaystyle k [D _ {\ mathbf {A} ^{2}} (x)] = k [\ mathbf {A} ^{2}] [x ^{-1}] = k [x, x ^{ -1}, y]}$${\ displaystyle k [x, y, y^{-1}]}}$
  $${\ displaystyle f = {g \ over x^{n}} = {h \ over y^{m}}}$$

  
  hvor g , h er polynomer i k [ x , y ]. Men dette indebærer, at g er delelig med x ^n, og f er derfor faktisk et polynom. Derfor er ringen af ​​regulære funktioner på X kun k [ x , y ]. (Dette viser også, at X ikke kan være affin, da hvis det var, bestemmes X af dets koordinatring og dermed X = A ^2. )
• Antag ved at identificere punkterne ( x  : 1) med punkterne x på A ¹ og ∞ = (1: 0). Der er en automorfisme σ af P ¹ givet af σ (x: y) = (y: x); især σ udveksler 0 og ∞. Hvis f er en rationel funktion på P ¹ , så${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1} = \ mathbf {A} ^{1} \ cup \ {\ infty \}}$
  $${\ displaystyle \ sigma ^{\#} (f) = f (1/z)}$$

  
  og f er regelmæssig ved ∞ hvis og kun hvis f (1/ z ) er regelmæssig ved nul.
• Ved at tage funktionsfeltet k ( V ) for en irreducerbar algebraisk kurve V , kan funktionerne F i funktionsfeltet alle realiseres som morfisme fra V til den projektive linje over k . (jf. #ejendomme ) Billedet vil enten være et enkelt punkt eller hele den projektive linje (dette er en konsekvens af fuldstændigheden af ​​projektive sorter ). Det vil sige, medmindre F er faktisk konstant, har vi til attribut til F værdien ∞ på nogle punkter af V .
• For alle algebraiske sorter X , Y , fremskrivningen
  $${\ displaystyle p: X \ gange Y \ til X, \, (x, y) \ mapsto x}$$

  
  er en morfisme af sorter. Hvis X og Y er affine, er den tilsvarende ringhomomorfisme
  $${\ displaystyle p^{\#}: k [X] \ til k [X \ gange Y] = k [X] \ otimes _ {k} k [Y], \, f \ mapsto f \ otimes 1}$$

  
  hvor .${\ displaystyle (f \ otimes 1) (x, y) = f (p (x, y)) = f (x)}$

Ejendomme

En morfisme mellem sorter er kontinuerlig med hensyn til Zariski -topologier om kilden og målet.

Billedet af en morfisme af sorter behøver hverken at være åbent eller lukket (for eksempel er billedet af hverken åbent eller lukket). Imidlertid kan man stadig sige: hvis f er en morfisme mellem sorter, så indeholder billedet af f en åben tæt delmængde af dens lukning. (jf. konstruerbart sæt .) ${\ displaystyle \ mathbf {A} ^{2} \ to \ mathbf {A} ^{2}, \, (x, y) \ mapsto (x, xy)}$

En morfisme f : X → Y af algebraiske sorter siges at være en dominerende, hvis den har et tæt image. For en sådan f , hvis V er en ikke -fritlagt åben affin delmængde af Y , så er der en ikke -fri åben affin undersæt U af X, således at f ( U ) ⊂ V og derefter er injektiv. Således inducerer det dominerende kort f en injektion på funktionsfelterniveauet: ${\ displaystyle f^{\#}: k [V] \ til k [U]}$

${\ displaystyle k (Y) = \ varinjlim k [V] \ hookrightarrow k (X), \, g \ mapsto g \ circ f}$

hvor grænseværdierne løber over alle nonempty åbne affine delmængder af Y . (Mere abstrakt, er dette den inducerede kortet fra den rest felt af generiske punkt af Y som i X .) Omvendt hver inddragelse af felter er fremkaldt af en dominerende rationel kort fra X til Y . Derfor bestemmer ovenstående konstruktion en kontravariant-ækvivalens mellem kategorien af ​​algebraiske sorter over et felt k og dominerende rationelle kort mellem dem og kategorien af ​​endeligt genereret feltudvidelse af k . ${\ displaystyle k (Y) \ hookrightarrow k (X)}$

Hvis X er en glat komplet kurve (f.eks. P ¹ ), og hvis f er et rationelt kort fra X til et projektivt rum P ^m , er f et almindeligt kort X → P ^m . Især når X er en glat komplet kurve, enhver rationel funktion på X kan anskues som en morphism X → P ¹ , og omvendt, sådan morphism som en rationel funktion på X .

På en normal sort (især en glat sort ) er en rationel funktion regelmæssig, hvis og kun hvis den ikke har nogen poler af kodimension én. Dette er en algebraisk analog af Hartogs forlængelsessætning . Der er også en relativ version af denne kendsgerning; se [2] .

En morfisme mellem algebraiske sorter, der er en homomorfisme mellem de underliggende topologiske rum, behøver ikke at være en isomorfisme (et modeksempel er givet af en Frobenius -morfisme .) På den anden side, hvis f er bijektiv birational og målrummet for f er en normal sort , så er f biregulært. (jf. Zariskis hovedsætning .) ${\ displaystyle t \ mapsto t^{p}}$

Et almindeligt kort mellem komplekse algebraiske sorter er et holomorft kort . (Der er faktisk en lille teknisk forskel: et almindeligt kort er et meromorft kort, hvis entalpunkter kan fjernes , men sondringen ignoreres normalt i praksis.) Især er et almindeligt kort i de komplekse tal bare en sædvanlig holomorf funktion (kompleks -analytisk funktion).

Morfisme til et projektivt rum

Lade

${\ displaystyle f: X \ til \ mathbf {P} ^{m}}$

være en morfisme fra en projektiv sort til et projektivt rum. Lad x være et punkt i X . Derefter nogle i 'te homogen koordinat for f ( x ) ikke er nul; sig, i = 0 for enkelhedens skyld. Derefter er der ved kontinuitet et åbent affint kvarter U af x, således at

${\ displaystyle f: U \ to \ mathbf {P} ^{m}-\ {y_ {0} = 0 \}}$

er en morfisme, hvor y _i er de homogene koordinater. Bemærk, at målrummet er affin -rummet A ^m gennem identifikationen . Begrænsningen f | _U er givet af ${\ displaystyle (a_ {0}: \ dots: a_ {m}) = (1: a_ {1}/a_ {0}: \ dots: a_ {m}/a_ {0}) \ sim (a_ {1 }/a_ {0}, \ dots, a_ {m}/a_ {0})}$

${\ displaystyle f | _ {U} (x) = (g_ {1} (x), \ dots, g_ {m} (x))}$

hvor g _I 's er regelmæssige funktioner på U . Da X er Projektiv, hver g _jeg er en brøkdel af homogene elementer af samme grad i den homogene koordinere ring k [ X ] i X . Vi kan ordne brøkerne, så de alle har den samme homogene nævner siger f ₀ . Derefter kan vi skrive g _i = f _i / f ₀ for nogle homogene elementer f _i er i k [ X ]. Derfor går vi tilbage til de homogene koordinater,

${\ displaystyle f (x) = (f_ {0} (x): f_ {1} (x): \ dots: f_ {m} (x))}$

for alle x i U og ved kontinuitet for alle x i X , så længe den f _I 's ikke forsvinde på x på samme tid. Hvis de forsvinder samtidigt ved et punkt x i X , så ved ovenstående procedure, kan man vælge et andet sæt af f _I 's, der ikke forsvinder ved x samtidigt (se note i slutningen af afsnittet.)

Faktisk er ovenstående beskrivelse gyldig for enhver kvasiprojektiv sort X , en åben undervariation af en projektiv sort ; forskellen er, at f _i er i den homogene koordinatring af . ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle {\ overline {X}}}$

Bemærk : Ovenstående siger ikke, at en morfisme fra en projektiv sort til et projektivt rum er givet af et enkelt sæt polynomier (i modsætning til affin -sagen). Lad f.eks.X være keglen i P ² . Derefter to kort og enes om den åbne delmængde af X (siden ) og definerer således en morfisme . ${\ displaystyle y^{2} = xz}$${\ displaystyle (x: y: z) \ mapsto (x: y)}$${\ displaystyle (x: y: z) \ mapsto (y: z)}$${\ displaystyle \ {(x: y: z) \ i X \ mid x \ neq 0, z \ neq 0 \}}$${\ displaystyle (x: y) = (xy: y^{2}) = (xy: xz) = (y: z)}$${\ displaystyle f: X \ til \ mathbf {P} ^{1}}$

Fibre af en morfisme

Den vigtige kendsgerning er:

I Mumfords røde bog bevises sætningen ved hjælp af Noeters normaliseringslemma . For en algebraisk tilgang, hvor den generiske frihed spiller en hovedrolle, og begrebet " universelt kontaktledning " er en nøgle i beviset, se Eisenbud, Ch. 14 i "Kommutativ algebra med henblik på algebraisk geometri." Faktisk viser beviset der, at hvis f er flad , holder dimensionen lighed i 2. af sætningen generelt (ikke bare generisk).

Grad af en endelig morfisme

Lad f : X → Y være en endelig surjektiv morfisme mellem algebraiske sorter over et felt k . Graden af f er derefter per definition graden af ​​den endelige feltudvidelse af funktionsfeltet k ( X ) over f ^* k ( Y ). Ved generisk frihed er der en åben, uundgåelig delmængde U i Y , så begrænsningen af ​​strukturskiven O _X til f ⁻¹ ( U ) er fri som O _Y | _U -modul . Graden af f er da også rangen af ​​dette gratis modul.

Hvis f er étal, og hvis X , Y er komplet , så for enhver sammenhængende skive F på Y , skriver χ for Euler -karakteristikken,

${\ displaystyle \ chi (f^{*} F) = \ deg (f) \ chi (F).}$

( Riemann - Hurwitz -formlen for en forgrenet belægning viser "étalen" her ikke kan udelades.)

Generelt, hvis f er en endelig surjectiv morfisme, hvis X , Y er komplette og F et sammenhængende skår på Y , får man fra Leray -spektralsekvensen : ${\ displaystyle \ operatorname {H}^{p} (Y, R^{q} f _ {*} f^{*} F) \ Rightarrow \ operatorname {H}^{p+q} (X, f^{ *} F)}$

${\ displaystyle \ chi (f^{*} F) = \ sum _ {q = 0}^{\ infty} (-1)^{q} \ chi (R^{q} f _ {*} f^{ *} F).}$

Især hvis F er en tensoreffekt i et linjebundt, og da understøttelsen af har positiv kodimension, hvis q er positiv, når man sammenligner de ledende termer, har man: ${\ displaystyle L^{\ otimes n}}$${\ displaystyle R^{q} f _ {*} (f^{*} F) = R^{q} f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes L^{\ otimes n} }$${\ displaystyle R^{q} f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle \ operatorname {deg} (f^{*} L) = \ operatorname {deg} (f) \ operatorname {deg} (L)}$

(da den generiske rangering af er graden af f .) ${\ displaystyle f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Hvis f er étale og k er algebraisk lukket, består hver geometriske fiber f ⁻¹ ( y ) nøjagtigt af deg ( f ) punkter.

Se også

• Algebraisk funktion
• Glat morfisme
• Etale morfismer - Den algebraiske analog af lokale diffeomorfier .
• Opløsning af singulariteter
• kontraktionsmorfisme

Noter

Citater

Referencer