Filtrace (matematika) - Filtration (mathematics)

V matematiky , je filtrace je indexovaný rodina z podřazených dané algebraické struktury s tím, že index běží přes nějaké úplně uspořádaný index sadu , a to za podmínky, že ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle (S_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle I}$

když dovnitř , tak .${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle S_ {i} \ subseteq S_ {j}}$

Pokud je index časovým parametrem nějakého stochastického procesu , pak lze filtraci interpretovat tak, že představuje všechny historické, ale nikoli budoucí dostupné informace o stochastickém procesu, přičemž algebraická struktura s časem získává na složitosti. Proces, který je přizpůsoben filtraci, se proto také nazývá neočekávaný , protože nemůže „vidět do budoucnosti“. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Někdy, jako u filtrované algebry , je místo toho požadavek, aby byly subalgebry s ohledem na některé operace (řekněme sčítání vektorů ), ale ne s ohledem na jiné operace (řekněme násobení), které splňují pouze tam, kde je sada indexů jsou přirozená čísla ; toto je analogie s odstupňovanou algebrou . ${\ displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S_ {i} \ cdot S_ {j} \ subseteq S_ {i+j}}$

Někdy filtrace mají uspokojit dodatečný požadavek, že odbory z být celek , nebo (v obecnějších případech, kdy pojem unie nedává smysl), že kanonická homomorphism z přímého limitu z aby je izomorfizmus . Zda se tento požadavek předpokládá nebo ne, obvykle závisí na autorovi textu a často je výslovně uvedeno. Tento článek se nebude ukládat tento požadavek. ${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$

Existuje také představa sestupné filtrace , která je namísto (a příležitostně místo ) splněna . Opět záleží na kontextu, jak přesně má být slovo „filtrace“ chápáno. Sestupné filtrace nelze zaměňovat s dvojím pojmem kofiltrace (které se skládají spíše z kvocientních objektů než z subobjektů ). ${\ displaystyle S_ {i} \ supseteq S_ {j}}$${\ displaystyle S_ {i} \ subseteq S_ {j}}$${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} S_ {i} = 0}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} S_ {i} = S}$

Filtrace jsou široce používány v abstraktní algebře , homologické algebře (kde jsou důležitým způsobem spojeny se spektrálními sekvencemi ) a v teorii míry a teorii pravděpodobnosti vnořených sekvencí σ-algeber . Při funkční analýze a numerické analýze se obvykle používá jiná terminologie, například měřítko mezer nebo vnořené mezery .

Příklady

Algebra

Algebry

Viz: Filtrovaná algebra

Skupiny

V algebře, filtrace jsou obvykle indexovány , je souborem přirozených čísel. Filtrační skupiny , je pak vnořené sekvence z normálních podskupin z (To znamená, že pro všechny máme ). Všimněte si, že toto použití slova „filtrace“ odpovídá naší „sestupné filtraci“. ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G_ {n+1} \ subseteq G_ {n}}$

Vzhledem ke skupině a filtraci existuje přirozený způsob, jak definovat topologii, o které se říká, že je spojena s filtrací. Základem pro tuto topologii je množina všech kosetů podskupin vyskytujících se ve filtraci, to znamená, že podmnožina je definována jako otevřená, pokud se jedná o sjednocení množin formuláře , kde a je přirozené číslo. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle aG_ {n}}$${\ displaystyle a \ v G}$${\ displaystyle n}$

Z topologie spojené s filtrací na skupině se stane topologická skupina . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Topologie spojená s filtrací na skupině je Hausdorff právě tehdy, pokud . ${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ bigcap G_ {n} = \ {1 \}}$

Pokud jsou ve skupině definovány dvě filtrace a jsou definovány ve skupině , pak mapa identity od do , kde je první kopie dané -topologie a druhá -topologie, je spojitá tehdy a jen tehdy, pokud pro nějakou existuje taková, že , tj. , právě tehdy, je -li mapa identity spojitá na 1. Zejména tyto dvě filtrace definují stejnou topologii právě tehdy, pokud pro jakoukoli podskupinu, která se objevuje v jedné, se v druhé objevuje menší nebo stejná. ${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G '_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G '_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle G_ {m} \ subseteq G '_ {n}}$

Kroužky a moduly: sestupné filtrace

Vzhledem k tomu, kruh a -module , s klesající filtrace z je klesající posloupnost submodulů . Jedná se tedy o speciální případ pojmu pro skupiny s dodatečnou podmínkou, aby podskupiny byly submoduly. Přidružená topologie je definována jako pro skupiny. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$

Důležitý speciální případ je znám jako -adická topologie (nebo -adická atd.). Nechť být komutativní prsten a ideál . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

Vzhledem k -modulu je sekvence submodulů forem filtrací . -Adic topologie na je pak topologie spojená s tímto filtrací. Pokud je jen prsten sám, jsme definovali -adic topologii na . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle I^{n} M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

Když je dána -adická topologie, stává se topologickým prstencem . Pokud je pak -modulu dána -adická topologie, stane se topologickým -modulem vzhledem k topologii uvedené na . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Kroužky a moduly: vzestupné filtrace

Vzhledem k tomu, kruh a -module , má stoupající filtrace o je rostoucí posloupnost submodulů . Zejména v případě, je pole, potom je stoupající filtrace -vector prostoru je rostoucí posloupnost vektorových podprostorů z . Vlajky jsou jednou důležitou třídou takových filtrací. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M_ {n}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Sady

Maximální filtrace sady je ekvivalentní uspořádání ( permutaci ) sady. Například filtrace odpovídá objednání . Z hlediska pole s jedním prvkem odpovídá uspořádání na množině maximálnímu příznaku (filtrace ve vektorovém prostoru), přičemž množinu považuje za vektorový prostor nad polem s jedním prvkem. ${\ Displaystyle \ {0 \} \ subseteq \ {0,1 \} \ subseteq \ {0,1,2 \}}$${\ Displaystyle (0,1,2)}$

Teorie měření

V teorii míry , a to zejména v Martingal teorii a teorie náhodných procesů , filtrace je rostoucí sekvence z -algebras na měřitelné prostoru . To znamená, že vzhledem k tomu, měřitelný prostor , filtrace je sekvence -algebras s , kde každý je nezáporné reálné číslo a ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \} _ {t \ geq 0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implikuje {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}$

Přesný rozsah „časů“ bude obvykle záviset na kontextu: sada hodnot pro může být diskrétní nebo spojitá, ohraničená nebo neomezená. Například, ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle t \ in \ {0,1, \ tečky, N \}, \ mathbb {N} _ {0}, [0, T] {\ mbox {nebo}} [0,+\ infty).}$

Podobně filtrovaný pravděpodobnostní prostor (také známý jako stochastický základ ) je pravděpodobnostní prostor vybavený filtrací jeho -algebry . O filtrovaném prostoru pravděpodobnosti se říká, že splňuje obvyklé podmínky, pokud je úplný (tj. Obsahuje všechny - nulové množiny ) a pravo -spojitý (tj. Pro všechny časy ). ${\ Displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ že jo)}$${\ Displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = {\ mathcal {F}} _ {t+}: = \ bigcap _ {s> t} {\ mathcal {F}} _ {s}}$${\ displaystyle t}$

Je také užitečné (v případě neomezené sady indexů) definovat jako -algebru generovanou nekonečným spojením 's', která je obsažena v : ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}$

Σ algebra definuje sadu událostí, které lze měřit, které jsou v pravděpodobnosti kontextu je ekvivalentní k událostem, které mohou být diskriminováni, nebo „otázky, které mohou být zodpovězeny v čase “. Proto se často používá filtrace, která představuje změnu v souboru událostí, které lze měřit, prostřednictvím zisku nebo ztráty informací . Typický příklad je v matematických financích , kde filtrace představuje informace dostupné až pokaždé včetně a je stále přesnější (sada měřitelných událostí zůstává stejná nebo se zvyšuje), protože více informací z vývoje populace cena bude k dispozici. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$

Vztah k časům zastavení: doba zastavení sigma-algebry

Nechť je filtrovaný pravděpodobnostní prostor. Náhodná veličina je doba zastavení s ohledem na filtraci , pokud vůbec . Čas zastavení -algebra je nyní definován jako ${\ Displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ že jo)}$${\ Displaystyle \ tau: \ Omega \ rightarrow [0, \ infty]}$ ${\ Displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}}$${\ displaystyle \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal { F}} _ {t}, \ \ pro všechny t \ geq 0 \ vpravo \}}$.

Není těžké ukázat, že to skutečně je -algebra . Nastavte kóduje informace až do náhodného času v tom smyslu, že v případě, že filtruje pravděpodobnost prostor je interpretována jako náhodného pokusu, maximální informace, které lze zjistit o něm z libovolně často opakovat experiment, dokud není náhodný čas je . Zejména je -li podkladový pravděpodobnostní prostor konečný (tj. Je konečný), jsou minimální sady (s ohledem na zahrnutí sady) dány sjednocením přes všechny sady minimálních množin, které leží . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ displaystyle \ {\ tau = t \}}$

Může být ukázáno, že je -měřitelné. Jednoduché příklady však ukazují, že obecně . Pokud a jsou čekací doby na , a téměř jistě , pak${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ sigma (\ tau) \ neq {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ displaystyle \ tau _ {1}}$${\ displaystyle \ tau _ {2}}$${\ Displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ že jo)}$${\ Displaystyle \ tau _ {1} \ leq \ tau _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {2}}.}$

Viz také

• Přírodní filtrace
• Filtrace (teorie pravděpodobnosti)
• Filtr (matematika)

Reference

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.