Multinomiální věta - Multinomial theorem

V matematice se multinomická věta popisuje, jak rozšířit moc určité částky, pokud jde o pravomoci ve srovnání s podmínkami v této částky. Je to zobecnění binomické věty z binomických na multinomiální.

Teorém

Pro jakékoli kladné celé číslo m a jakékoli nezáporné celé číslo n popisuje vícečlenný vzorec, jak se součet s m výrazy rozšiřuje, když je zvýšen na libovolnou mocninu n :

${\ Displaystyle (x_ {1}+x_ {2}+\ cdots+x_ {m})^{n} = \ sum _ {k_ {1}+k_ {2}+\ cdots+k_ {m} = n } {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} \ prod _ {t = 1}^{m} x_ {t}^{k_ {t}} \ ,,}$

kde

${\ Displaystyle {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = {\ frac {n!} {k_ {1}! \, k_ {2}! \ cdots k_ { m}!}}}$

je multinomický koeficient . Součet je převzat všemi kombinacemi nezáporných celočíselných indexů k ₁ až k _m tak, že součet všech k _i je n . To znamená, že pro každý výraz v expanzi musí exponenty x _i sečíst až n . Také, jako u binomické věty , množství formy x ^0, která se objeví, jsou považována za rovná 1 (i když x se rovná nule).

V případě m = 2 se toto tvrzení redukuje na binomickou větu.

Příklad

Třetí mocnina trojčlenu a + b + c je dána vztahem

${\ Displaystyle (a+b+c)^{3} = a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2} b+3a^{2} c+3b^{ 2} a+3b^{2} c+3c^{2} a+3c^{2} b+6abc.}$

To lze vypočítat ručně pomocí distribuční vlastnosti násobení nad sčítáním, ale lze to také provést (možná snadněji) pomocí multinomiální věty. Multinomiální koeficienty je možné z výrazů „odečíst“ pomocí vzorce multinomického koeficientu. Například:

${\ Displaystyle a^{2} b^{0} c^{1}}$ má koeficient ${\ Displaystyle {3 \ choose 2,0,1} = {\ frac {3!} {2! \ cdot 0! \ cdot 1!}} = {\ frac {6} {2 \ cdot 1 \ cdot 1} } = 3.}$

${\ Displaystyle a^{1} b^{1} c^{1}}$ má koeficient ${\ Displaystyle {3 \ choose 1,1,1} = {\ frac {3!} {1! \ cdot 1! \ cdot 1!}} = {\ frac {6} {1 \ cdot 1 \ cdot 1} } = 6.}$

Alternativní výraz

Prohlášení o větě lze sepsat stručně pomocí víceindexů :

${\ Displaystyle (x_ {1} +\ cdots +x_ {m})^{n} = \ sum _ {| \ alpha | = n} {n \ choose \ alpha} x^{\ alpha}}$

kde

${\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {m})}$

a

${\ Displaystyle x^{\ alpha} = x_ {1}^{\ alpha _ {1}} x_ {2}^{\ alpha _ {2}} \ cdots x_ {m}^{\ alpha _ {m} }}$

Důkaz

Tento důkaz multinomiální věty používá binomickou větu a indukci na m .

Za prvé, pro m  = 1 se obě strany rovnají x ₁ ^n, protože v součtu je pouze jeden člen k ₁  =  n . Pro indukční krok předpokládejme, že multinomická věta platí pro m . Pak

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & (x_ {1}+x_ {2}+\ cdots+x_ {m}+x_ {m+1})^{n} = (x_ {1}+x_ {2 }+\ cdots+(x_ {m}+x_ {m+1}))^{n} \\ [6pt] = {} & \ sum _ {k_ {1}+k_ {2}+\ cdots+k_ {m-1}+K = n} {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m-1}, K} x_ {1}^{k_ {1}} x_ {2 }^{k_ {2}} \ cdots x_ {m-1}^{k_ {m-1}} (x_ {m}+x_ {m+1})^{K} \ end {zarovnáno}}}$

indukční hypotézou. Použití binomické věty na poslední faktor,

${\ Displaystyle = \ sum _ {k_ {1}+k_ {2}+\ cdots+k_ {m-1}+K = n} {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m-1}, K} x_ {1}^{k_ {1}} x_ {2}^{k_ {2}} \ cdots x_ {m-1}^{k_ {m-1}} \ sum _ {k_ {m}+k_ {m+1} = K} {K \ zvolte k_ {m}, k_ {m+1}} x_ {m}^{k_ {m}} x_ {m+1}^{ k_ {m+1}}}$

${\ displaystyle = \ sum _ {k_ {1}+k_ {2}+\ cdots+k_ {m-1}+k_ {m}+k_ {m+1} = n} {n \ choose k_ {1} , k_ {2}, \ ldots, k_ {m-1}, k_ {m}, k_ {m+1}} x_ {1}^{k_ {1}} x_ {2}^{k_ {2}} \ cdots x_ {m-1}^{k_ {m-1}} x_ {m}^{k_ {m}} x_ {m+1}^{k_ {m+1}}}$

který završuje indukci. Poslední krok následuje, protože

${\ Displaystyle {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m-1}, K} {K \ choose k_ {m}, k_ {m+1}} = {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m-1}, k_ {m}, k_ {m+1}},}$

jak lze snadno vidět napsáním tří koeficientů pomocí faktoriálů následovně:

${\ Displaystyle {\ frac {n!} {k_ {1}! k_ {2}! \ cdots k_ {m-1}! K!}} {\ frac {K!} {k_ {m}! k_ {m +1}!}} = {\ Frac {n!} {K_ {1}! K_ {2}! \ Cdots k_ {m+1}!}}.}$

Multinomické koeficienty

Čísla

${\ displaystyle {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}}}$

ve větě se objevují multinomické koeficienty . Mohou být vyjádřeny mnoha způsoby, včetně součinu binomických koeficientů nebo faktoriálů :

${\ Displaystyle {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = {\ frac {n!} {k_ {1}! \, k_ {2}! \ cdots k_ { m}!}} = {k_ {1} \ choose k_ {1}} {k_ {1}+k_ {2} \ choose k_ {2}} \ cdots {k_ {1}+k_ {2}+\ cdots +k_ {m} \ vyberte k_ {m}}}$

Součet všech multinomických koeficientů

Substituce x _i  = 1 pro všechna i do multinomiální věty

${\ Displaystyle \ sum _ {k_ {1}+k_ {2}+\ cdots+k_ {m} = n} {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} x_ {1}^{k_ {1}} x_ {2}^{k_ {2}} \ cdots x_ {m}^{k_ {m}} = (x_ {1}+x_ {2}+\ cdots+x_ {m})^{n}}$

dává to okamžitě

${\ Displaystyle \ sum _ {k_ {1}+k_ {2}+\ cdots+k_ {m} = n} {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = m^{n}.}$

Počet multinomických koeficientů

Počet výrazů v multinomickém součtu, # _{n , m} , se rovná počtu monomiálů stupně n na proměnných x ₁ ,…,  x _m :

${\ Displaystyle \ #_ {n, m} = {n+m-1 \ choose m-1}.}$

Počítání lze snadno provést pomocí metody hvězd a pruhů .

Ocenění multinomických koeficientů

Největší mocninu prvočísla, která dělí multinomiální koeficient, lze vypočítat pomocí zobecnění Kummerovy věty . ${\ displaystyle p}$

Interpretace

Způsoby vkládání předmětů do popelnic

Multinomické koeficienty mají přímou kombinatorickou interpretaci, jako počet způsobů ukládání n různých objektů do m odlišných zásobníků, přičemž k ₁ objektů v prvním zásobníku, k ₂ objektů v druhém zásobníku atd.

Počet způsobů výběru podle distribuce

Ve statistické mechanice a kombinatorice, pokud má člověk rozložení čísel popisků, pak multinomické koeficienty přirozeně pocházejí z binomických koeficientů. Vzhledem k rozdělení čísel { n _i } na sadu N celkem položek, n _i představuje počet položek, kterým bude přidělen štítek i . (Ve statistické mechaniky i je označení stavu energie.)

Počet uspořádání je nalezen podle

• Výběr n ₁ z celkového N, který má být označen 1. To lze provést několika způsoby.${\ displaystyle N \ choose n_ {1}}$
• Ze zbývajících N  -  n ₁ položek vyberte n ₂ na označení 2. To lze provést způsoby.${\ displaystyle N-n_ {1} \ choose n_ {2}}$
• Ze zbývajících N  -  n ₁  -  n ₂ položek vyberte n ₃ na označení 3. Opět to lze provést způsoby.${\ displaystyle N-n_ {1} -n_ {2} \ choose n_ {3}}$

Znásobením počtu možností v každém kroku získáte:

${\ displaystyle {N \ choose n_ {1}} {N-n_ {1} \ choose n_ {2}} {N-n_ {1} -n_ {2} \ choose n_ {3}} \ cdots = {\ frac {N!} {(N-n_ {1})! n_ {1}!}} \ cdot {\ frac {(N-n_ {1})!} {(N-n_ {1} -n_ {2 })! n_ {2}!}} \ cdot {\ frac {(N-n_ {1} -n_ {2})!} {(N-n_ {1} -n_ {2} -n_ {3}) ! n_ {3}!}} \ cdots.}$

Výsledkem zrušení je vzorec uvedený výše.

Počet jedinečných permutací slov

Multinomial koeficient je také počet různých způsobů, jak permutování se Multiset z n prvků, kde K _i je multiplicita každého z i- tého prvku. Například počet odlišných permutací písmen slova MISSISSIPPI, který má 1 M, 4 Is, 4 Ss a 2 Ps, je ${\ displaystyle {\ binom {n} {k_ {1}, \ ldots, k_ {m}}}}$

${\ displaystyle {11 \ choose 1,4,4,2} = {\ frac {11!} {1! \, 4! \, 4! \, 2!}} = 34650.}$

Zobecněný Pascalův trojúhelník

Multinomiální větu lze použít k zobecnění Pascalova trojúhelníku nebo Pascalovy pyramidy na Pascalův simplex . To poskytuje rychlý způsob generování vyhledávací tabulky pro multinomiální koeficienty.

Viz také

• Multinomiální distribuce
• Hvězdy a tyče (kombinatorika)

Reference