Neúplná funkce gama - Incomplete gamma function

V matematice jsou horní a dolní neúplné gama funkce typy speciálních funkcí, které vznikají jako řešení různých matematických problémů, jako jsou určité integrály .

Jejich příslušná jména vyplývají z jejich integrálních definic, které jsou definovány podobně jako funkce gama, ale s různými nebo „neúplnými“ integrálními limity. Funkce gama je definována jako integrál od nuly do nekonečna. To kontrastuje se spodní neúplnou funkcí gama, která je definována jako integrál od nuly do proměnné horní hranice. Podobně je horní neúplná funkce gama definována jako integrál od proměnné dolní hranice do nekonečna.

Definice

Horní neúplná funkce gama je definována jako:

${\ Displaystyle \ Gamma (s, x) = \ int _ {x}^{\ infty} t^{s-1} \, e^{-t} \, {\ rm {d}} t, \, \!}$

vzhledem k tomu, že nižší neúplná funkce gama je definována jako:

${\ Displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0}^{x} t^{s-1} \, e^{-t} \, {\ rm {d}} t. \, \ !}$

V obou případech, to je komplexní parametr, tak, že reálná část s je pozitivní.

Vlastnosti

Tím, integrace per partes najdeme opakování vztahy

${\ Displaystyle \ Gamma (s+1, x) = s \ Gamma (s, x)+x^{s} e^{-x}}$

a

${\ Displaystyle \ gamma (s+1, x) = s \ gamma (s, x) -x^{s} e^{-x}.}$

Protože běžná funkce gama je definována jako

${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0}^{\ infty} t^{s-1} \, e^{-t} \, {\ rm {d}} t}$

my máme

${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ Gamma (s, 0) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ gamma (s, x)}$

a

${\ Displaystyle \ gamma (s, x)+\ Gamma (s, x) = \ Gamma (s).}$

Pokračování ke komplexním hodnotám

Spodní neúplná gama a horní neúplná gama funkce, jak je definována výše pro skutečná kladná s a x , mohou být rozvinuta do holomorfních funkcí , s ohledem na x a s , definovaná pro téměř všechny kombinace komplexních x a s . Komplexní analýza ukazuje, jak se vlastnosti skutečných neúplných gama funkcí rozšiřují na jejich holomorfní protějšky.

Snižte neúplnou funkci gama

Holomorfní rozšíření

Opakovaná aplikace relapsu relace pro nižší neúplnou gama funkci vede k rozšíření výkonové řady : [2]

${\ Displaystyle \ gamma (s, x) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {x^{s} e^{-x} x^{k}} {s (s+ 1) \ cdots (s+k)}} = x^{s} \, \ Gamma (s) \, e^{-x} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {x ^{k}} {\ Gamma (s+k+1)}}.}$

Vzhledem k rychlému růstu v absolutní hodnotě z y ( z + K ) , kdy k  → ∞, a skutečnost, že převrácená hodnota y ( z ) je celá funkce , koeficienty v pravém částky jsou dobře definované, a místně součet jednotně konverguje pro všechna komplexní s a x . Weorstraßovou větou, omezující funkcí, někdy označovanou jako , ${\ displaystyle \ gamma ^{*}}$

${\ Displaystyle \ gamma^{*} (s, z): = e^{-z} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {z^{k}} {\ Gamma (s +k+1)}}}$ [3]

je celý s ohledem na z (pro fixní s ) i s (pro fixní z ) [4] , a tedy holomorfní na ℂ × ℂ podle Hartogovy věty [5] . Proto následující rozklad

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = z ^{s} \, \ Gamma (s) \, \ gamma ^{*} (s, z)}$ [6] ,

rozšiřuje skutečnou nižší neúplnou gama funkci jako holomorfní funkci , společně i samostatně v z a s . Z toho vyplývá z vlastností a y-funkce , že první dva faktory zachytit singularity z (v Z = 0, nebo to non-kladné číslo), zatímco poslední okolnost přispívá k jejímu nul. ${\ displaystyle z^{s}}$${\ displaystyle \ gamma (s, z)}$

Mnohocennost

Komplexní logaritmus log  z  = log | z | +  i  arg  z je určeno pouze pro násobek 2πi, což jej činí vícehodnotovým . Funkce zahrnující komplexní logaritmus obvykle dědí tuto vlastnost. Mezi ně patří komplexní moc , a protože se při jejím rozkladu objevuje z ^s , také funkce γ.

Neurčitost vícehodnotových funkcí přináší komplikace, protože musí být uvedeno, jak vybrat hodnotu. Strategie, jak to zvládnout, jsou:

• (nejobecnější způsob) nahraďte doménu ℂ vícehodnotových funkcí vhodným rozdělovačem v ℂ × ℂ zvaným Riemannův povrch . I když to odstraní mnohocennost, člověk musí znát teorii za tím [7] ;
• omezit doménu tak, aby se funkce s více hodnotami rozložila na samostatné větve s jednou hodnotou , které lze zpracovávat jednotlivě.

K správné interpretaci vzorců v této části lze použít následující sadu pravidel. Pokud není uvedeno jinak, předpokládá se následující:

Sektory

Sektory v ℂ mající svůj vrchol v z = 0 se často ukáží jako vhodné domény pro komplexní výrazy. Sektor D se skládá ze všech komplexů z splňujících z ≠ 0 a α - δ <arg z < α + δ s některými α a 0 < δ ≤ π . Často, α mohou být libovolně zvoleny, a není zadán potom. Není- li dáno δ , předpokládá se, že je π, a sektorem je ve skutečnosti celá rovina ℂ, s výjimkou polopřímky pocházející z z = 0 a směřující do směru- α , obvykle sloužící jako řez větví . Poznámka: V mnoha aplikacích a textech je α v tichosti považována za 0, což centruje sektor kolem kladné reálné osy.

Pobočky

Zejména existuje jednohodnotový a holomorfní logaritmus v jakémkoli takovém sektoru D, který má svou imaginární část vázanou na rozsah ( α - δ , α + δ ). Na základě takto omezeného logaritmu se z ^s a neúplné funkce gama zhroutí na jednohodnotové, holomorfní funkce na D (nebo ℂ × D ), nazývané větve jejich vícehodnotových protějšků na D. Přidání násobku 2π do α poskytuje jinou sadu korelovaných větví na stejnou sadu D . V jakémkoli daném kontextu se však předpokládá , že α je pevná a jsou s ní spojeny všechny zúčastněné větve. Pokud | α | < δ , větve se nazývají hlavní , protože se rovnají jejich skutečným analogům na kladné reálné ose. Poznámka: V mnoha aplikacích a textech platí vzorce pouze pro hlavní větve.

Vztah mezi větvemi

Hodnoty různých větví jak komplexní mocenské funkce, tak nižší neúplné gama funkce lze navzájem odvodit vynásobením [8] , pro k vhodné celé číslo. ${\ Displaystyle e^{2 \ pi \ mathrm {i} ks}}$

Chování blízko bodu odbočky

Výše uvedený rozklad dále ukazuje, že γ se chová blízko z = 0 asymptoticky jako:

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) \ asymp z^{s} \, \ Gamma (s) \, \ gamma^{*} (s, 0) = z^{s} \, \ Gamma (s) /\ Gamma (s+1) = z^{s}/s.}$

Pro kladné reálné x , y a s , x ^y /y → 0, když ( x , y ) → (0, s ). Zdá se, že to ospravedlňuje nastavení γ (s, 0) = 0 pro real s > 0. Záležitosti jsou v komplexní oblasti poněkud odlišné. Pouze pokud (a) je skutečná část s kladná a (b) hodnoty u ^v jsou převzaty pouze z konečné množiny větví, je zaručeno, že budou konvergovat k nule jako ( u , v ) → (0, s ), a stejně tak γ ( u , v ). Na jedné větve z y ( b ) je přirozeně splněna, takže tam γ ( s , 0) = 0 pro S s kladnou reálnou částí je kontinuální mez . Všimněte si také, že takové pokračování není v žádném případě analytické .

Algebraické vztahy

Všechny algebraické vztahy a diferenciální rovnice pozorované reálným γ ( s , z ) platí i pro jeho holomorfní protějšek. Je to důsledek věty o identitě [9] , která uvádí, že všude platí rovnice mezi holomorfními funkcemi platnými ve skutečném intervalu. Na odpovídajících větvích je zachován zejména vztah rekurence [10] a ∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{- z} [11] .

Integrální reprezentace

Poslední vztah nám říká, že pro pevné S , γ je primitivní nebo primitivní ze funkce holomorphic Z ^{s -1} e ^{- Z} . V důsledku toho [12] pro jakýkoli komplex u , v ≠ 0,

${\ Displaystyle \ int _ {u}^{v} t^{s-1} \, e^{-t} \, {\ rm {d}} t = \ gamma (s, v)-\ gamma ( s, u)}$

platí, pokud je cesta integrace zcela obsažena v doméně větve integrandu. Pokud je navíc skutečná část s kladná, pak platí mezní hodnota γ ( s , u ) → 0 pro u → 0, nakonec dospějeme ke komplexní integrální definici γ

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = \ int _ {0}^{z} t^{s-1} \, e^{-t} \, {\ rm {d}} t, \, \ Doporučení> 0.}$[13]

Zde platí jakákoli cesta integrace obsahující 0 pouze na jejím začátku, jinak omezená na doménu větve integrandu, například přímka spojující 0 a z .

Limit pro z → +∞

Skutečné hodnoty

Vzhledem k integrální reprezentaci hlavní větve γ platí pro všechna kladná reálná s, x následující rovnice: [14]

${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0}^{\ infty} t^{s-1} \, e^{-t} \, {\ rm {d}} t = \ lim _ { x \ rightarrow \ infty} \ gamma (s, x)}$

s komplexní

Tento výsledek se rozšiřuje na komplexní s . Předpokládejme nejprve 1 ≤ Re (s) ≤ 2 a 1 <a <b . Pak

${\ Displaystyle | \ gamma (s, b)-\ gamma (s, a) | \ leq \ int _ {a}^{b} | t^{s-1} | e^{-t} \, { \ rm {d}} t = \ int _ {a}^{b} t^{\ Re s-1} e^{-t} \, {\ rm {d}} t \ leq \ int _ {a }^{b} te^{-t} \, {\ rm {d}} t}$

kde

${\ Displaystyle | z^{s} | = | z |^{\ Re s} \, e^{-\ Im s \ arg z}}$[15]

byl použit uprostřed. Protože konečný integrál se stane libovolně malým, pokud je pouze a dostatečně velký, γ (s, x) konverguje rovnoměrně pro x → ∞ na pásku 1 ≤ Re (s) ≤ 2 směrem k holomorfní funkci, která musí být Γ (s), protože věty o identitě [16] . Vezmeme -li limit ve vztahu rekurence γ ( s , x ) = ( s  - 1) γ ( s  - 1, x ) -  x ^{s −1} e ^{- x} a poznamenáme, že lim x ⁿ e ^{- x} = 0 pro x → ∞ a všechna n, ukazuje, že γ (s, x) konverguje i mimo pás směrem k funkci, která dodržuje relační relaci funkce Γ. Následuje

${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ gamma (s, x)}$

pro všechny komplexní s ne non-pozitivní celé číslo, x skutečné a y jistinu.

Odvětvová konvergence

A teď u být ze sektoru | arg z | < δ < π /2 s určitými pevnými δ ( α = 0), γ je hlavní větev v tomto sektoru a podívejte se na

${\ Displaystyle \ Gamma (s)-\ gamma (s, u) = \ Gamma (s)-\ gamma (s, | u |)+\ gamma (s, | u |)-\ gamma (s, u) .}$

Jak je uvedeno výše, první rozdíl může být libovolně malý, pokud | u | je dostatečně velký. Druhý rozdíl umožňuje následující odhad:

${\ Displaystyle | \ gamma (s, | u |)-\ gamma (s, u) | \ leq \ int _ {u}^{| u |} | z^{s-1} e^{-z} | \, {\ rm {d}} z = \ int _ {u}^{| u |} | z |^{\ Re s-1} \, e^{-\ Im s \, \ arg z} \, e^{-\ Re z} \, {\ rm {d}} z,}$

kde jsme použili integrální reprezentaci γ a vzorec o | z ^s | výše. Integrujeme -li podél oblouku s poloměrem R = | u | kolem 0 spojující u a | u |, pak poslední integrál je

${\ Displaystyle \ leq R | \ arg u | \, R^{\ Re s-1} \, e^{\ Im s \, | \ arg u |} \, e^{-R \ cos \ arg u } \ leq \ delta \, R^{\ Re s} \, e^{\ Im s \, \ delta} \, e^{-R \ cos \ delta} = M \, (R \, \ cos \ delta)^{\ Re s} \, e^{-R \ cos \ delta}}$

kde M = δ (cos δ ) ^{-R e s} e ^{Im sδ} je konstanta nezávislá na u nebo R . Opět s odkazem na chování x ⁿ e ^{- x} pro velká x vidíme, že poslední výraz se blíží 0, protože R roste směrem k ∞. Celkem nyní máme:

${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ lim _ {| z | \ rightarrow \ infty} \ gamma (s, z), \ quad | \ arg z | <\ pi /2- \ epsilon,}$

pokud s není nezáporné celé číslo, 0 < ε < π /2 je libovolně malé, ale pevné a γ označuje hlavní větev v této doméně.

Přehled

${\ displaystyle \ gamma (s, z)}$ je:

• celé v z pro pevný, kladný integrál s;
• vícehodnotový holomorf v z pro pevná s není celé číslo, s bodem větvení v z = 0;
• na každé větvi meromorfní v s pro fixní z ≠ 0, s jednoduchými póly na non-kladná celá čísla s.

Horní neúplná funkce gama

Pokud jde o horní neúplnou funkci gama , holomorfní rozšíření, vzhledem k z nebo s , je dáno vztahem

${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) = \ Gamma (s)-\ gamma (s, z)}$ [17]

v bodech ( s , z ), kde existuje pravá strana. Vzhledem k tomu, že je vícehodnotové, platí totéž pro , ale omezení hlavních hodnot poskytuje pouze jednobodovou hlavní větev . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Když s je ve výše uvedené rovnici kladné celé číslo, není definována ani část rozdílu a chybějící hodnoty vyplní omezující proces , který se zde vyvinul pro s → 0. Komplexní analýza zaručuje holomorfitu , protože se ukazuje, že je ohraničena v blízkosti tohoto limitu pro pevný z [18] . ${\ displaystyle \ Gamma (s, z)}$

K určení limitu se ukáže jako užitečná řada výkonů při z = 0. Při nahrazení jeho mocninovými řadami v integrální definici jednoho získáme (předpokládejme zatím x , s kladné reálné hodnoty): ${\ displaystyle \ gamma ^{*}}$${\ displaystyle e^{-x}}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0}^{x} t^{s-1} e^{-t} \ operatorname {d} t = \ int _ {0}^{x } \ sum _ {k = 0}^{\ infty} (-1)^{k} \, {\ frac {t^{s+k-1}} {k!}} \ operatorname {d} t = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} (-1)^{k} \, {\ frac {x^{s+k}} {k! (s+k)}} = x^{s } \, \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {(-x)^{k}} {k! (s+k)}}}$

nebo

${\ Displaystyle \ gamma^{*} (s, x) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {(-x)^{k}} {k! \, \ Gamma (s ) (s+k)}}.}$ [19]

které jako sériové znázornění celé funkce konverguje pro všechna komplexní x (a všechna komplexní s nejsou kladná celá čísla). ${\ displaystyle \ gamma ^{*}}$

Díky zrušení omezení na skutečné hodnoty umožňuje řada rozšíření:

${\ Displaystyle \ gamma (s, z)-{\ frac {1} {s}} =-{\ frac {1} {s}}+z^{s} \, \ sum _ {k = 0}^ {\ infty} {\ frac {(-z)^{k}} {k! (s+k)}} = {\ frac {z^{s} -1} {s}}+z^{s} \, \ sum _ {k = 1}^{\ infty} {\ frac {(-z)^{k}} {k! (s+k)}}, \ quad \ Re (s)>-1, \, s \ neq 0.}$

Když s  → 0:

${\ Displaystyle {\ frac {z^{s} -1} {s}} \ rightarrow \ ln (z), \ quad \ Gamma (s)-{\ frac {1} {s}} = {\ frac { 1} {s}}-\ gamma +O (s)-{\ frac {1} {s}} \ rightarrow-\ gamma}$,

( je zde konstanta Euler – Mascheroni ), proto, ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ Gamma (0, z) = \ lim _ {s \ rightarrow 0} \ left (\ Gamma (s)-{\ tfrac {1} {s}}-(\ gamma (s, z)-{ \ tfrac {1} {s}}) \ right) =-\ gamma-\ ln (z)-\ sum _ {k = 1}^{\ infty} {\ frac {(-z)^{k}} {k \, (k!)}}}$

je omezující funkce pro horní neúplnou gama funkci jako s  → 0, také známá jako exponenciální integrál . ${\ displaystyle E_ {1} (z)}$

Z relace opakování lze z tohoto výsledku odvodit hodnoty pro kladná celá čísla n , ${\ displaystyle \ Gamma (-n, z)}$

${\ Displaystyle \ Gamma (-n, z) = {\ frac {1} {n!}} \ left ({\ frac {e^{-z}} {z^{n}}} \ sum _ {k = 0}^{n-1} (-1)^{k} (nk-1)! \, Z^{k}+(-1)^{n} \ Gamma (0, z) \ right)}$

takže horní funkce neúplné gama dokazuje existovat a být holomorphic, s ohledem jak na Z a S , pro všechny S a Z  ? 0.

${\ displaystyle \ Gamma (s, z)}$ je:

• celé v z pro pevný, kladný integrál s;
• vícehodnotový holomorf v z pro pevné s nenulové a ne kladné celé číslo, s bodem větvení v z = 0;
• = O s s kladnou reálnou částí a Z = 0 (limit když ), ale to je kontinuální prodloužení, není analytický jeden ( není držet pro reálné S <0!);${\ displaystyle \ Gamma (s)}$${\ Displaystyle (s_ {i}, z_ {i}) \ rightarrow (s, 0)}$
• na každé větvi celé v s pro pevné z ≠ 0.

Zvláštní hodnoty

• ${\ displaystyle \ Gamma (s+1,1) = {\ frac {\ lfloor es! \ rfloor} {e}}}$pokud s je kladné celé číslo ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (s, x) = (s-1)! \, e^{-x} \ sum _ {k = 0}^{s-1} {\ frac {x^{k}} { k!}}}$pokud s je kladné celé číslo ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (s, 0) = \ Gamma (s), \ Re (s)> 0}$,
• ${\ displaystyle \ Gamma (1, x) = e^{-x}}$,
• ${\ Displaystyle \ gamma (1, x) = 1-e^{-x}}$,
• ${\ displaystyle \ Gamma (0, x) =-\ jméno operátora {Ei} (-x)}$pro ,${\ displaystyle x> 0}$
• ${\ displaystyle \ Gamma (s, x) = x^{s} \ operatorname {E} _ {1-s} (x)}$,
• ${\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ sqrt {x}} \ right) }$,
• ${\ Displaystyle \ gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erf} \ left ({\ sqrt {x}} \ right) }$.

Zde, je exponenciální integrál , je zobecněný exponenciální integrál , je chybová funkce , a je komplementární chybová funkce , . ${\ displaystyle \ operatorname {Ei}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {erf}}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc}}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x)}$

Asymptotické chování

• ${\ displaystyle {\ frac {\ gamma (s, x)} {x^{s}}} \ rightarrow {\ frac {1} {s}}}$jako ,${\ displaystyle x \ rightarrow 0}$
• ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (s, x)} {x^{s}}} \ rightarrow -{\ frac {1} {s}}}$jako a (pro reálná s je chyba Γ ( s , x ) ~ - x ^s / s řádově O ( x ^{min { s + 1, 0}} ), pokud s ≠ −1 a O (ln ( x )) pokud s = −1 ),${\ displaystyle x \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ Re (s) <0}$
• ${\ Displaystyle \ gamma (s, x) \ rightarrow \ Gamma (s)}$jako ,${\ Displaystyle x \ rightarrow \ infty}$
• ${\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma (s, x)} {x^{s-1} e^{-x}}} \ rightarrow 1}$jako ,${\ Displaystyle x \ rightarrow \ infty}$
• ${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) \ sim z^{s-1} e^{-z} \ sum _ {k = 0} {\ frac {\ Gamma (s)} {\ Gamma (sk)} } z^{-k}}$jako asymptotická série, kde a .${\ displaystyle | z | \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ left | \ arg z \ right | <{\ tfrac {3} {2}} \ pi}$

Hodnotící vzorce

Funkci nižší gama lze vyhodnotit pomocí rozšíření výkonové řady: [20]

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {z^{s} e^{-z} z^{k}} {s (s+ 1) ... (s+k)}} = z^{s} e^{-z} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ dfrac {z^{k}} {s^ {\ overline {k+1}}}}}$

kde je symbol Pochhammer . ${\ displaystyle s^{\ overline {k+1}}}$

Alternativní rozšíření je

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{k}} {k!}} {\ frac {z^{s +k}} {s+k}} = {\ frac {z^{s}} {s}} M (s, s+1, -z),}$

kde M je Kummerova konfluentní hypergeometrická funkce .

Spojení s Kummerovou konfluentní hypergeometrickou funkcí

Když je skutečná část z kladná,

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = s^{-1} z^{s} e^{-z} M (1, s+1, z)}$

kde

${\ Displaystyle M (1, s+1, z) = 1+{\ frac {1! z} {(s+1) 1!}}+{\ frac {2! z^{2}} {(s +1) (s+2) 2!}}+{\ Frac {3! Z^{3}} {(s+1) (s+2) (s+3) 3!}}+\ Cdots}$

má nekonečný poloměr konvergence.

Opět se splývajícími hypergeometrickými funkcemi a využívající Kummerovu identitu,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (s, z) & = e^{-z} U (1-s, 1-s, z) = {\ frac {z^{s} e^{- z}} {\ Gamma (1 s)}} \ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {e^{-u}} {u^{s} (z+u)}} {\ rm {d}} u = \\ & = e^{-z} z^{s} U (1,1+s, z) = e^{-z} \ int _ {0}^{\ infty} e^{-u} (z+u)^{s-1} {\ rm {d}} u = e^{-z} z^{s} \ int _ {0}^{\ infty} e^ {-zu} (1+u)^{s-1} {\ rm {d}} u. \ end {aligned}}}$

Pro skutečný výpočet číselných hodnot poskytuje Gaussův pokračující zlomek užitečné rozšíření:

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = {\ cfrac {z^{s} e^{-z}} {s-{\ cfrac {sz} {s+1+{\ cfrac {z} {s+ 2-{\ cfrac {(s+1) z} {s+3+{\ cfrac {2z} {s+4-{\ cfrac {(s+2) z} {s+5+{\ cfrac {3z } {s+6- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Tento pokračující zlomek konverguje pro všechny komplexní z za předpokladu, že pouze s není záporné celé číslo.

Funkce horní gama má pokračující zlomek

${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) = {\ cfrac {z^{s} e^{-z}} {z+{\ cfrac {1-s} {1+{\ cfrac {1} {z+{\ cfrac {2-s} {1+{\ cfrac {2} {z+{\ cfrac {3-s} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}$

a

${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) = {\ cfrac {z^{s} e^{-z}} {1+z-s+{\ cfrac {s-1} {3+z-s+{\ cfrac {2 (s-2)} {5+z-s+{\ cfrac {3 (s-3)} {7+z-s+{\ cfrac {4 (s-4)} {9+z-s+\ ddots }}}}}}}}}}}$

Násobící věta

Platí následující věta o násobení :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma (s, z) & = {\ frac {1} {t^{s}}} \ sum _ {i = 0}^{\ infty} {\ frac {\ vlevo (1-{\ frac {1} {t}} \ vpravo)^{i}} {i!}} \ Gamma (s+i, tz) \\ & = \ Gamma (s, tz)-(tz )^{s} e^{-tz} \ sum _ {i = 1}^{\ infty} {\ frac {\ left ({\ frac {1} {t}}-1 \ right)^{i} } {i}} L_ {i-1}^{(si)} (tz). \ end {aligned}}}$

Softwarová implementace

Neúplné funkce gama jsou k dispozici v různých systémech počítačové algebry .

I když nejsou přímo k dispozici, lze však neúplné hodnoty funkcí vypočítat pomocí funkcí běžně obsažených v tabulkách (a balíčcích počítačové algebry). Například v aplikaci Excel je lze vypočítat pomocí funkce gama v kombinaci s funkcí distribuce gama .

Spodní neúplné funkce: .${\ displaystyle \ gamma (s, x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)

Horní neúplná funkce: .${\ displaystyle \ Gamma (s, x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

Ty vyplývají z definice funkce kumulativní distribuce distribuce gama .

Regulované gama funkce a Poissonovy náhodné proměnné

Dvě související funkce jsou regulované funkce gama:

${\ Displaystyle P (s, x) = {\ frac {\ gamma (s, x)} {\ Gamma (s)}},}$

${\ Displaystyle Q (s, x) = {\ frac {\ Gamma (s, x)} {\ Gamma (s)}} = 1-P (s, x).}$

${\ displaystyle P (s, x)}$je kumulativní distribuční funkce pro gama náhodné proměnné s parametrem shape a scale scale 1. ${\ displaystyle s}$

When is an integer, is the cumulative distribution function for Poisson random variables : If is a random variable then ${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle Q (s, \ lambda)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ rm {Poi}} (\ lambda)}$

${\ Displaystyle Pr (X <s) = \ sum _ {i <s} e ^{-\ lambda} {\ frac {\ lambda ^{i}} {i!}} = {\ frac {\ Gamma (s , \ lambda)} {\ Gamma (y)}} = Q (s, \ lambda).}$

Tento vzorec lze odvodit opakovanou integrací po částech.

Deriváty

Použití integrální reprezentaci výše, derivát horní funkce neúplné gama vzhledem k x je ${\ displaystyle \ Gamma (s, x)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné \ Gamma (s, x)} {\ částečné x}} =-x^{s-1} e^{-x}}$

Derivát vzhledem k jeho prvnímu argumentu je dán vztahem ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné \ Gamma (s, x)} {\ částečné s}} = \ ln x \ Gamma (s, x)+x \, T (3, s, x)}$

a druhý derivát od

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné ^{2} \ Gamma (s, x)} {\ částečné s ^{2}}} = \ ln ^{2} x \ Gamma (s, x)+2x [\ ln x \, T (3, s, x)+T (4, s, x)]}$

kde funkce je speciální případ Meijerovy G-funkce${\ Displaystyle T (m, s, x)}$

${\ Displaystyle T (m, s, x) = G_ {m-1, \, m}^{\, m, \, 0} \! \ left (\ left. {\ begin {matrix} 0,0, \ dots, 0 \\ s-1, -1, \ dots, -1 \ end {matrix}} \; \ right | \, x \ right).}$

Tento konkrétní speciální případ má vlastní vnitřní uzavírací vlastnosti, protože jej lze použít k vyjádření všech po sobě jdoucích derivací. Obecně,

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné ^{m} \ Gamma (s, x)} {\ částečné s ^{m}}} = \ ln ^{m} x \ Gamma (s, x)+mx \, \ sum _ {n = 0}^{m-1} P_ {n}^{m-1} \ ln^{mn-1} x \, T (3+n, s, x)}$

kde je permutace definována symbolem Pochhammer : ${\ displaystyle P_ {j}^{n}}$

${\ Displaystyle P_ {j}^{n} = \ left ({\ begin {array} {l} n \\ j \ end {array}} \ right) j! = {\ frac {n!} {(nj )!}}.}$

Všechny tyto deriváty lze generovat postupně z:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné T (m, s, x)} {\ částečné s}} = \ ln x ~ T (m, s, x)+(m-1) T (m+1, s ,X)}$

a

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné T (m, s, x)} {\ částečné x}} =-{\ frac {1} {x}} [T (m-1, s, x)+T ( m, s, x)]}$

Tuto funkci lze vypočítat z její sériové reprezentace platné pro , ${\ Displaystyle T (m, s, x)}$${\ displaystyle | z | <1}$

${\ Displaystyle T (m, s, z) =-{\ frac {(-1)^{m-1}} {(m-2)!}} {\ frac {{\ rm {d}}^{ m-2}} {{\ rm {d}} t^{m-2}}} \ left [\ Gamma (st) z^{t-1} \ right] {\ Big |} _ {t = 0 }+\ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n} z^{s-1+n}} {n! (-sn)^{m-1} }}}$

s tím, že s není záporné celé číslo nebo nula. V takovém případě musí člověk použít limit. Výsledky pro lze získat analytickým pokračováním . Některé zvláštní případy této funkce lze zjednodušit. Například , tam, kde je exponenciální integrál . Tyto deriváty a funkce poskytují přesná řešení řady integrálů opakovanou diferenciací integrální definice horní neúplné funkce gama. Například, ${\ displaystyle | z | \ geq 1}$${\ Displaystyle T (2, s, x) = \ Gamma (s, x)/x}$${\ Displaystyle x \, T (3,1, x) = {\ rm {E}} _ {1} (x)}$${\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x)}$${\ Displaystyle T (m, s, x)}$

${\ Displaystyle \ int _ {x}^{\ infty} {\ frac {t^{s-1} \ ln^{m} t} {e^{t}}} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ částečné^{m}} {\ částečné s^{m}}} \ int _ {x}^{\ infty} {\ frac {t^{s-1}} {e^{t} }} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ částečný ^{m}} {\ částečný s ^{m}}} \ Gamma (s, x)}$

Tento vzorec lze dále nafouknout nebo zobecnit na obrovskou třídu Laplaceových transformací a Mellinových transformací . V kombinaci s počítačovým algebraickým systémem poskytuje využití speciálních funkcí účinný způsob řešení určitých integrálů, zejména těch, se kterými se setkávají praktické inženýrské aplikace ( další podrobnosti viz Symbolická integrace ).

Neurčité a určité integrály

Následující neurčité integrály lze snadno získat pomocí integrace po částech (s konstantou integrace v obou případech vynechanou):

${\ Displaystyle \ int x^{b-1} \ gamma (s, x) \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {b}} \ left (x^{b} \ gamma (s, x )-\ gamma (s+b, x) \ vpravo),}$

${\ Displaystyle \ int x^{b-1} \ Gamma (s, x) \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {b}} \ left (x^{b} \ Gamma (s, x )-\ Gamma (s+b, x) \ vpravo).}$

Dolní a horní neúplná funkce gama jsou propojeny pomocí Fourierovy transformace :

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {\ gamma \ left ({\ frac {s} {2}}, z^{2} \ pi \ right)} {(z ^{2} \ pi)^{\ frac {s} {2}}}} e^{-2 \ pi ikz} \ mathrm {d} z = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {1 -s} {2}}, k^{2} \ pi \ right)} {(k^{2} \ pi)^{\ frac {1-s} {2}}}}.}$

Vyplývá to například z vhodné specializace ( Gradshteyn & Ryzhik 2015 , §7.642) . chyba harv: žádný cíl: CITEREFGradshteynRyzhik2015 ( nápověda )

Poznámky

Reference

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 6.5“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami . Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálního tisku s opravami (prosinec 1972); první vydání). Washington DC; New York: Ministerstvo obchodu USA, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 . „Neúplná funkce gama“ . §6.5.
• Allasia, Giampietro; Besenghi, Renata (1986). „Numerický výpočet neúplných gama funkcí lichoběžníkovým pravidlem“. Číslo. Math . 50 (4): 419–428. doi : 10,1007/BF01396662 . S2CID  121964300 .
• Amore, Paolo (2005). „Asymptotická a přesná reprezentace sérií pro neúplnou funkci gama“. Europhys. Lett . 71 (1): 1–7. arXiv : math-ph/0501019 . Bibcode : 2005EL ..... 71 .... 1A . doi : 10,1209/epl/i2005-10066-6 . MR  2170316 . S2CID  1921569 .
• G. Arfken a H. Weber. Matematické metody pro fyziky . Harcourt/Academic Press, 2000. (Viz kapitola 10.)
• DiDonato, Armido R .; Morris, Jr., Alfred H. (prosinec 1986). „Výpočet neúplných poměrů funkcí gama a jejich inverzní“. Transakce ACM na matematickém softwaru . 12 (4): 377–393. doi : 10,1145/22721,23109 . S2CID  14351930 .
• Barakat, Richard (1961). „Hodnocení neúplné gama funkce imaginární hádky Chebyshevovými polynomy“ . Matematika. Comp . 15 (73): 7–11. doi : 10,1090/s0025-5718-1961-0128058-1 . MR  0128058 .
• Čárský, Petr; Polasek, Martin (1998). „Neúplné funkce Gamma F_m (x) pro skutečné a složité argumenty“. J. Comput. Fyz . 143 (1): 259–265. Bibcode : 1998JCoPh.143..259C . doi : 10,1006/jcph.1998.5975 . MR  1624704 .
• Chaudhry, M. Aslam; Zubair, SM (1995). „O rozkladu zobecněných neúplných gama funkcí s aplikacemi na Fourierovy transformace“ . J. Comput. Appl. Math . 59 (101): 253–284. doi : 10,1016/0377-0427 (94) 00026-w . MR  1346414 .
• DiDonato, Armido R .; Morris, Jr., Alfred H. (září 1987). „Podprogramy ALGORITHM 654: FORTRAN pro výpočet neúplných poměrů funkcí gama a jejich inverzí“ . Transakce ACM na matematickém softwaru . 13 (3): 318–319. doi : 10,1145/29380.214348 . S2CID  19902932 . (Viz také www.netlib.org/toms/654 ).
• Früchtl, H .; Otto, P. (1994). „Nový algoritmus pro hodnocení neúplné funkce gama na vektorových počítačích“. ACM Trans. Matematika. Softw . 20 (4): 436–446. doi : 10,1145/198429.198432 . S2CID  16737306 .
• Gautschi, Walter (1998). „Neúplná funkce gama od doby Tricomi“. Atti Convegni Lincei . 147 : 203–237. MR  1737497 .
• Gautschi, Walter (1999). „Poznámka k rekurzivnímu výpočtu neúplných gama funkcí“. ACM Trans. Matematika. Softw . 25 (1): 101–107. doi : 10,1145/305658,305717 . MR  1697463 . S2CID  36469885 .
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Jurij Veniaminovič ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. „8,35.“ Ve Zwillingeru Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, řad a produktů . Přeložil Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. s. 908–911. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .
• Jones, William B .; Thron, WJ (1985). „O výpočtu neúplných gama funkcí v komplexní doméně“ . J. Comput. Appl. Math . 12–13: 401–417. doi : 10.1016/0377-0427 (85) 90034-2 . MR  0793971 .
• „Neúplná funkce gama“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathar, Richard J. (2004). „Numerická reprezentace neúplné gama funkce argumentu s komplexní hodnotou“. Numerické algoritmy . 36 (3): 247–264. arXiv : matematika/0306184 . Bibcode : 2004 NuAlg..36..247M . doi : 10,1023/B: NUMA.0000040063.91709.58 . MR  2091195 . S2CID  30860614 .
• Miller, Allen R .; Moskowitz, Ira S. (1998). „O některých generalizovaných neúplných funkcích gama“ . J. Comput. Appl. Math . 91 (2): 179–190. doi : 10,1016/s0377-0427 (98) 00031-4 .
• Paris, RB (2010), "Neúplná funkce gama" , v Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Paris, RB (2002). „Jednotná asymptotická expanze pro neúplnou funkci gama“ . J. Comput. Appl. Math . 148 (2): 323–339. Bibcode : 2002JCoAM.148..323P . doi : 10.1016/S0377-0427 (02) 00553-8 . MR  1936142 .
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Část 6.2. Neúplná funkce gama a chybová funkce“ . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Takenaga, Roy (1966). „O vyhodnocení neúplné funkce gama“ . Matematika. Comp . 20 (96): 606–610. doi : 10,1090/S0025-5718-1966-0203911-3 . MR  0203911 .
• Temme, Nico (1975). „Jednotná asymptotická rozšíření neúplných gama funkcí a neúplné beta funkce“ . Matematika. Comp . 29 (132): 1109–1114. doi : 10,1090/S0025-5718-1975-0387674-2 . MR  0387674 .
• Terras, Riho (1979). „Stanovení neúplných gama funkcí pomocí analytické integrace“. J. Comput. Fyz . 31 (1): 146–151. Bibcode : 1979JCoPh..31..146T . doi : 10,1016/0021-9991 (79) 90066-4 . MR  0531128 .
• Tricomi, Francesco G. (1950). „Sulla funzione gama Completa“. Ann. Rohož. Pura Appl . 31 : 263–279. doi : 10,1007/BF02428264 . MR  0047834 . S2CID  120404791 .
• Tricomi, FG (1950). „Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Gammafunktion“. Matematika. Z . 53 (2): 136–148. doi : 10,1007/bf01162409 . MR  0045253 . S2CID  121234109 .
• van Deun, Joris; Cools, Ronald (2006). „Stabilní opakování neúplné funkce gama s imaginárním druhým argumentem“. Číslo. Math . 104 (4): 445–456. doi : 10,1007/s00211-006-0026-1 . MR  2249673 . S2CID  43780150 .
• Winitzki, Serge (2003). „Výpočet neúplné funkce gama s libovolnou přesností“. Přednáška. Ne. Comp. Sci . Přednášky z informatiky. 2667 : 790–798. doi : 10,1007/3-540-44839-x_83 . ISBN 978-3-540-40155-1. MR  2110953 .
• Weisstein, Eric W. „Neúplná funkce gama“ . MathWorld .

externí odkazy

• ${\ displaystyle P (a, x)}$- Regulovaná nižší neúplná kalkulačka gama funkce
• ${\ displaystyle Q (a, x)}$- Regularizovaná horní neúplná kalkulačka gama funkce
• ${\ displaystyle \ gamma (a, x)}$- Dolní neúplná kalkulačka funkce gama
• ${\ displaystyle \ Gamma (a, x)}$- Horní neúplná kalkulačka funkcí gama
• vzorce a identity funkcí Neúplná funkce gama.wolfram.com