D modülü - D-module

Gelen matematik , bir D Modül a, modül bir fazla halka D bir diferansiyel operatörlerin . Bu tür D- modüllerinin ana ilgi alanı , doğrusal kısmi diferansiyel denklemler teorisine bir yaklaşımdır . Etrafında 1970 yılından bu yana, D Modül teori ağırlıklı düşüncelerine yanıt olarak, inşa edilmiş Mikio Sato üzerinde cebirsel analizler ve Sato ile çalışmalarına genişleyen Joseph Bernstein üzerinde Bernstein-Sato polinomun .

İlk önemli sonuçlar, Kashiwara inşa edilebilirlik teoremi ve Masaki Kashiwara'nın Kashiwara indeks teoremi idi . Yöntemleri D Modül teori her zaman çekilen edilmiştir demet teori ve çalışma esinlenerek diğer teknikler Alexander Grothendieck içinde cebirsel geometri . Yaklaşım küresel bir karaktere sahiptir ve geleneksel olarak farklı operatörleri incelemek için kullanılan fonksiyonel analiz tekniklerinden farklıdır. En güçlü sonuçlar, aşırı belirlenmiş sistemler ( holonomik sistemler ) için ve karakteristik çeşitlilikte elde edilir. semboller , iyi durumda olan bir olan Lagrange alt manifoldu arasında cotangent demeti maksimum boyuta (arasında involutive sistemleri ). Teknikler, tüm boyutlarda Riemann-Hilbert yazışmalarının genel, türetilmiş bir kategori versiyonunu elde eden Zoghman Mebkhout tarafından Grothendieck okulunun yanından alınmıştır .

Giriş: Weyl cebiri üzerinden modüller

Cebirsel D- modüllerinin ilk durumu , karakteristik sıfır olan bir K alanı üzerindeki Weyl cebiri A _n ( K ) üzerindeki modüllerdir . Aşağıdaki değişkenlerde polinomlardan oluşan cebirdir

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

x _i ve ∂ _j değişkenlerinin birbirleriyle ayrı ayrı değiştiği ve x _i ve ∂ _j i ≠ j için değiştiği , ancak komütatör ilişkiyi karşılar

[∂ _ben , x _ben ] = ∂ _ben x _ben - x _ben ∂ _ben = 1.

Herhangi bir polinom f ( x ₁ , ..., x _n ) için bu,

[∂ _ben , f ] = ∂ f / ∂ x _ben ,

böylece Weyl cebirini diferansiyel denklemlerle ilişkilendirir.

Bir (cebirsel) D- modülü, tanımı gereği, A _n ( K ) halkası üzerinde bir sol modüldür . Örnekleri D kendisi (sol çoğalması kendi üzerine etki eden), (değişmeli) cebri-modüller Weyl dahil polinom halka K [ x ₁ , ..., x _{, n} ], burada x _i ∂ çarpma sureti ile etki yapan ve _j sureti ile etki yapan kısmi x _j'ye göre farklılaşma ve benzer bir şekilde, C ⁿ üzerindeki holomorfik fonksiyonların halkası ( n karmaşık değişkenli fonksiyonlar .) ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C} ^ {n})}$

Bazı diferansiyel operatörler verildiğinde P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), burada x karmaşık bir değişkendir, a _i ( x ) polinomlardır, bölüm modülü M = A ₁ ( C ) / A ₁ ( C ) P , diferansiyel denklemin çözüm uzayıyla yakından bağlantılıdır.

P f = 0,

nerede f bazı holomorfik fonksiyonudur C , derler. Bu denklemin çözümlerinden oluşan vektör uzayı, D- modüllerinin homomorfizmlerinin uzayı ile verilir . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M, {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C}))}$

Cebirsel çeşitlerde D- modülleri

D- modüllerinin genel teorisi, K = C gibi karakteristik sıfır olan cebirsel olarak kapalı bir K alanı üzerinde tanımlanan pürüzsüz bir cebirsel çeşit X üzerinde geliştirilmiştir . Demet diferansiyel operatörler D _X olarak tanımlanır O _x cebiri tarafından üretilen vektör alanları ile ilgili X olarak yorumlanır, sözcükler . A (sol) D _X -modülü M , üzerinde D _X'in sol eylemi olan bir O _X -modülüdür . Böyle bir eylemin verilmesi, bir K -doğrusal harita belirtmeye eşdeğerdir

${\ displaystyle \ nabla: D_ {X} \ rightarrow \ operatorname {End} _ {K} (M), v \ mapsto \ nabla _ {v}}$

doyurucu

${\ displaystyle \ nabla _ {fv} (m) = f \, \ nabla _ {v} (m)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {v} (fm) = v (f) m + f \, \ nabla _ {v} (m)}$ ( Leibniz kuralı )

${\ displaystyle \ nabla _ {[v, w]} (m) = [\ nabla _ {v}, \ nabla _ {w}] (m)}$

Burada f , X üzerindeki düzenli bir fonksiyondur , v ve w vektör alanlarıdır, m , M'nin yerel bir bölümü , [-, -], komütatörü belirtir . Bu nedenle, M ek olarak yerel olarak serbesttir O _X veren Modül, M , bir D Modül yapı donatılması başka bir şey değildir vektör demeti ile ilişkili M bir düz (ya da entegre edilebilir) ile bağlantılı .

D _X halkası değişmez olduğundan, sol ve sağ D- modülleri ayırt edilmelidir. Bununla birlikte, iki tür modül arasında kategorilerin bir denkliği olduğu için, iki kavram değiştirilebilir, çünkü bir sol modül M , M or Ω _X tensör ürününe eşlenir , burada Ω _X , en yüksek dış kısım tarafından verilen hat demetidir. güç ve diferansiyel 1-form ile ilgili X . Bu paketin belirlediği doğal bir hak eylemi var:

ω ⋅ v  : = - Yalan _v (ω),

burada v birinci dereceden bir diferansiyel operatördür, yani bir vektör alanı, ω a n -form ( n = dim X ) ve Lie, Lie türevini belirtir .

Lokal olarak, bazı seçtikten sonra koordinat sistemi x ₁ , ..., x _{, n} ( n = loş X ) ile X bir temel ∂ belirlemek ₁ , ..., ∂ _n ait teğet alanı arasında X bölümlerine D _X ifadeler olarak benzersiz şekilde temsil edilebilir

${\ displaystyle \ sum f_ {i_ {1}, \ noktalar, i_ {n}} \ kısmi _ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ kısmi _ {n} ^ {i_ {n}}}$ Nerede olduğu düzenli fonksiyonları üzerinde X . ${\ displaystyle f_ {i_ {1}, \ noktalar, i_ {n}}}$

Özel olarak, X, bir n- boyutlu afin alanı , bu D _X- Weyl cebir n değişkenleri.

D- modüllerinin birçok temel özelliği yereldir ve uyumlu kasnakların durumuna paraleldir . Bu gerçeğine inşa D _X, a, lokal olarak serbest demeti arasında O _{, X} , yukarıda belirtildiği gibi, sonsuz sıranın olsa-modüller O _X -basis gösterir. Bir O _X -modülü olarak uyumlu olan bir D _X -modülünün zorunlu olarak yerel olarak serbest (sonlu sıralı) olduğu gösterilebilir.

İşlevsellik

Farklı cebirsel çeşitler üzerindeki D- modülleri, uyumlu kasnaklar için olanlarla karşılaştırılabilen geri çekme ve ileri itme işlevleriyle bağlanır . Bir İçin haritası f : X → Y pürüzsüz çeşitlerinin, tanımlar bu şunlardır:

D _{X → Y}  : = O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Bu, zincir kuralını taklit edecek şekilde bir sol D _X eylemi ve f ⁻¹ ( D _Y ) doğal sağ eylemi ile donatılmıştır . Geri çekilme şu şekilde tanımlanır:

f ^∗ ( M ): = D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Burada M bir sol D _Y- modülüdür, geri çekilmesi ise X üzerinden bir sol modüldür . Bu functor sağda tamdır, soldan türetilmiş functoru L f ^∗ olarak gösterilir . Tersine, doğru bir D _X modülü için N ,

f _∗ ( N ): = f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

doğru bir D _Y modülüdür. Bu, doğru tam tensör ürününü sol tam ileri itme ile karıştırdığından, bunun yerine ayarlanması yaygındır.

f _∗ ( N ): = R f _∗ ( N ⊗ ^L _{D X} D _{X → Y} ).

Bu nedenle, D- modülleri teorisinin çoğu, homolojik cebirin , özellikle türetilmiş kategorilerin tam gücü kullanılarak geliştirilmiştir .

Holonomik modüller

Weyl cebiri üzerinden holonomik modüller

Weyl cebirinin (sol ve sağ) Noetherian halkası olduğu gösterilebilir . Dahası, yine basit onun sadece iki taraflı, demek olduğunu, İdeal olan sıfır İdeal ve bütün halka. Bu özellikler, D- modüllerinin çalışmasını yönetilebilir kılar. Özellikle, Hilbert polinomu , modüllerin çokluğu ve uzunluğu gibi değişmeli cebirden standart kavramlar D- modüllerine taşınır . Daha kesin olarak, D _X ile donatılmıştır Bernstein süzme olup, filtrasyon şekilde F ^p bir _n ( K ) oluşmaktadır K diferansiyel operatörler -linear kombinasyonları X ^a ∂ ^p ile | α | + | β | ≤  p ( çoklu dizin gösterimi kullanarak ). İlişkili derecelendirilmiş halkanın , 2 n belirsizlikte polinom halkasına izomorfik olduğu görülmektedir . Özellikle değişmeli.

Sonlu olarak üretilen D -modülleri M , temelde Artin-Rees lemasının durumuna paralel olan, F ^∗ A _n ( K ) ile uyumlu olan "iyi" filtreleme F ^∗ M ile donatılmıştır . Hilbert polinomu, fonksiyona uyan sayısal polinom olarak tanımlanır

n ↦ dim _K F ⁿ M

Büyük için n . Bir A _n ( K ) -modül M'nin d ( M ) boyutu , Hilbert polinomunun derecesi olarak tanımlanır. Bernstein eşitsizliği ile sınırlıdır

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

Boyutu mümkün olan en az değere, n'ye ulaşan bir modüle holonomik denir .

Bir ₁ ( K ) Modül E = A ₁ ( K ) / A ₁ ( K ) P (yukarı bakınız) bir sıfır olmayan diferansiyel operatör için holonomik olan P , ancak daha yüksek boyutlu Weyl Cebirlerin için de benzer bir talebi tutmaz.

Genel tanım

Yukarıda bahsedildiği gibi, Weyl cebiri üzerindeki modüller afin uzaydaki D -modüllerine karşılık gelir . Bernstein filtrasyonu , genel X çeşitleri için D _X üzerinde mevcut değildir , tanım, diferansiyel operatörlerin sırasına göre tanımlanan D _X üzerinde sıralı filtreleme yoluyla keyfi afin yumuşak X çeşitlerine genelleştirilmiştir . İlişkili derecelendirilmiş halka gr D _X , kotanjant demeti T ^∗ X üzerindeki düzenli fonksiyonlarla verilir .

Karakteristik çeşitli arasında altcins olarak tanımlanır cotangent demeti tarafından kesilip kökü arasında sõfõrlayõcõlõ gr M yine E (siparişi süzme ile ilgili olarak, uygun bir filtre ile donatılmış D _X ). Her zamanki gibi, afin yapı daha sonra keyfi çeşitlere yapışır.

Bernstein eşitsizliği, herhangi bir (pürüzsüz) X türü için geçerli olmaya devam ediyor . Üst sınır, kotanjant demeti açısından gr D _X'in yukarıdaki yorumunun doğrudan bir sonucu iken, alt sınır daha incedir.

Özellikler ve nitelendirmeler

Holonomik modüller, sonlu boyutlu vektör uzayları gibi davranma eğilimindedir. Örneğin uzunlukları sonludur. Ayrıca, M , ancak ve ancak L i ^∗ ( M ) kompleksinin tüm kohomoloji grupları sonlu boyutlu K - vektör uzayları ise, burada i , X'in herhangi bir noktasının kapalı daldırılması ise, holonomiktir .

Herhangi bir D modülü M için , ikili modül şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle \ mathrm {D} (M): = {\ mathcal {R}} \ operatorname {Hom} (M, D_ {X}) \ otimes \ Omega _ {X} ^ {- 1} [\ dim X ].}$

Holonomik birimin de bir ile karakterize edilebilir homoloji durumda: E D (sadece eğer varsa holonomik olan E ) konsantre edilir (türetilmiş kategoride bir amacı olarak görülen D derece 0 olarak-modüller) Bu durum, bir birinci bakış olduğunu Verdier dualite ve Riemann-Hilbert yazışmaları . Düzenli halkaların homolojik çalışmasını (özellikle küresel homolojik boyutla ilgili olanı ) filtrelenmiş halka D _X'e genişleterek kanıtlanmıştır .

Holonomik modüllerin başka bir karakterizasyonu, semplektik geometri yoluyladır . Karakteristik çeşitli Ch ( M herhangi bir) D Modül M , T demeti konjant bir altcins olarak görülmektedir ^* X bir X , bir involutive çeşitli. Modül, ancak ve ancak Ch ( M ) Lagrangian ise holonomiktir .

Başvurular

Holonomik D- modüllerinin ilk uygulamalarından biri Bernstein-Sato polinomuydu .

Kazhdan-Lusztig varsayımı

Kazhdan-Lusztig varsayım kullanılarak kanıtlandı D -modüller.

Riemann-Hilbert yazışmaları

Riemann-Hilbert yazışma belli arasında bir bağlantı kurar Ge -modüller ve constructible kasnaklar. Bu nedenle, sapkın kasnakları tanıtmak için bir motivasyon sağladı .

Geometrik temsil teorisi

D- modülleri ayrıca geometrik temsil teorisinde de uygulanır . Bu alandaki ana sonuç, Beilinson-Bernstein lokalizasyonudur . Bu ilgilidir D ile-modüller bayrak çeşitleri G / B temsilleri için Lie cebir a indirgeyici grubu G . D- modülleri, geometrik Langlands programının formülasyonunda da çok önemlidir . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Referanslar

• Beilinson, AA ; Bernstein, Joseph (1981), "Localization de g -modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, ISSN   0249-6291 , MR   0610137
• Björk, J.-E. (1979), Diferansiyel operatörlerin halkaları , North-Holland Mathematical Library, 21 , Amsterdam: North-Holland, ISBN   978-0-444-85292-2 , MR   0549189
• Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Kazhdan – Lusztig varsayımı ve holonomik sistemler", Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272 , ISSN   0020-9910 , MR   0632980
• Coutinho, SC (1995), Cebirsel D- modülleri astarı , Londra Matematik Derneği Öğrenci Metinleri, 33 , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-55119-9 , MR   1356713
• Borel, Armand , ed. (1987), Cebirsel D-Modülleri , Matematikte Perspektifler, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN   978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], "D-modülü" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D- modülleri, sapık kasnaklar ve temsil teorisi (PDF) , Matematikte İlerleme, 236 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN   978-0-8176-4363-8 , MR   2357361 , orijinalinden (PDF) 2016-03-03 tarihinde arşivlendi , 2009-12-10 tarihinde alındı

Dış bağlantılar

• Bernstein, Joseph , D- modüllerinin Cebirsel teorisi (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Lectures on Geometric Representation Theory (PDF) , 2015-03-26 tarihinde orjinalinden (PDF) arşivlenmiş , 2011-12-14 tarihinde alındı
• Milicic, Dragan, D- Modüllerin Cebirsel Teorisi Üzerine Dersler