Bağlantı (vektör paketi) - Connection (vector bundle)

Gelen matematik ve özellikle farklı geometri ve ayar teorisi , bir bağlantı , bir ile elyaf demetinin bir kavramını tanımlayan bir cihaz , paralel taşıma demeti üzerine; yani, yakın noktalardaki lifleri "bağlamanın" veya tanımlamanın bir yolu. En yaygın durum, paralel taşıma kavramının doğrusal olması gereken bir vektör demeti üzerindeki doğrusal bağlantıdır . Doğrusal bir bağlantı, paralel bölümlerin sıfır türevine sahip olacak şekilde, taban manifoldundaki teğet yönler boyunca demetin bölümlerini farklılaştıran bir operatör olan bir kovaryant türevi tarafından eşdeğer olarak belirtilir . Lineer bağlantıları keyfi vektör demetleri için, genelleme, Levi-Civita bağlantısı üzerinde tanjant demeti a sözde Riemann manifoldu farklılaştığı vektör alanları için standart bir yol verir. Doğrusal olmayan bağlantılar, bu kavramı, lifleri mutlaka doğrusal olmayan demetlere genelleştirir.

Lineer bağlantılar, onları tanımlamak için cebirsel bir çerçeve veren Jean-Louis Koszul'dan sonra Koszul bağlantıları olarak da adlandırılır ( Koszul 1950 ).

Bu makale, koordinatları vurgulayan ortak bir matematiksel gösterim kullanarak bir vektör demeti üzerindeki bağlantıyı tanımlar. Bununla birlikte, başka gösterimler de düzenli olarak kullanılmaktadır: genel görelilikte , vektör demeti hesaplamaları genellikle indeksli tensörler kullanılarak yazılır; içinde ayar teorisi , vektör uzayı liflerin endomorfizmaları vurgulanıyor. Metrik bağlantılar hakkındaki makalede tartışıldığı gibi farklı gösterimler eşdeğerdir (burada yapılan yorumlar tüm vektör demetleri için geçerlidir).

Motivasyon

Bir vektör demetinin bir bölümü, standart vektör değerli bir fonksiyonun önemsiz vektör demetinin bir bölümü olarak görülebileceği anlamında, bir manifold üzerindeki bir fonksiyon kavramını genelleştirir . Bu nedenle, bir vektör alanının nasıl ayırt edildiğine benzer bir şekilde bir kesiti ayırt etmenin mümkün olup olmadığını sormak doğaldır. Vektör demeti sözde Riemann manifoldunun teğet demeti olduğunda , bu soru doğal olarak teğet demeti üzerindeki sözde Riemann metriğiyle uyumlu benzersiz burulma içermeyen bağlantı olan Levi-Civita bağlantısı tarafından yanıtlanır . Genel olarak, bölümleri ayırt etmek için böyle bir doğal yol seçeneği yoktur. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M}$

Bir demetin bir bölümü, tabandan vektör demetinin liflerine doğru genelleştirilmiş bir fonksiyon olarak görülebilir. Bu, yukarıdaki şekilde olduğu gibi bölümün grafiği ile görselleştirilebilir.

Model durumu, Öklid uzayında -bileşenli bir vektör alanını ayırt etmektir . Bu ayarda, yöndeki bir noktada türev basitçe şu şekilde tanımlanabilir: ${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili dX}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

Her söz konusu Bildirimi , yeni bir vektör tanımladıktan türevi böylece yönünde yeni vermiştir üzerinde bileşenli vektör alanını . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Bir manifold üzerindeki bir vektör demetinin bir bölümüne geçerken , bu tanımla ilgili iki temel sorunla karşılaşılır. İlk olarak, manifold doğrusal bir yapıya sahip olmadığı için terim ' de bir anlam ifade etmez . Bunun yerine tek bir yol alır , öyle ki ve hesaplar ${\displaystyle X\in \Gama (E)}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle x+tv}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \gama :(-1,1)\M'ye}$${\görüntüleme stili \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

Ancak bu yine de mantıklı değil, çünkü fiberdeki bir vektör over , ve , fiber over , bu da farklı bir vektör uzayı. Bu, farklı vektör uzaylarında bulunan bu iki terimin çıkarılmasını anlamlandırmanın bir yolu olmadığı anlamına gelir. ${\displaystyle X(\gamma (t))\in E_{\gamma (t)}}$${\görüntüleme stili \gama (t)}$${\displaystyle X(\gamma (0))=X(x)\in E_{x}}$${\görüntüleme stili x}$

Amaç, bir vektör kümesinin bölümlerini vektör alanları yönünde farklılaştırmanın bir yolunu bularak ve vektör kümesinin başka bir bölümünü geri alarak yukarıdaki bilmeceyi çözmektir. Bu sorunun olası üç çözümü vardır. Her üçü de bölümlerin nasıl ayırt edileceğine dair bir seçim yapmayı gerektirir ve sadece Riemann manifoldundaki teğet demeti gibi özel ayarlarda böyle bir seçim doğaldır.

1. ( Paralel taşıma ) Sorun, vektörlerin ve ' nin farklı liflerinde yer alması olduğu için, bir çözüm sıfıra yakın tümü için bir izomorfizm tanımlamaktır . Bu izomorfizmi kullanarak bir kişi fibere taşınabilir ve ardından farkı alabilir. açıkça,${\görüntüleme stili X(\gama (t))}$${\görüntüleme stili X(x)}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili X(\gama (t))}$${\displaystyle E_{x}}$
   $${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0)) }{T}}.}$$

   
   Bu paralel taşıma ve izomorfizmleri seçimi eğriler için de bir bölüm nasıl ayırt tanımı olarak alınabilir.${\displaystyle P_{t}^{\gama }}$${\görüntüleme stili \gama }$${\görüntüleme stili M}$
2. ( Ehresmann bağlantısı ) Düz manifoldların bir haritasının diferansiyel kavramını kullanın . Bir bölüm tanımı gereği düzgün bir haritadır, öyle ki . Bunun bir vektör alanı için olan özelliği ile bir diferansiyeli vardır . Ancak, kişi bunun yerine kendisinin bir parçası olmak ister . Aslında, dikey demet , aynı fiber ile birlikte geri çekilmesidir . Tek bir projeksiyon seçerse vektör demetlerinin, bu projeksiyon ile beste toprak olacaktır geri . Buna vektör demeti üzerinde doğrusal bir Ehresmann bağlantısı denir . İzdüşüm operatörlerinin birçok seçeneği vardır, dolayısıyla genel olarak bir vektör alanını farklılaştırmanın birçok farklı yolu vardır.${\görüntüleme stili s\in \Gama (E)}$${\displaystyle s:M\to E}$${\displaystyle \pi \circ s=\operatöradı {Id} }$${\displaystyle ds:TM\to TE}$${\displaystyle ds(X)\in \Gama (TE)}$${\displaystyle X\in \Gama (TM)}$${\görüntüleme stili ds(X)}$${\görüntüleme stili E}$ ${\displaystyle V\alt küme TE}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\displaystyle \nu :TE\to V}$${\görüntüleme stili ds(X)}$${\görüntüleme stili E}$${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\displaystyle \nu :TE\to V}$
3. ( Kovaryant türev ) Üçüncü çözüm, bir vektör demetinin bir bölümünün türevinin sahip olması gereken özellikleri soyutlamak ve bunu aksiyomatik bir tanım olarak almaktır. Bu, bu makalede açıklanan bir bağlantı veya kovaryant türevi kavramıdır . Yukarıdaki diğer iki yaklaşımın her ikisinin de farklılaşmanın bu aksiyomatik tanımına eşdeğer olduğu gösterilebilir.

Resmi tanımlama

Izin bir düzgün vektör demeti bir fazla türevlenebilir manifold . Pürüzsüz alanını Ifade bölümleri arasında tarafından . Bir bağlantı üzerinde bir bir - lineer harita (veya vektör demeti olduğunda kompleks vektör demeti , bir -linear harita) ${\ Displaystyle E\'den M'ye}$ ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili \Gama (E)}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \nabla :\Gama (E)\to \Gama (T^{*}M\otimes E)}$

öyle ki Leibniz kuralı

${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$

üzerindeki tüm düzgün işlevler ve tüm düzgün bölümleri için geçerlidir . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili E}$

Eğer bir teğet vektör alanı ise (yani teğet demetinin bir bölümü ) üzerinde bir kovaryant türevi tanımlanabilir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili M}$ ${\ Displaystyle TM}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle \nabla _{X}:\Gama (E)\to \Gama (E)}$

bağlantıda ortaya çıkan kovaryant indeksi ile sözleşme yaparak: . Kovaryant türevi şunları sağlar: ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \nabla _{X}(s)=(\nabla(s))(X)}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\nabla \!_{X}(s_{1}{+}s_{2})\ =\ \nabla \!_{X}s_{1}+\nabla \ !_{X}s_{2}\\&\nabla \!_{(X_{1}{+}X_{2})}s\ =\ \nabla \!_{X_{1}}s+\nabla \!_{X_{2}}s\\&\nabla \!_{X}(fs)\ =\ f\,\nabla \!_{X}s+X(f)s\\&\nabla \!_{fX}s\ =\ f\,\nabla \!_{X}s.\end{hizalı}}}$

Tersine, yukarıdaki özellikleri sağlayan herhangi bir operatör, üzerinde bir bağlantı tanımlar ve bu anlamda bir bağlantı, üzerinde kovaryant türevi olarak da bilinir . ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$

indüklenmiş bağlantılar

Verilen bir vektör demeti , oluşturulabilecek birçok ilişkili demet vardır, örneğin ikili vektör demeti , tensör güçleri , simetrik ve antisimetrik tensör güçleri ve doğrudan toplamlar . Bir bağlantı, bu ilişkili paketlerden herhangi birinde bir bağlantıya neden olur. İlişkili demetler üzerindeki bağlantılar arasında geçiş kolaylığı, ana demet bağlantıları teorisi tarafından daha zarif bir şekilde yakalanır , ancak burada bazı temel indüklenmiş bağlantıları sunuyoruz. ${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E^{*}}$${\görüntüleme stili E^{\otimes k}}$${\ Displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$${\ Displaystyle E^{\oplus k}}$${\görüntüleme stili E}$

Çift bağlantı

Bir bağlantı verildiğinde , indüklenen ikili bağlantı açık olarak şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili E}$ ${\görüntüleme stili\nabla ^{*}}$${\görüntüleme stili E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\ aralık.}$

Burada düz bir vektör alanı olduğu bir kesitidir ve iki paket bir kesit, ve bir vektör alanı ve (arasındaki her bir fiber meydana gelen onun çift arasındaki doğal eşleştirme ve ). Bu tanımın, eşleştirme için doğal bir çarpım kuralının yerine getirilmesi için bağlantının esasen zorlayıcı olduğuna dikkat edin . ${\displaystyle X\in \Gama (TM)}$${\görüntüleme stili s\in \Gama (E)}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle \xi \in \Gama (E^{*})}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E^{*}}$${\görüntüleme stili\nabla ^{*}}$${\görüntüleme stili E^{*}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Tensör ürün bağlantısı

Verilen iki vektör demetleri üzerinde bağlantıları tanımlayan tensör ürün bağlantısı , aşağıdaki formül ile ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\ Displaystyle E, F\'den M'ye}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

İşte bizde . Bu, tensör ürün bağlantısı için ürün kuralını uygulamak için birleştirmenin doğal yoludur . Tensör ürüne uygulanan yukarıdaki yapı tekrarlanan uygulanmasıyla , bir de elde tensör güç bağlantısı ile ilgili herhangi vektör demeti . ${\displaystyle s\in \Gama (E),t\in \Gama (F),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$${\görüntüleme stili E^{\otimes k}}$${\görüntüleme stili k\geq 1}$${\görüntüleme stili E}$

Doğrudan toplam bağlantı

Doğrudan toplam bağlantısı ile tanımlanır

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X }^{F}(t),}$

nerede . ${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$

Simetrik ve harici güç bağlantıları

Bir vektör demetinin simetrik gücü ve dış gücü, doğal olarak tensör gücünün alt uzayları olarak görülebildiğinden , tensör çarpım bağlantısının tanımı bu ayara doğrudan uygulanır. Gerçekten de, simetrik ve dış cebirler tensör cebirinin içinde doğrudan toplamlar olarak bulunduğundan ve bağlantı bu doğal bölünmeye saygı duyduğundan, kişi basitçe bu toplamalarla sınırlandırılabilir . Açıkça, simetrik ürün bağlantısını şu şekilde tanımlayın : ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\alt küme E^{\otimes k}}$${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili\nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\cdot t+s\cdot \nabla _{X}t}$

ve dış ürün bağlantısı tarafından

${\displaystyle \nabla _{X}^{\kama 2}(s\kama t)=\nabla _{X}s\kama t+s\kama \nabla _{X}t}$

hepsi için . Bu ürünlerin tekrarlanan uygulamaları sırasıyla ve üzerinde indüklenmiş simetrik güç ve dış güç bağlantıları verir . ${\displaystyle s,t\in \Gama (E),X\in \Gama (TM)}$${\ Displaystyle S^{k}E}$${\ Displaystyle \ Lambda ^{k}E}$

endomorfizm bağlantısı

Son olarak, endomorfizmlerin vektör demeti üzerindeki indüklenmiş bağlantı , endomorfizm bağlantısı tanımlanabilir . Bu basitçe, on ve on ikili bağlantının tensör ürün bağlantısıdır . Eğer ve , kompozisyonun da olması için, endomorfizm bağlantısı için aşağıdaki çarpım kuralı geçerlidir: ${\displaystyle \nabla ^{\operatöradı {Son} {E}}}$${\displaystyle \operatöradı {Son} (E)=E^{*}\otimes E}$${\görüntüleme stili\nabla ^{*}}$${\görüntüleme stili E^{*}}$${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili s\in \Gama (E)}$${\displaystyle u\in \Gama (\operatöradı {End} (E))}$${\görüntüleme stili u(s)\in \Gama (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatör adı {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s )))$

Bu denklemi tersine çevirerek, endomorfizm bağlantısını tatmin edici tek bağlantı olarak tanımlamak mümkündür.

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatöradı {Son} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s ))}$

any için , böylece ilk önce ikili bağlantı ve tensör ürün bağlantısını tanımlama gereğini ortadan kaldırır. ${\görüntüleme stili u,s,X}$

Herhangi bir ilişkili paket

Bir vektör demeti Verilen değerde ve her temsil doğrusal gruba , ilişkili vektör demeti üzerinde indüklenen bir bağlantı vardır . Bu teori, en özlü anapara demet bağlantısına geçirilerek yakalanır çerçeve demeti arasında ve temel demetlerinin teorisi kullanılarak. Yukarıdaki örneklerin her biri, bu yapının özel durumları olarak görülebilir: ikili demet, ters devrik (veya ters ek) gösterime, tensör çarpımı tensör çarpım temsiline, doğrudan toplam, doğrudan toplam temsiline karşılık gelir ve böylece üzerinde. ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili r}$${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$${\displaystyle G\altküme\mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle F=E\times _{\rho }V}$${\görüntüleme stili E}$

Dış kovaryant türev ve vektör değerli formlar

Izin bir vektör demeti olabilir. Bir -valued farklı form derece bir kesitidir tensör ürün demeti: ${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili r}$

${\displaystyle \büyük kama ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

Bu tür formların alanı ile gösterilir

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\sağ)=\ Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gama (E),}$

burada son tensör ürünü, üzerindeki düzgün fonksiyonların halkası üzerindeki modüllerin tensör ürününü belirtir . ${\görüntüleme stili M}$

Bir 0 biçimli demetinin bir kesitidir -valued . Yani, ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$

${\görüntüleme stili \Omega ^{0}(E)=\Gama (E).}$

Bu gösterimde bir bağlantı, doğrusal bir haritadır. ${\ Displaystyle E\'den M'ye}$

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

Daha sonra bir bağlantı, vektör demeti değerli formlara dış türevin bir genellemesi olarak görülebilir . Aslında, bir bağlantı verilen üzerinde uzatmak için benzersiz bir yolu vardır bir karşı dış eşdeğişkin türevi${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili\nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

Bu dış kovaryant türevi, formun basit tensörleri üzerinde belirtilen ve doğrusal olarak genişletilen aşağıdaki Leibniz kuralı ile tanımlanır : ${\displaystyle \omega \otimes s}$

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \kama \nabla s}$

nerede öyle ki , bir bölümdür ve tek biçimli kısmı ile kama tarafından tanımlanan değerlerle -formu belirtir . Bildirim için bu -valued 0-formları, bu kurtarır bağlantı için, normal Leibniz kuralı . ${\görüntüleme stili \omega \in \Omega ^{r}(M)}$${\görüntüleme stili \deg \omega =r}$${\görüntüleme stili s\in \Gama (E)}$${\ Displaystyle \ omega \ kama \ nabla s}$${\ Displaystyle r+1}$${\görüntüleme stili E}$${\ Displaystyle \ omega }$${\görüntüleme stili\nabla s}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili\nabla }$

Sıradan dış türevden farklı olarak, genellikle . Aslında, doğrudan bağlantının eğriliği ile ilgilidir (aşağıya bakınız ). ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\görüntüleme stili\nabla }$

Bağlantı kümesinin afin özellikleri

Bir manifold üzerindeki her vektör demeti , birliğin bölümleri kullanılarak kanıtlanabilecek bir bağlantıyı kabul eder . Ancak, bağlantılar benzersiz değildir. Eğer ve iki bağlantı açıksa , farkları -lineer bir operatördür. Yani, ${\görüntüleme stili \nabla _{1}}$${\displaystyle \nabla _{2}}$${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\görüntüleme stili C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

üzerindeki tüm düzgün işlevler ve tüm düzgün bölümleri için . Farklılığın , endomorfizm demetindeki değerlerle tek bir form ile benzersiz bir şekilde tanımlanabileceğini takip eder : ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \operatöradı {Son} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

Tersine, eğer bir bağlantı açıksa ve içindeki değerlere sahip tek biçimli bir açıksa , o zaman bir bağlantı açık olur . ${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \operatöradı {Bitiş} (E)}$${\görüntüleme stili\nabla +A}$${\görüntüleme stili E}$

Başka bir deyişle, bağlantıların uzay üzerinde bir olan afin uzay için . Bu afin uzay genellikle gösterilir . ${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatöradı {Son} (E))}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$

Anapara ve Ehresmann bağlantıları ile ilişkisi

Izin değerde bir vektör demeti olabilir ve izin olmak ana çerçeve demeti arasında . Ardından, (ana) bağlantısı , üzerinde bir bağlantıya neden olur . Öncelikle bölümlerin sağ-eşdeğerli haritalarla birebir örtüştüğüne dikkat edin . (Bu göz önüne alınarak görülebilir geri çekilme ve over izomorf, önemsiz paket .) Bir kesit alındığında ait karşılık gelen equivariant harita olsun . Kovaryant türevi daha sonra şu şekilde verilir: ${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}(E)}$ ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}(E)}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili \psi(ler)}$${\görüntüleme stili E}$

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi(s))}$

burada bir yatay asansör arasında gelen için . (Yatay kaldırmanın üzerindeki bağlantı ile belirlendiğini hatırlayın .) ${\görüntüleme stili X^{H}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}(E)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}(E)}$

Tersine, bir bağlantı on üzerinde bir bağlantıyı belirler ve bu iki yapı karşılıklı olarak terstir. ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}(E)}$

İlgili bir bağlantı da ile eşdeğer belirlenir doğrusal Ehresmann bağlantısı ile . Bu, ilişkili ana bağlantıyı oluşturmak için bir yöntem sağlar. ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$

Tartışılan kaynaklı bağlantılar #Induced bağlantı çerçeve demetine diğer ilgili demetleri üzerinde bağlantıları olarak teşkil edilebilir , yukarıda kullanılan standart temsil dışında gösterilişleri kullanarak. Örneğin , on öğesinin standart gösterimini ifade ediyorsa , on gösterimiyle ilişkili demet doğrudan toplam demettir ve indüklenen bağlantı tam olarak yukarıda açıklanan bağlantıdır. ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili \rho }$${\displaystyle \operatöradı {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \rho \oplus \rho }$${\displaystyle \operatöradı {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$${\ Displaystyle E\oplus E}$

Yerel ifade

Rütbenin bir vektör demeti olsun ve üzerinde önemsiz olanın açık bir altkümesi olsun . Bu nedenle kümesi üzerinde , yerel kabul düz çerçeve bölümlerinin ${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

Çerçeve yana bir lif temelini tanımlayan herhangi bir herhangi bir yerel bölümü genişletebilir çerçeve olarak ${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle E_{x}}$${\ Displaystyle x\ U}$${\displaystyle s:U\to \left.E\sağ|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

pürüzsüz işlevlerin bir koleksiyonu için . ${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

Bir bağlantı göz önüne alındığında üzerinde , ifade etmek mümkündür üzerinden bağlantı için karakteristik ürün kuralı kullanarak, bölümlerin lokal çerçevesi açısından. Herhangi bir baz bölümü için , miktar yerel çerçevede genişletilebilir olarak ${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

yerel tek formların bir koleksiyonu nerede . Bu formlar, tarafından tanımlanan tek formlu bir matrise yerleştirilebilir. ${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{ \ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U})) )}$

over ' nin yerel bağlantı formu olarak${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili U}$ adlandırılır . Herhangi bir bölümdeki eylem , çarpım kuralının şu şekilde kullanılmasıyla hesaplanabilir:${\görüntüleme stili\nabla }$${\displaystyle s:U\to \left.E\sağ|_{U}}$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}(ds^{j}+A_{i}^{\ j}s^{i})\otimes e_{j }.}$

Yerel kesit ayrıca yerel çerçeveyi temel alarak bir sütun vektörü olarak matris notasyonunda yazılırsa , ${\görüntüleme stili s}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\başlangıç{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

sonra normal matris çarpımı kullanarak yazabilirsiniz

${\displaystyle \nabla(s)=ds+As}$

burada bir sütun vektörü olarak her bir bileşenine dış türevi uygulamak için kısa yoldur . Bu gösterimde, genellikle yerel olarak yazılır . Bu anlamda bir bağlantı, bazı önemsizleştirmelerde tek biçimli bağlantısıyla yerel olarak tamamen belirtilir. ${\görüntüleme stili ds}$ ${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili s}$${\displaystyle \sol.\nabla \sağ|_{U}=d+A}$

Bağlantı kümesinin #Affine özelliklerinde açıklandığı gibi , herhangi bir bağlantı, endomorfizm değerli bir tek form ile diğerinden farklıdır. Bu açıdan bakıldığında, bağlantı tek form tam olarak böyle Endomorfizma değerli bir form olduğunu bağlantısı üzerinde önemsiz bağlantısından farklıdır üzerinde çünkü mevcut, bir trivializing kümesidir . ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \sol.\nabla \sağ|_{U}}$${\displaystyle \sol.E\sağ|_{U}}$${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle \sol.E\sağ|_{U}}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili E}$

Christoffel sembolleriyle ilişkisi

Olarak sözde Riemannsal geometrisi , Levi-Civita bağlantısı genellikle açısından yazılır Christoffel sembol yerine bağlantı tek formunun . Yalnızca sözde Riemann manifoldunun teğet demeti değil, herhangi bir vektör demeti üzerindeki bir bağlantı için Christoffel sembollerini tanımlamak mümkündür. Bunu yapmak için, vektör paketi için önemsizleştirici bir açık altküme olmasının yanı sıra , bunun aynı zamanda manifold için yerel koordinatları kabul eden bir yerel grafik olduğunu varsayalım . ${\ Displaystyle \ Gama _ {ij}^{\ \ k}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili U}$${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$

Böyle bir yerel çizelgede, tarafından verilen diferansiyel tek-formlar için seçkin bir yerel çerçeve vardır ve yerel bağlantı tek-biçimleri bu temelde şu şekilde genişletilebilir: ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$${\ Displaystyle A_{i}^{j}}$

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

üzerinde Christoffel sembolleri olarak adlandırılan yerel düzgün işlevlerin bir koleksiyonu için . Levi-Civita bağlantısının olduğu ve olduğu durumda , bu semboller sözde Riemann geometrisinden Christoffel sembolleriyle tam olarak uyumludur. ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili E=TM}$${\görüntüleme stili\nabla }$

Yerel koordinatlarda nasıl hareket ettiğinin ifadesi , yerel harita ve Christoffel sembolleri açısından daha da genişletilebilir.${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili U}$

${\displaystyle \nabla(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j} }{\partial x^{\ell }}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\sağ)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

Bu ifadeyi yerel koordinat teğet vektörü ile daraltmak, ${\displaystyle {\frac {\kısmi }{\kısmi x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\ kısmi s^{j}}{\kısmi x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\sağ)e_{j}.}$

Bu, yerel olarak tanımlanmış operatörlerin bir koleksiyonunu tanımlar${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j= 1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{ i}\sağ)e_{j},}$

özelliği ile

${\displaystyle \nabla(s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(ler).}$

Yerel önemsizleştirme değişikliği

Aynı önemsizleştirme kümesi üzerinde başka bir yerel çerçeve seçimi olduğunu varsayalım , böylece, ile ilgili ve ile tanımlanan bir düzgün işlevler matrisi olur .${\displaystyle \mathbf {e'} }$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

Çerçeve için yerel bağlantı formunun yapımını izleyerek , tek form için bağlantının şu şekilde verildiği bulunur: ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\görüntüleme stili A'}$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{ (g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1) })}_{i}^{\ p}}$

burada ters matrisi ifade eder . Matris notasyonunda bu yazılabilir ${\displaystyle g^{-1}=\sol({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\sağ)}$${\görüntüleme stili g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

matrisin bileşen bileşenlerinin dış türevi alınarak verilen tek formların matrisi nerede . ${\görüntüleme stili dg}$${\görüntüleme stili g}$

Teğet demeti olduğu ve koordinat dönüşümünün Jacobian olduğu durumda , Levi-Civita bağlantısının Christoffel sembollerinin dönüşümü için uzun formüller, yukarıdaki bağlantı formunun daha özlü dönüşüm yasalarından elde edilebilir. ${\görüntüleme stili E=TM}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili M}$

Paralel taşıma ve holonomi

Bir bağlantı için bir vektör demeti üzerine kavramını tanımlayan paralel taşıma ile ilgili bir eğri boyunca . içinde düzgün bir yol olsun . Bir bölüm içinde birlikte olduğu söylenir paralel halinde ${\görüntüleme stili\nabla }$${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \gama :[0,1]\M'ye}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili \gama }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

hepsi için . Eşdeğer bir düşünebiliriz geri çekilme paket içinde tarafından . Bu fazla paket için bir vektör olan elyaf üzerinde . Açık bağlantı , açık bağlantıya geri döner . Bir bölüm içinde sadece ve sadece paralel olan . ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\görüntüleme stili \gama ^{*}E}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili \gama }$${\görüntüleme stili [0,1]}$${\displaystyle E_{\gama (t)}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili \gama ^{*}E}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili \gama ^{*}E}$${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla(lar)=0}$

Varsayalım bir yoldur için de . Paralel bölümleri tanımlayan yukarıdaki denklem birinci dereceden bir adi diferansiyel denklemdir ( yukarıdaki yerel ifadeye bakın ) ve bu nedenle her olası başlangıç ​​koşulu için benzersiz bir çözümü vardır. Yani, her bir vektör için, bir de benzersiz bir paralel bölümü vardır arasında olan . Paralel bir ulaşım haritası tanımlayın${\görüntüleme stili \gama }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili v}$${\displaystyle E_{x}}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili \gama ^{*}E}$${\görüntüleme stili s(0)=v}$

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

tarafından . O gösterilebilir a, doğrusal izomorfizm ters yol ile aynı prosedür izlenerek verilen ters ile, gelen için . ${\displaystyle \tau _{\gama }(v)=s(1)}$${\görüntüleme stili \tau _{\gama }}$${\görüntüleme stili \gama ^{-}}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili x}$

Bir bağlantının paralel taşınımından kovaryant türevi nasıl kurtarılır. Bir bölümün değerleri , geri giden yol boyunca paralel olarak taşınır ve ardından kovaryant türevi sabit vektör uzayında alınır, fiber üzerinde .${\görüntüleme stili s(\gama (t))}$${\görüntüleme stili s\in \Gama (E)}$${\görüntüleme stili \gama }$${\görüntüleme stili \gama (0)=x}$${\displaystyle E_{x}}$${\görüntüleme stili x}$

Paralel taşıma, içindeki bir noktaya dayalı olarak bağlantının holonomi grubunu tanımlamak için kullanılabilir . Bu, aşağıdakilere dayalı döngülerden gelen tüm paralel taşıma haritalarından oluşan alt gruptur : ${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \operatöradı {GL} (E_{x})}$${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\metin{, }}x\} merkezli bir döngüdür.\,}$

Bir bağlantının holonomi grubu, bağlantının eğriliği ile yakından ilişkilidir ( AmbroseSinger 1953 ).

Bağlantı, paralel taşıma operatörlerinden aşağıdaki gibi kurtarılabilir. Eğer bir vektör alan ve olduğu bir kesit, bir noktada , bir çekme yekpare bir eğri için at . Her biri için biz yazacak ilerlerken paralel ulaşım haritası için gelen için . Özellikle her biri için , biz var . Daha sonra vektör uzayında türevlenebilecek bir eğri tanımlar . Kovaryant türevi şu şekilde elde edilir: ${\displaystyle X\in \Gama (TM)}$${\görüntüleme stili s\in \Gama (E)}$${\ Displaystyle x\ M'de}$ ${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\görüntüleme stili \gama }$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili 0}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\sağ)_{t=0} .}$

Bu, bir bağlantının eşdeğer bir tanımının, lifleri arasındaki tüm paralel taşıma izomorfizmlerini belirterek ve yukarıdaki ifadenin tanımı olarak alarak verildiğini gösterir . ${\görüntüleme stili \tau _{\gama }}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili\nabla }$

eğrilik

Eğrilik bir bağlantının üzerinde bir 2-form ile Endomorfizma demeti değerlerle . Yani, ${\görüntüleme stili\nabla }$${\ Displaystyle E\'den M'ye}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \operatöradı {Son} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {Son} ( E)))$

ifadesi ile tanımlanır

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[ X,Y]}s}$

nerede ve tanjant vektör alanları ve bir bölümdür . Bir kontrol gerekir olan hem de -linear ve ve aslında yapar demetidir Endomorfizma tanımlar . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\görüntüleme stili C^{\infty }(M)}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili E}$

Yukarıda bahsedildiği gibi , kovaryant dış türevin , değerli formlar üzerinde etki ederken sıfıra kare olması gerekmez . Bununla birlikte, operatör kesinlikle tensörseldir (yani -doğrusal ). Bu, içindeki değerlere sahip bir 2-formdan indüklendiği anlamına gelir . Bu 2-form tam olarak yukarıda verilen eğrilik formudur. Bir İçin meydana -valued elimizdeki ${\displaystyle d_{\nabla }}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\görüntüleme stili C^{\infty }(M)}$${\displaystyle \operatöradı {Bitiş} (E)}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili \sigma }$

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

Bir düz bağlantı olan eğrilik formu aynı yok olur biridir.

Yerel form ve Cartan'ın yapı denklemi

Eğrilik formu, Cartan'ın yapı denklemi adı verilen yerel bir açıklamaya sahiptir . Eğer yerel forma sahiptir bazı trivializing açık alt kümesine için , sonra ${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili U\altküme M}$${\görüntüleme stili E}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\kama A}$

üzerinde . Bu gösterimi açıklığa kavuşturmak için , bunun endomorfizm değerli bir tek-form olduğuna ve dolayısıyla yerel koordinatlarda tek-form matrisinin biçimini aldığına dikkat edin. İşlem , bileşen bazında dış türevi bu matrise uygular ve bileşenlerin çarpılmak yerine sıkıştırıldığı matris çarpımını belirtir. ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle A\kama A}$

Yerel koordinatlara olarak üzerinde üzerinde bağlantı formu yazılmışsa, yerel Endomorfizmlerin bir koleksiyon için , o birine sahiptir ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\el i}^{\ \ j})}$

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\kısmi A_{p}}{\kısmi x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\sağ)dx^{p}\ kama dx^{q}.}$

Bunu Christoffel sembolleri cinsinden daha da genişletmek , Riemann geometrisinden tanıdık ifadeyi üretir. Yani bir bölüm ise over , o zaman ${\displaystyle \Gama _{\el i}^{\ \ j}}$${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili U}$

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}} \left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j }}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j} \Gamma _{pi}^{\ \ r}\sağ)s^{i}dx^{p}\kama dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^ {k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j }.}$

İşte tam eğrilik tensörü ait , ve Riemann geometride ile özdeşleşmiş olacağını Riemann eğrilik tensörü . ${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \\j})}$${\displaystyle F_{\nabla }}$

Formların kama ürünü, ancak kompozisyonun aksine endomorfizmlerin komütatörü olarak tanımlarsak , o zaman ve bu alternatif gösterimle Cartan yapı denkleminin formu aldığı kontrol edilebilir. ${\görüntüleme stili [A,A]}$${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$