Sistema Pi - Pi-system

Em matemática , um sistema π (ou sistema pi ) em um conjunto é uma coleção de certos subconjuntos de tais que ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle P}$não está vazio .
• Se então${\ displaystyle A, B \ in P}$${\ displaystyle A \ cap B \ in P.}$

Ou seja, é uma família não vazia de subconjuntos que é fechada sob interseções finitas não vazias . A importância dos sistemas π surge do fato de que se duas medidas de probabilidade concordam com um sistema π , então elas concordam com a álgebra 𝜎 gerada por esse sistema π . Além disso, se outras propriedades, como igualdade de integrais, valem para o sistema π , então elas valem para a álgebra 𝜎 gerada também. Esse é o caso sempre que a coleção de subconjuntos para os quais a propriedade é válida for um sistema 𝜆 . π${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$-sistemas também são úteis para verificar a independência de variáveis ​​aleatórias.

Isso é desejável porque, na prática, os sistemas π são freqüentemente mais simples de se trabalhar do que as álgebras 𝜎. Por exemplo, pode ser estranho trabalhar com 𝜎-álgebras geradas por infinitos conjuntos. Portanto, em vez disso, podemos examinar a união de todas as 𝜎-álgebras geradas por conjuntos finitos. Isso forma um sistema π que gera a 𝜎-álgebra desejada. Outro exemplo é a coleção de todos os intervalos da reta real , junto com o conjunto vazio, que é um sistema π que gera a muito importante 𝜎-álgebra de Borel de subconjuntos da reta real. ${\ displaystyle \ sigma (E_ {1}, E_ {2}, \ ldots).}$${\ textstyle \ bigcup _ {n} \ sigma (E_ {1}, \ ldots, E_ {n}).}$

Definições

Um sistema π é uma coleção não vazia de conjuntos que é fechada sob interseções finitas não vazias, o que é equivalente a conter a interseção de quaisquer dois de seus elementos. Se cada conjunto neste sistema π for um subconjunto de, então ele é chamado de sistema π em${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega.}$

Para qualquer família não vazia de subconjuntos de existe um π -sistema chamado de π -sistema gerado por , que é o menor π -sistema único que contém todos os elementos de. É igual à interseção de todos os π -sistemas que contêm e podem ser explicitamente descrito como o conjunto de todas as possíveis interseções finitas não vazias de elementos de${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Omega,}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ Sigma},}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varSigma}}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Sigma.}$${\ displaystyle \ Sigma,}$${\ displaystyle \ Sigma:}$

Uma família de conjuntos não vazios tem a propriedade de interseção finita se e somente se o sistema π que ela gera não contém o conjunto vazio como um elemento.

Exemplos

• Pois os intervalos formam um sistema π , e os intervalos formam um sistema π se o conjunto vazio também estiver incluído.${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R},}$${\ displaystyle (- \ infty, a]}$${\ displaystyle (a, b]}$
• A topologia (coleção de subconjuntos abertos ) de qualquer espaço topológico é um sistema π .
• Cada filtro é um sistema π . Todo sistema π que não contém o conjunto vazio é um pré - filtro (também conhecido como base de filtro).
• Para qualquer função mensurável, o conjunto   define um sistema π , e é chamado de sistema π gerado por (Alternativamente, define um sistema π gerado por )${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {f} = \ left \ {f ^ {- 1} ((- \ infty, x]): x \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle \ left \ {f ^ {- 1} ((a, b]): a, b \ in \ mathbb {R}, a <b \ right \} \ cup \ {\ varnothing \}}$${\ displaystyle f.}$
• Se e são sistemas π para e respectivamente, então é um sistema π para o produto cartesiano${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$${\ displaystyle \ Omega _ {2},}$${\ displaystyle \ {A_ {1} \ times A_ {2}: A_ {1} \ in P_ {1}, A_ {2} \ in P_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}.}$
• Cada 𝜎-álgebra é um sistema π .

Relacionamento com 𝜆-systems

Um sistema de λ em um conjunto de subconjuntos de satisfazer ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle \ Omega \ in D,}$
• se então (onde ),${\ displaystyle A \ in D}$${\ displaystyle A ^ {c} \ in D}$${\ displaystyle A ^ {c}: = \ Omega \ setminus A}$
• if é uma sequência de subconjuntos disjuntos (em pares) em então${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dots}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ em D.}$

Embora seja verdade que qualquer 𝜎-álgebra satisfaz as propriedades de ser um sistema π e um sistema 𝜆, não é verdade que qualquer sistema π é um sistema 𝜆 e, além disso, não é verdade que qualquer π - sistema é uma álgebra 𝜎. No entanto, uma classificação útil é que qualquer sistema de conjuntos que seja tanto um sistema 𝜆 quanto um sistema π é uma álgebra 𝜎. Isso é usado como uma etapa para provar o teorema π -𝜆.

O teorema π -𝜆

Seja um 𝜆-sistema, e   seja um π -sistema contido em O teorema π -𝜆 afirma que a 𝜎-álgebra gerada por está contida em${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ subseteq D}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle D ~: ~}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}}) \ subseteq D.}$

O teorema π -𝜆 pode ser usado para provar muitos resultados teóricos de medidas elementares . Por exemplo, é usado para provar a afirmação de unicidade do teorema de extensão de Carathéodory para medidas 𝜎-finitas.

O teorema π -𝜆 está intimamente relacionado ao teorema da classe monótona , que fornece uma relação semelhante entre classes monótonas e álgebras, e pode ser usado para derivar muitos dos mesmos resultados. Visto que os sistemas π são classes mais simples do que as álgebras, pode ser mais fácil identificar os conjuntos que estão neles enquanto, por outro lado, verificar se a propriedade em consideração determina um sistema 𝜆 é geralmente relativamente fácil. Apesar da diferença entre os dois teoremas, o teorema π -𝜆 às vezes é chamado de teorema de classe monótona.

Exemplo

Sejam duas medidas na 𝜎-álgebra e suponha que seja gerada por um sistema π Se ${\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}: F \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F,}$${\ displaystyle F = \ sigma (I)}$${\ displaystyle I.}$

1. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (A) = \ mu _ {2} (A)}$para todos e${\ displaystyle A \ in I,}$
2. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (\ Omega) = \ mu _ {2} (\ Omega) <\ infty,}$

então Esta é a declaração de unicidade do teorema de extensão de Carathéodory para medidas finitas. Se este resultado não parecer muito notável, considere o fato de que geralmente é muito difícil ou mesmo impossível descrever totalmente cada conjunto na álgebra-𝜎, e assim o problema de equação de medidas seria completamente impossível sem tal ferramenta. ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {2}.}$

Ideia da prova Defina a coleção de conjuntos

Pela primeira suposição, e concordo e, portanto, pela segunda suposição, e pode ainda ser mostrado que é um sistema 𝜆. Segue-se do teorema π -𝜆 que e, portanto, quer dizer, as medidas concordam${\ displaystyle \ mu _ {1}}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I \ subseteq D.}$${\ displaystyle \ Omega \ in D,}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ sigma (I) \ subseteq D \ subseteq \ sigma (I),}$${\ displaystyle D = \ sigma (I).}$${\ displaystyle \ sigma (I).}$

π -Sistemas de probabilidade

Os sistemas

π são mais comumente usados ​​no estudo da teoria da probabilidade do que no campo geral da teoria da medida. Isso se deve principalmente a noções probabilísticas como independência , embora também possa ser uma consequência do fato de o teorema π -𝜆 ter sido provado pelo probabilista Eugene Dynkin . Textos de teoria de medida padrão normalmente provam os mesmos resultados por meio de classes monótonas, em vez de sistemas π .

Igualdade na distribuição

O teorema π -𝜆 motiva a definição comum da distribuição de

probabilidade de uma variável aleatória em termos de sua função de distribuição cumulativa . Lembre-se de que a distribuição cumulativa de uma variável aleatória é definida como ${\ displaystyle X \ dois pontos (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle F_ {X} (a) = \ operatorname {P} [X \ leq a], \ qquad a \ in \ mathbb {R},}$$

enquanto a lei aparentemente mais geral da variável é a medida de probabilidade

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (B) = \ operatorname {P} \ left [X ^ {- 1} (B) \ right] \ quad {\ text {para todos}} B \ em {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$$

onde está a álgebra-𝜎 de Borel. Dizemos que as variáveis ​​aleatórias e (em dois espaços de probabilidade possivelmente diferentes) são iguais em distribuição (ou lei ), denotadas por se elas têm as mesmas funções de distribuição cumulativa, ou seja, a motivação para a definição deriva da observação de que se então isto é exatamente para dizer isso e concordar com o sistema π que gera e assim pelo exemplo acima :${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle X \ dois pontos (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}),}$${\ displaystyle Y \ dois pontos ({\ tilde {\ Omega}}, {\ tilde {\ mathcal {F}}}, {\ tilde {\ operatorname {P}}}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, Y,}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y}.}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y},}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {Y}}$${\ displaystyle \ left \ {(- \ infty, a] \ dois pontos a \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} = {\ mathcal {L}} _ {Y}.}$

Um resultado semelhante é válido para a distribuição conjunta de um vetor aleatório. Por exemplo, suponha que e sejam duas variáveis ​​aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade com sistemas

π respectivamente gerados e A função de distribuição cumulativa conjunta de é ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$${\ displaystyle (X, Y)}$

$${\ displaystyle F_ {X, Y} (a, b) = \ operatorname {P} \ left [X \ leq a, Y \ leq b \ right] = \ operatorname {P} \ left [X ^ {- 1} ((- \ infty, a]) \ cap Y ^ {- 1} ((- \ infty, b]) \ right], \ quad {\ text {para todos}} a, b \ in \ mathbb {R} .}$$

No entanto, e porque ${\ displaystyle A = X ^ {- 1} ((- \ infty, a]) \ in {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle B = Y ^ {- 1} ((- \ infty, b]) \ in {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X, Y} = \ left \ {A \ cap B: A \ in {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ text {and}} B \ em {\ mathcal {I}} _ {Y} \ right \}}$$

é um sistema π gerado pelo par aleatório, o teorema π -𝜆 é usado para mostrar que a função de distribuição cumulativa conjunta é suficiente para determinar a lei conjunta de Em outras palavras, e tem a mesma distribuição se e somente se eles têm a mesma junção função de distribuição cumulativa. ${\ displaystyle (X, Y),}$${\ displaystyle (X, Y).}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle (W, Z)}$

Na teoria dos processos estocásticos , dois processos são conhecidos por serem iguais em distribuição se e somente se eles concordarem em todas as distribuições de dimensão finita; isto é, para todos${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in T}, (Y_ {t}) _ {t \ in T}}$${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ in T, \, n \ in \ mathbb {N}.}$

$${\ displaystyle \ left (X_ {t_ {1}}, \ ldots, X_ {t_ {n}} \ right) \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, \ left (Y_ { t_ {1}}, \ ldots, Y_ {t_ {n}} \ right).}$$

A prova disso é outra aplicação do teorema π -𝜆.

Variáveis ​​aleatórias independentes

A teoria do sistema π desempenha um papel importante na noção probabilística de independência . Se e são duas variáveis ​​aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade, então as variáveis ​​aleatórias são independentes se e somente se seus sistemas

π satisfazem ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$

$${\ displaystyle \ operatorname {P} [A \ cap B] = \ operatorname {P} [A] \ operatorname {P} [B] \ quad {\ text {para todos}} A \ in {\ mathcal {I} } _ {X} {\ text {and}} B \ in {\ mathcal {I}} _ {Y},}$$

o que quer dizer que são independentes. Na verdade, este é um caso especial do uso de sistemas π para determinar a distribuição de${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$${\ displaystyle (X, Y).}$

Exemplo

Deixe onde estão

iid variáveis ​​aleatórias normais padrão. Defina as variáveis ​​de raio e argumento (arctan) ${\ displaystyle Z = \ left (Z_ {1}, Z_ {2} \ right),}$${\ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2} \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}$

$${\ displaystyle R = {\ sqrt {Z_ {1} ^ {2} + Z_ {2} ^ {2}}}, \ qquad \ Theta = \ tan ^ {- 1} \ left (Z_ {2} / Z_ {1} \ right).}$$

Então e são variáveis ​​aleatórias independentes. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Theta}$

Para provar isso, é suficiente mostrar que os sistemas π são independentes: isto é, ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {R}, {\ mathcal {I}} _ {\ Theta}}$

$${\ displaystyle \ operatorname {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] = \ operatorname {P} [R \ leq \ rho] \ operatorname {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ quad {\ text {para todos}} \ rho \ in [0, \ infty), \, \ theta \ in [0,2 \ pi].}$$

Confirmar que este é o caso é um exercício de mudança de variáveis. Fixe e então a probabilidade pode ser expressa como uma integral da função de densidade de probabilidade de${\ displaystyle \ rho \ in [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ theta \ in [0,2 \ pi],}$${\ displaystyle Z.}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] & = \ int _ {R \ leq \ rho, \, \ Theta \ leq \ theta} { \ frac {1} {2 \ pi}} \ exp \ left ({- {\ frac {1} {2}} (z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2})} \ right ) dz_ {1} \, dz_ {2} \\ [5pt] & = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {\ rho} {\ frac {1} {2 \ pi }} e ^ {- {\ frac {r ^ {2}} {2}}} r \, dr \, d {\ tilde {\ theta}} \\ [5pt] & = \ left (\ int _ { 0} ^ {\ theta} {\ frac {1} {2 \ pi}} \, d {\ tilde {\ theta}} \ right) \ left (\ int _ {0} ^ {\ rho} e ^ { - {\ frac {r ^ {2}} {2}}} r \, dr \ direita) \\ [5pt] & = \ operatorname {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ operatorname {P} [R \ leq \ rho]. \ end {alinhado}}}$$

Veja também

• δ -ring  - Anel fechado sob interseções contáveis
• Campo de conjuntos  - conceito algébrico na teoria da medida, também conhecido como álgebra de conjuntos.
• Ideal (teoria dos conjuntos)  - família não vazia de conjuntos que é fechada sob uniões finitas e subconjuntos
• Independência (teoria da probabilidade)  - conceito fundamental na teoria da probabilidade
• 𝜆-system (sistema Dynkin)  - Família fechada sob complementos e uniões disjuntas contáveis
• Teorema de classe monótona
• Distribuição de probabilidade  - função matemática para a probabilidade de um determinado resultado ocorrer em um experimento
• Anel de conjuntos  - Família fechada sob sindicatos e complementos relativos
• σ-álgebra  - subconjuntos que são fechados sob complemento e uniões contáveis
• 𝜎-ideal  - Família fechada em subconjuntos e uniões contáveis
• 𝜎-ring  - Anel fechado sob uniões contáveis

Notas

Citações

Referências

• Gut, Allan (2005). Probabilidade: um curso de graduação . Springer Textos em Estatística. Nova York: Springer. doi : 10.1007 / b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• David Williams (1991). Probabilidade com Martingales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Probabilidade: Teoria e Exemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 49 (5ª ed.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Recuperado em 5 de novembro de 2020 .

Famílias de sets${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ over${\ displaystyle \ Omega}$
É necessariamente verdadeiro para ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ dois pontos}$ ou está fechado em:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	FIP	Dirigido por${\ displaystyle \, \ supseteq}$	${\ displaystyle A \ cup B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {onde}} A_ {i} \ nearrow \ end {alinhados}} }$	${\ displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ in {\ mathcal {F}}}$
sistema π
𝜆-system (Dynkin System)			Nunca
Anel (teoria da ordem)
Anel (teoria da medida)			Nunca
δ-Ring			Nunca
𝜎-Ring			Nunca
Álgebra (campo)			Nunca
𝜎-Álgebra (𝜎-Campo)			Nunca
Ideal dual
Filtro									Nunca	Nunca	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Pré- filtro (base de filtro)									Nunca	Nunca	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Subbase de filtro									Nunca	Nunca	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Topologia			Nunca
É necessariamente verdadeiro para ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ dois pontos}$ ou está fechado em:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	interseções finitas	cruzamentos contáveis	Propriedade de interseção finita	dirigido para baixo	uniões finitas	uniões disjuntas contáveis	aumento contável de sindicatos	sindicatos contáveis	complementos em${\ displaystyle \ Omega}$	complementos relativos	contém ${\ displaystyle \ varnothing}$	contém ${\ displaystyle \ Omega}$
Todas as famílias são consideradas não vazias. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$são elementos arbitrários de denota uma união de conjuntos disjuntos de pares (chamada de união disjunta ). Além disso, uma semialgebra é um sistema π onde cada complemento é igual a uma união disjunta finita de conjuntos em Uma semialgebra é uma semialgebra que contém Uma classe monótona é uma família que é fechada tanto em uniões crescentes contáveis ​​quanto em interseções decrescentes contáveis. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$