Pi -rendszer - Pi-system

A matematika , a π -rendszer (vagy pi-rendszer ) egy sor olyan gyűjteménye bizonyos részhalmazát az olyan, hogy ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle P}$az nem üres .
• Ha akkor${\ displaystyle A, B \ in P}$${\ displaystyle A \ cap B \ in P.}$

Vagyis egy nem üres részhalmazcsalád, amely nem üres véges metszéspontok alatt van bezárva . Különösen fontos a π -rendszerek abból a tényből fakad, hogy ha két valószínűségi mértékek megegyezni a π -rendszer, akkor egyetértenek a σ-algebra által generált, hogy a π -rendszer. Sőt, ha más tulajdonságok, például integrálok egyenlősége érvényesek a π -rendszerre, akkor érvényesek a generált 𝜎 -algebrára is. Ez a helyzet akkor, ha a tulajdonság által birtokolt részhalmazok gyűjteménye 𝜆-rendszer . π${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$-rendszerek is hasznosak a véletlen változók függetlenségének ellenőrzésére.

Ez azért kívánatos, mert a gyakorlatban a π -rendszerekkel gyakran egyszerűbb dolgozni, mint a 𝜎 -algebrákkal. Például kényelmetlen lehet a végtelen sok halmaz által generált 𝜎-algebrákkal való munka. Tehát ehelyett megvizsgálhatjuk a véges sok halmaz által generált összes 𝜎-algebra egyesülését. Ez egy π- rendszert képez, amely létrehozza a kívánt 𝜎-algebrat. Egy másik példa a valós vonal összes intervallumának gyűjtése az üres halmazzal együtt, amely egy π -rendszer, amely a valós vonal részhalmazainak nagyon fontos Borel 𝜎 -algebráját generálja . ${\ displaystyle \ sigma (E_ {1}, E_ {2}, \ ldots).}$${\ texttyle \ bigcup _ {n} \ sigma (E_ {1}, \ ldots, E_ {n}).}$

Definíciók

A π -rendszer a halmazok nem üres gyűjteménye, amely nem üres véges metszéspontok alatt van lezárva, ami egyenlő azzal, hogy két elemének metszéspontját tartalmazza. Ha ennek a π -rendszernek minden halmaza részhalmaza, akkor azt π -rendszernek nevezzük be${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega.}$

Mert nem üres család részhalmazainak létezik egy π -rendszer úgynevezett π -rendszer által generált , ez az egyedülálló legkisebb π -rendszer a tartalmazó minden egyes elemének ez egyenlő a kereszteződés minden π -rendszerek tartalmazó , és ez lehet kifejezetten az elemek minden lehetséges, nem üres véges metszéspontjának halmazaként írható le${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Omega,}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ Sigma},}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varSigma}}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Sigma.}$${\ displaystyle \ Sigma,}$${\ displaystyle \ Sigma:}$

Egy nem üres halmazcsaládnak csak akkor van véges metszéspontja, ha az általa létrehozott π -rendszer nem tartalmazza az üres halmazt elemként.

Példák

• Az intervallumok π -rendszert alkotnak , az intervallumok pedig π -rendszert, ha az üres halmaz is szerepel.${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R},}$${\ displaystyle (-\ infty, a]}$${\ displaystyle (a, b]})$
• A topológia (gyűjteménye nyitott részhalmazainak ) bármely topologikus tér egy π -rendszer.
• Minden szűrő egy π -rendszer. Minden π -rendszer, amely nem tartalmazza az üres készletet, egy előszűrő (más néven szűrőalap ).
• Bármely mérhető funkciót a beállított   meghatároz egy π -rendszert, és az úgynevezett π -rendszert generált által (Alternatív módon, meghatároz egy π -rendszer által generált )${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {f} = \ left \ {f^{-1} ((-\ infty, x]): x \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle \ left \ {f^{-1} ((a, b]): a, b \ in \ mathbb {R}, a <b \ right \} \ cup \ {\ varnothing \}}$${\ displaystyle f.}$
• Ha és a π -rendszerek számára és rendre, majd egy π -rendszert a Descartes-szorzat${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$${\ displaystyle \ Omega _ {2},}$${\ displaystyle \ {A_ {1} \ times A_ {2}: A_ {1} \ in P_ {1}, A_ {2} \ in P_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}.}$
• Minden 𝜎 -algebra egy π -rendszer.

Kapcsolat a 𝜆-rendszerekkel

A on -rendszer a kielégítés részhalmazainak halmaza${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle \ Omega \ in D,}$
• ha akkor (hol ),${\ displaystyle A \ in D}$${\ displaystyle A^{c} \ in D}$${\ displaystyle A^{c}: = \ Omega \ setminus A}$
• ha a (páronként) diszjunkt részhalmazok sorozata akkor${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dots}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ cup _ {n = 1}^{\ infty} A_ {n} \ in D.}$

Bár az igaz, hogy bármely σ-algebra kielégíti a tulajdonságait, hogy egyidejűleg egy π -rendszert és λ-rendszer, ez nem igaz, hogy bármely π -rendszer egy λ-rendszert, és ráadásul ez nem igaz, hogy bármely π - rendszer 𝜎-algebra. Hasznos osztályozás azonban, hogy bármely halmazrendszer, amely egyszerre 𝜆-rendszer és π -rendszer, 𝜎-algebra. Ezt használjuk lépésként a π -𝜆 tétel bizonyításához.

A π -𝜆 tétel

Hagy egy λ-rendszer, és hagyja, hogy   egy π -rendszer szereplő A π -A csoport tétel kimondja, hogy a σ-algebra által generált tartalmazza${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ subseteq D}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle D ~: ~}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}}) \ subseteq D.}$

A π -𝜆 tétel számos elemi mértékelméleti eredmény bizonyítására használható . Például a Carathéodory kiterjesztési tétel ess-véges mértékekre vonatkozó egyediségi állításának bizonyítására használják .

A π -𝜆 tétel szorosan kapcsolódik a monoton osztálytételhez , amely hasonló összefüggést biztosít a monoton osztályok és az algebrak között, és felhasználható sok azonos eredmény levezetésére. Mivel a π -rendszerek egyszerűbb osztályok, mint az algebrák, könnyebb lehet azonosítani a bennük lévő halmazokat, míg másrészt gyakran viszonylag könnyű ellenőrizni, hogy a vizsgált tulajdonság meghatározza -e a 𝜆 -rendszert. A két tétel közötti különbség ellenére a π -𝜆 tételt néha monoton osztálytételnek nevezik.

Példa

Legyen két mérték a 𝜎 -algebrán, és tegyük fel, hogy az π -rendszer által generált If ${\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}: F \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F,}$${\ displaystyle F = \ sigma (I)}$${\ displaystyle I.}$

1. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (A) = \ mu _ {2} (A)}$mindenkinek és${\ displaystyle A \ in I,}$
2. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (\ Omega) = \ mu _ {2} (\ Omega) <\ infty,}$

akkor Ez a véges mértékekre vonatkozó Carathéodory kiterjesztési tétel egyediségének megállapítása. Ha ez az eredmény nem tűnik túl figyelemre méltónak, vegye figyelembe azt a tényt, hogy általában nagyon nehéz vagy egyáltalán lehetetlen teljes leírást adni a 𝜎-algebrában, és így az intézkedések egyenlítésének problémája teljesen reménytelen lenne ilyen eszköz nélkül. ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {2}.}$

A bizonyítás ötlete Határozza meg a halmazok gyűjteményét

Az első feltételezéssel, és egyetértésben, és így a második feltevéssel, és tovább kimutatható, hogy ez egy 𝜆-rendszer. A π -𝜆 tételből következik, hogy és így van, vagyis az intézkedések megegyeznek${\ displaystyle \ mu _ {1}}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I \ subseteq D.}$${\ displaystyle \ Omega \ in D,}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ sigma (I) \ subseteq D \ subseteq \ sigma (I),}$${\ displaystyle D = \ sigma (I).}$${\ displaystyle \ sigma (I).}$

π -Rendszerek valószínűségben

A π -rendszereket gyakrabban használják a valószínűségelmélet tanulmányozásakor, mint az általános méréselmélet területén. Ez elsősorban az olyan valószínűségi elképzeléseknek köszönhető, mint a függetlenség , bár az is következménye lehet annak, hogy a π -𝜆 tételt a valószínűség szerint Eugene Dynkin bizonyította . A standard méréselméleti szövegek jellemzően ugyanazokat az eredményeket bizonyítják monoton osztályokon keresztül, nem pedig π -rendszereken.

Egyenlőség az elosztásban

Az rc -A csoport tétel motiválja a közös meghatározásáról valószínűségi eloszlása egy véletlen változó tekintve

eloszlásfüggvény . Emlékezzünk vissza, hogy egy véletlen változó halmozott eloszlását a következőképpen definiáljuk ${\ displaystyle X \ kettőspont (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatornév {P}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle F_ {X} (a) = \ operatornév {P} [X \ leq a], \ qquad a \ in \ mathbb {R},}$$

mivel a változó általánosabbnak tűnő törvénye a valószínűségi mérték

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (B) = \ operatorname {P} \ left [X^{-1} (B) \ right] \ quad {\ text {for all}} B \ itt: {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$$

hol van a Borel 𝜎-algebra. Azt mondjuk, hogy a valószínűségi változók és (két esetben eltérő valószínűségi terek) egyenlő eloszlásban (vagy törvény ), jele , ha ugyanaz a kumulatív eloszlás függvények, azaz a motiváció meghatározása ered a megfigyelés, hogy ha majd pontosan ezt kell mondanom, és egyet kell értenünk a létrehozott π -rendszerben , és így a fenti példával :${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle X \ kettőspont (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatornév {P}),}$${\ displaystyle Y \ kettőspont ({\ tilde {\ Omega}}, {\ tilde {\ mathcal {F}}}, {\ tilde {\ operatornév {P}}}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, Y,}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y}.}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y},}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {Y}}$${\ displaystyle \ left \ {(-\ infty, a] \ kettőspont a \ mathbbban {R} \ jobb \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} = {\ mathcal {L}} _ {Y}.}$

Hasonló eredmény érvényes egy véletlen vektor együttes eloszlására is. Tegyük fel például, és két véletlen változó definiált azonos valószínűségi mezőn rendre generált

π -rendszerek és a közös kumulatív eloszlásfüggvénye jelentése ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatornév {P}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$${\ displaystyle (X, Y)}$

$${\ displaystyle F_ {X, Y} (a, b) = \ operatorname {P} \ left [X \ leq a, Y \ leq b \ right] = \ operatorname {P} \ left [X^{-1} ((-\ infty, a]) \ cap Y^{-1} ((--infty, b]) \ right], \ quad {\ text {for all}} a, b \ in \ mathbb {R} .}$$

Azonban és Mert ${\ displaystyle A = X^{-1} ((-\ infty, a]) \ in {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle B = Y^{-1} ((-\ infty, b]) \ in {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X, Y} = \ left \ {A \ cap B: A \ in {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ text {and}} B \ {\ mathcal {I}} _ {Y} \ right \}}$$

egy π -rendszer által generált véletlen páros a π -A csoport tétel használják azt mutatják, hogy a közös eloszlásfüggvény elegendő meghatározni közös törvénye Más szóval, és ugyanolyan eloszlás akkor és csak akkor, ha ugyanaz a közös kumulatív eloszlásfüggvény. ${\ displaystyle (X, Y),}$${\ displaystyle (X, Y).}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle (W, Z)}$

A sztochasztikus folyamatok elméletében két folyamatról ismert, hogy akkor és csak akkor egyenlő eloszlásúak, ha minden véges dimenziós eloszlásban egyetértenek; vagyis mindenkire${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in T}, (Y_ {t}) _ {t \ in T}}$${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ in T, \, n \ in \ mathbb {N}.}$

$${\ displaystyle \ left (X_ {t_ {1}}, \ ldots, X_ {t_ {n}} \ right) \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, \ left (Y_ { t_ {1}}, \ ldots, Y_ {t_ {n}} \ right).}$$

Ennek bizonyítéka a π -𝜆 tétel egy másik alkalmazása .

Független véletlen változók

A π -rendszer elmélete fontos szerepet játszik a függetlenség valószínűségi elképzelésében . Ha és ha két véletlen változó van definiálva ugyanazon valószínűségi térben, akkor a véletlen változók akkor és csak akkor függetlenek, ha

π -rendszereik megfelelnek ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatornév {P})}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$

$${\ displaystyle \ operatornév {P} [A \ cap B] = \ operatorname {P} [A] \ operatornév {P} [B] \ quad {\ text {for all}} A \ in {\ mathcal {I} } _ {X} {\ text {and}} B \ {matematikai {I}} _ {Y},}$$

azaz függetlenek. Ez valójában egy speciális eset, amikor a π -rendszereket használják az eloszlás meghatározására${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$${\ displaystyle (X, Y).}$

Példa

Hagyjuk, hol vannak az

iid standard normál véletlen változók. Határozza meg a sugár és az argumentum (arctan) változókat ${\ displaystyle Z = \ left (Z_ {1}, Z_ {2} \ right),}$${\ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2} \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}$

$${\ displaystyle R = {\ sqrt {Z_ {1}^{2}+Z_ {2}^{2}}}, \ qquad \ Theta = \ tan^{-1} \ left (Z_ {2}/Z_ {1} \ jobb).}$$

Akkor és független véletlen változók. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Theta}$

Ennek bizonyítására elegendő annak bemutatása, hogy a π -rendszerek függetlenek: azaz ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {R}, {\ mathcal {I}} _ {\ Theta}}$

$${\ displaystyle \ operatornév {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] = \ operatornév {P} [R \ leq \ rho] \ operatornév {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ quad {\ text {for all}} \ rho \ in [0, \ infty), \, \ theta \ in [0,2 \ pi].}$$

Ennek megerősítése a változók megváltoztatásának gyakorlata. Fix , majd a valószínűséget a valószínűségi sűrűség függvényének integráljaként fejezhetjük ki${\ displaystyle \ rho \ in [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ theta \ in [0,2 \ pi],}$${\ displaystyle Z.}$

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatornév {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] & = \ int _ {R \ leq \ rho, \, \ Theta \ leq \ theta} { \ frac {1} {2 \ pi}} \ exp \ left ({-{\ frac {1} {2}} (z_ {1}^{2}+z_ {2}^{2})} \ jobb ) dz_ {1} \, dz_ {2} \\ [5pt] & = \ int _ {0}^{\ theta} \ int _ {0}^{\ rho} {\ frac {1} {2 \ pi }} e^{-{\ frac {r^{2}} {2}}} r \, dr \, d {\ tilde {\ theta}} \\ [5pt] & = \ bal (\ int _ { 0}^{\ theta} {\ frac {1} {2 \ pi}} \, d {\ tilde {\ theta}} \ jobb) \ bal (\ int _ {0}^{\ rho} e^{ -{\ frac {r^{2}} {2}}} r \, dr \ right) \\ [5pt] & = \ operatornév {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ operatorname {P} [R \ leq \ rho]. \ end {igazítva}}}$$

Lásd még

• δ  -gyűrű

-a gyűrű zárva van a megszámlálható kereszteződések alatt

Halmazalgebra  - algebrai fogalom intézkedés elméletileg is nevezik algebra készletek.

Ideális (halmazelmélet)  -Nem üres halmazcsalád, amely véges szakszervezetek és részhalmazok alatt zárt

Függetlenség (valószínűségelmélet)  - Alapfogalom a valószínűségelméletben

𝜆-rendszer (Dynkin-rendszer)  -A család kiegészítések és megszámlálható szakszervezetek alatt zárt

Monoton osztálytétel

Valószínűség -eloszlás  - Matematikai függvény annak a valószínűségére, hogy egy adott eredmény egy kísérletben bekövetkezik

Gyűjtemények gyűrűje  - A család bezárt a szakszervezetek és a hozzátartozók alatt

σ-algebra-  Alcsoportok, amelyek komplement és megszámlálható uniók alatt zárva vannak

𝜎-ideális-  Család bezárt részhalmazok és megszámlálható szakszervezetek alatt

𝜎-gyűrű-A gyűrű  le van zárva a megszámlálható szakszervezetek alatt

Megjegyzések

Idézetek

Hivatkozások

• Gut, Allan (2005). Valószínűség: Graduate Course . Springer szövegek a statisztikában. New York: Springer. doi : 10.1007/b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• David Williams (1991). Valószínűség Martingales esetében . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Valószínűség: elmélet és példák (PDF) . Cambridge sorozat statisztikai és valószínűségi matematikából. 49. (5. kiadás). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Letöltve : 2020.

november 5 .

Családok készletek${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ felett${\ displaystyle \ Omega}$
Szükségszerűen igaz ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ kettőspont}$ , vagy van zárva alatt:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	FIP	Rendezte :${\ displaystyle \, \ supseteq}$	${\ displaystyle A \ cup B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {where}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignedat}} }$	${\ displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ in {\ mathcal {F}}}$
π -rendszer
𝜆-rendszer (Dynkin System)			Soha
Gyűrű (rendeléselmélet)
Gyűrű (méréselmélet)			Soha
δ-gyűrű			Soha
𝜎-Gyűrű			Soha
Algebra (mező)			Soha
𝜎-algebra (𝜎-mező)			Soha
Kettős ideál
Szűrő									Soha	Soha	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Előszűrő ( szűrőalap )									Soha	Soha	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Szűrő albázis									Soha	Soha	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Topológia			Soha
Szükségszerűen igaz ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ kettőspont}$ , vagy van zárva alatt:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	véges kereszteződések	megszámlálható kereszteződések	Véges Metszet Property	irányított lefelé	véges szakszervezetek	megszámlálható diszjunkt szakszervezetek	megszámlálhatóan növekvő szakszervezetek	megszámlálható szakszervezetek	kiegészíti benne${\ displaystyle \ Omega}$	relatív kiegészíti	tartalmaz ${\ displaystyle \ varnothing}$	tartalmaz ${\ displaystyle \ Omega}$
Feltételezzük, hogy minden család nem üres. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$tetszőlegesek elemei megjelölésen uniója páronként diszjunkt halmazok (úgynevezett diszjunkt egyesítését ). Ezenkívül a félkötés egy π -rendszer, ahol minden komplementer egyenlő a halmazok véges diszjunkt uniójával. A szemialgebra olyan félkör, amely tartalmazza A monoton osztály egy család, amely mind a megszámlálható növekvő szakszervezetek, mind a számolható csökkenő metszéspontok alatt zárt. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$