Pi-sistem - Pi-system

În matematică , un sistem π (sau sistem pi ) pe un set este o colecție de anumite subseturi de astfel încât ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle P}$este ne-gol .
• Dacă atunci${\ displaystyle A, B \ în P}$${\ displaystyle A \ cap B \ în P.}$

Adică, este o familie ne-goală de subseturi care este închisă sub intersecții finite ne-goale . Importanța sistemelor π apare din faptul că dacă două măsuri de probabilitate sunt de acord asupra unui sistem π , atunci ele sunt de acord cu 𝜎-algebra generată de acel π- sistem. Mai mult, dacă alte proprietăți, cum ar fi egalitatea integralelor, sunt valabile pentru sistemul π , atunci ele sunt valabile și pentru 𝜎-algebra generată. Acesta este cazul ori de câte ori colecția de subseturi pentru care deține proprietatea este un sistem 𝜆 . π${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$-sistemele sunt utile și pentru verificarea independenței variabilelor aleatorii.

Acest lucru este de dorit deoarece, în practică, sistemele π sunt adesea mai ușor de utilizat decât 𝜎-algebrele. De exemplu, poate fi ciudat să lucrăm cu 𝜎-algebre generate de infinit de mulțimi Deci, în schimb, putem examina uniunea tuturor 𝜎-algebrelor generate de mulți mulțimi finite Acest lucru formează un sistem π care generează 𝜎-algebra dorită. Un alt exemplu este colectarea tuturor intervalelor de linie reale , împreună cu setul gol, care este un π -system care generează foarte important Borel σ-algebra de subseturi ale liniei reale. ${\ displaystyle \ sigma (E_ {1}, E_ {2}, \ ldots).}$${\ textstyle \ bigcup _ {n} \ sigma (E_ {1}, \ ldots, E_ {n}).}$

Definiții

Un sistem π este o colecție de goluri de seturi care este închisă sub intersecții finite ne-goale, care este echivalent cu conținerea intersecției oricăror două dintre elementele sale. Dacă fiecare set din acest π- sistem este un subset de atunci se numește π -system on${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega.}$

Pentru orice familie ne-goală de subseturi există un π- sistem numit π -sistem generat de , adică cel mai mic sistem π unic care conține fiecare element din Este egal cu intersecția tuturor sistemelor π care conțin și pot să fie descrisă în mod explicit ca fiind ansamblul tuturor intersecțiilor finite ne-goale posibile ale elementelor din${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Omega,}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ Sigma},}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varSigma}}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Sigma.}$${\ displaystyle \ Sigma,}$${\ displaystyle \ Sigma:}$

O familie de seturi ne-goale are proprietatea de intersecție finită dacă și numai dacă sistemul π pe care îl generează nu conține setul gol ca element.

Exemple

• Pentru intervale formează un sistem π , iar intervalele formează un sistem π dacă este inclus și setul gol.${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R},}$${\ displaystyle (- \ infty, a]}$${\ displaystyle (a, b]}$
• Topologia (colecție de subseturi deschise ) a oricărui spațiu topologic este un π -system.
• Fiecare filtru este un sistem π . Fiecare sistem π care nu conține setul gol este un prefiltru (cunoscut și ca bază de filtrare).
• Pentru orice funcție măsurabilă setul   definește o π -system, și se numește π sistemul - generat de (Alternativ, definește un π -system generat de )${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {f} = \ left \ {f ^ {- 1} ((- \ infty, x]): x \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle \ left \ {f ^ {- 1} ((a, b]): a, b \ in \ mathbb {R}, a <b \ right \} \ cup \ {\ varnothing \}}$${\ displaystyle f.}$
• Dacă și sunt sisteme π pentru și respectiv, atunci este un sistem π pentru produsul cartezian${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$${\ displaystyle \ Omega _ {2},}$${\ displaystyle \ {A_ {1} \ times A_ {2}: A_ {1} \ în P_ {1}, A_ {2} \ în P_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}.}$
• Fiecare 𝜎-algebră este un sistem π .

Relația cu sistemele 𝜆

Un sistem 𝜆 activat este un set de subseturi de satisfacere ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle \ Omega \ în D,}$
• dacă atunci (unde ),${\ displaystyle A \ în D}$${\ displaystyle A ^ {c} \ în D}$${\ displaystyle A ^ {c}: = \ Omega \ setminus A}$
• dacă este o secvență de subseturi disjuncte (în perechi) în atunci${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dots}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ în D.}$

Deși este adevărat că orice satisface σ-algebra proprietățile fiind atât un π -system și un sistem λ, nu este adevărat că orice π -system este un sistem λ, și , în plus, nu este adevărat că orice π - sistemul este o 𝜎-algebră. Cu toate acestea, o clasificare utilă este că orice sistem de seturi care este atât un sistem 𝜆 cât și un sistem π este o 𝜎-algebră. Acesta este folosit ca un pas în demonstrarea teoremei π -𝜆.

Tt -A în Teorema

Să fie un sistem λ, și să   fie un π -system conținută în The tt -λ teorema afirma ca σ-algebra generată de este conținută în${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ subseteq D}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle D ~: ~}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}}) \ subseteq D.}$

Tt -A în teorema poate fi folosit pentru a dovedi mai multe elementare măsură teoretice rezultate. De exemplu, este folosit pentru a demonstra pretenția de unicitate a teoremei extensiei Carathéodory pentru măsuri 𝜎-finite.

Tt -A în teorema este strâns legată de teorema clasei monotone , care oferă o relație similară între clasele monotone și algebrele, și pot fi folosite pentru a obține multe din aceleași rezultate. Deoarece sistemele π sunt clase mai simple decât algebrele, poate fi mai ușor să identificați seturile care se află în ele, pe de altă parte, verificarea dacă proprietatea în cauză determină un sistem 𝜆 este adesea relativ ușoară. În ciuda diferenței dintre cele două teoreme, teorema π -𝜆 este uneori denumită teorema clasei monotone.

Exemplu

Fie două măsuri pe 𝜎-algebră și să presupunem că este generată de un sistem π Dacă ${\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}: F \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F,}$${\ displaystyle F = \ sigma (I)}$${\ displaystyle I.}$

1. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (A) = \ mu _ {2} (A)}$pentru toți și${\ displaystyle A \ în I,}$
2. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (\ Omega) = \ mu _ {2} (\ Omega) <\ infty,}$

atunci Aceasta este declarația de unicitate a teoremei extensiei Carathéodory pentru măsuri finite. Dacă acest rezultat nu pare foarte remarcabil, luați în considerare faptul că, de obicei, este foarte dificil sau chiar imposibil să descrieți pe deplin fiecare set din 𝜎-algebră și, prin urmare, problema echilibrării măsurilor ar fi complet lipsită de speranță fără un astfel de instrument. ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {2}.}$

Ideea dovezii Definiți colecția de seturi

Prin prima ipoteză, și de acord și astfel Prin a doua ipoteză, se poate demonstra în continuare că este un sistem 𝜆. Din teorema π -𝜆 rezultă că și așa Adică măsurile sunt de acord${\ displaystyle \ mu _ {1}}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I \ subseteq D.}$${\ displaystyle \ Omega \ în D,}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ sigma (I) \ subseteq D \ subseteq \ sigma (I),}$${\ displaystyle D = \ sigma (I).}$${\ displaystyle \ sigma (I).}$

π -Sisteme în probabilitate

π -sistemele sunt mai frecvent utilizate în studiul teoriei probabilității decât în ​​domeniul general al teoriei măsurătorilor. Acest lucru se datorează în primul rând noțiunilor probabilistice, cum ar fi independența , deși poate fi și o consecință a faptului că teorema π -𝜆 a fost dovedită de probabilistul Eugene Dynkin . Textele standard ale teoriei măsurătorilor dovedesc de obicei aceleași rezultate prin clase monotone, mai degrabă decât prin sisteme π .

Egalitatea în distribuție

Tt -A în teorema motivează definiția comună a distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare în ceea ce privește sale

funcția de distribuție cumulativă . Reamintim că distribuția cumulativă a unei variabile aleatorii este definită ca ${\ displaystyle X \ colon (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle F_ {X} (a) = \ operatorname {P} [X \ leq a], \ qquad a \ in \ mathbb {R},}$$

întrucât aparent mai general legea variabilei este măsura de probabilitate

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (B) = \ operatorname {P} \ left [X ^ {- 1} (B) \ right] \ quad {\ text {for all}} B \ în {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$$

unde este el-algebra Borel. Spunem că variabilele aleatorii și (pe două spații de probabilitate diferite) sunt egale în distribuție (sau în lege ), notate cu dacă au aceleași funcții de distribuție cumulativă, adică Motivația pentru definiție provine din observația că dacă atunci care este exact să spunem că și sunt de acord asupra π sistemul - care generează și așa de exemplul de mai sus :${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle X \ colon (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}),}$${\ displaystyle Y \ colon ({\ tilde {\ Omega}}, {\ tilde {\ mathcal {F}}}, {\ tilde {\ operatorname {P}}}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, Y,}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y}.}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y},}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {Y}}$${\ displaystyle \ left \ {(- \ infty, a] \ colon a \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} = {\ mathcal {L}} _ {Y}.}$

Un rezultat similar este valabil pentru distribuția comună a unui vector aleatoriu. De exemplu, să presupunem și sunt două variabile aleatorii definite pe același spațiu de probabilitate cu sisteme

π generate respectiv și funcția de distribuție cumulată comună a este ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$${\ displaystyle (X, Y)}$

$${\ displaystyle F_ {X, Y} (a, b) = \ operatorname {P} \ left [X \ leq a, Y \ leq b \ right] = \ operatorname {P} \ left [X ^ {- 1} ((- \ infty, a]) \ cap Y ^ {- 1} ((- \ infty, b]) \ right], \ quad {\ text {for all}} a, b \ in \ mathbb {R} .}$$

Cu toate acestea, și pentru că ${\ displaystyle A = X ^ {- 1} ((- \ infty, a]) \ în {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle B = Y ^ {- 1} ((- \ infty, b]) \ în {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X, Y} = \ left \ {A \ cap B: A \ in {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ text {and}} B \ în {\ mathcal {I}} _ {Y} \ right \}}$$

este un sistem π generat de perechea aleatorie , teorema π -𝜆 este utilizată pentru a arăta că funcția de distribuție cumulativă comună este suficientă pentru a determina legea comună a Cu alte cuvinte și au aceeași distribuție dacă și numai dacă au aceeași articulație funcție de distribuție cumulativă. ${\ displaystyle (X, Y),}$${\ displaystyle (X, Y).}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle (W, Z)}$

În teoria proceselor stochastice , se cunoaște că două procese sunt egale în distribuție dacă și numai dacă sunt de acord asupra tuturor distribuțiilor cu dimensiuni finite; adică pentru toți${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in T}, (Y_ {t}) _ {t \ in T}}$${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ în T, \, n \ in \ mathbb {N}.}$

$${\ displaystyle \ left (X_ {t_ {1}}, \ ldots, X_ {t_ {n}} \ right) \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, \ left (Y_ { t_ {1}}, \ ldots, Y_ {t_ {n}} \ right).}$$

Dovada acestui lucru este o altă aplicație a teoremei π -𝜆.

Variabile aleatorii independente

Teoria sistemului π joacă un rol important în noțiunea probabilistică de independență . Dacă și sunt două variabile aleatoare definite pe același spațiu de probabilitate , atunci variabilele aleatoare sunt independente dacă și numai dacă lor

π -sisteme Satisfy ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$

$${\ displaystyle \ operatorname {P} [A \ cap B] = \ operatorname {P} [A] \ operatorname {P} [B] \ quad {\ text {for all}} A \ in {\ mathcal {I} } _ {X} {\ text {și}} B \ în {\ mathcal {I}} _ {Y},}$$

ceea ce înseamnă că sunt independenți. Acesta este de fapt un caz special al utilizării sistemelor π pentru determinarea distribuției${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$${\ displaystyle (X, Y).}$

Exemplu

Să în cazul în care sunt

IID variabile aleatoare normale standard. Definiți variabilele de rază și argument (arctan) ${\ displaystyle Z = \ left (Z_ {1}, Z_ {2} \ right),}$${\ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2} \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}$

$${\ displaystyle R = {\ sqrt {Z_ {1} ^ {2} + Z_ {2} ^ {2}}}, \ qquad \ Theta = \ tan ^ {- 1} \ left (Z_ {2} / Z_ {1} \ dreapta).}$$

Apoi și sunt variabile aleatoare independente. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Theta}$

Pentru a dovedi acest lucru, este suficient pentru a arăta că tt -sisteme sunt independente: adică, ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {R}, {\ mathcal {I}} _ {\ Theta}}$

$${\ displaystyle \ operatorname {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] = \ operatorname {P} [R \ leq \ rho] \ operatorname {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ quad {\ text {for all}} \ rho \ in [0, \ infty), \, \ theta \ in [0,2 \ pi].}$$

Confirmarea faptului că este cazul este un exercițiu de modificare a variabilelor. Fix și apoi probabilitatea poate fi exprimată ca o integrală a funcției densității probabilității${\ displaystyle \ rho \ in [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ theta \ in [0,2 \ pi],}$${\ displaystyle Z.}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] & = \ int _ {R \ leq \ rho, \, \ Theta \ leq \ theta} { \ frac {1} {2 \ pi}} \ exp \ left ({- {\ frac {1} {2}} (z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2})} \ right ) dz_ {1} \, dz_ {2} \\ [5pt] & = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {\ rho} {\ frac {1} {2 \ pi }} e ^ {- {\ frac {r ^ {2}} {2}}} r \, dr \, d {\ tilde {\ theta}} \\ [5pt] & = \ left (\ int _ { 0} ^ {\ theta} {\ frac {1} {2 \ pi}} \, d {\ tilde {\ theta}} \ right) \ left (\ int _ {0} ^ {\ rho} e ^ { - {\ frac {r ^ {2}} {2}}} r \, dr \ right) \\ [5pt] & = \ operatorname {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ operatorname {P} [R \ leq \ rho]. \ end {align}}}$$

Vezi si

• δ -ring  - Ring închis sub intersecții numărabile
• Câmpul mulțimilor  - Concept algebric în teoria măsurătorilor, denumit și algebra mulțimilor.
• Ideal (teoria mulțimilor)  - Familia de seturi ne-goală care este închisă sub uniuni finite și subseturi
• Independență (teoria probabilității)  - Concept fundamental în teoria probabilităților
• 𝜆-sistem (sistemul Dynkin)  - Familia închisă sub complimente și uniuni disjunctibile numărabile
• Teorema clasei monotone
• Distribuția probabilității  - Funcția matematică pentru probabilitatea unui rezultat dat apare într-un experiment
• Inel de seturi  - Familia închisă sub uniuni și complementele relative
• σ-algebră  - Subseturi care sunt închise sub uniuni complementare și numărabile
• 𝜎-ideal  - Familia închisă sub subseturi și uniuni numărabile
• 𝜎-ring  - Inel închis sub uniuni numărabile

Note

Citații

Referințe

• Gut, Allan (2005). Probabilitate: un curs postuniversitar . Texte Springer în statistici. New York: Springer. doi : 10.1007 / b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• David Williams (1991). Probabilitate cu Martingales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Probabilitate: teorie și exemple (PDF) . Seria Cambridge în matematică statistică și probabilistică. 49 (ediția a 5-a). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Adus pe 5 noiembrie 2020 .

Familii de seturi de${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ peste${\ displaystyle \ Omega}$
Este neapărat adevărat ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ colon}$ sau este închis sub:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	FIP	Regizat de${\ displaystyle \, \ supseteq}$	${\ displaystyle A \ cup B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {where}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignat}} }$	${\ displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ în {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ în {\ mathcal {F}}}$
π -sistem
𝜆-sistem ( sistemul Dynkin)			Nu
Inel (teoria comenzii)
Inel (teoria măsurătorilor)			Nu
δ-Ring			Nu
𝜎-Ring			Nu
Algebra (câmp)			Nu
𝜎-Algebră (𝜎-Câmp)			Nu
Ideal dual
Filtru									Nu	Nu	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Prefiltru (baza filtrului)									Nu	Nu	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Subbaza filtrului									Nu	Nu	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Topologie			Nu
Este neapărat adevărat ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ colon}$ sau este închis sub:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	intersecții finite	intersecții numărabile	Proprietate de intersecție finită	îndreptată în jos	uniuni finite	uniuni disjunctibile numărabile	uniuni numărătoare în creștere	uniuni numărabile	completează în${\ displaystyle \ Omega}$	complementele relative	conține ${\ displaystyle \ varnothing}$	conține ${\ displaystyle \ Omega}$
Se presupune că toate familiile sunt ne-goale. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$sunt elemente arbitrare ale denotă o uniune de seturi disjuncte perechi (numite uniune disjunctă ). În plus, o semire este un sistem π în care fiecare complement este egal cu o uniune finită disjunctă de seturi într- o semialgebră este o semire care conține o clasă monotonă este o familie care este închisă atât sub uniuni crescătoare numărabile, cât și cu intersecții descrescătoare numărabile. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$