Öppet set - Open set

Exempel: Den blå cirkeln representerar uppsättningen punkter ( x , y ) som uppfyller x ² + y ² = r ² . Den röda disken representerar mängden punkter ( x , y ) som uppfyller x ² + y ² < r ² . Den röda uppsättningen är en öppen uppsättning, den blå uppsättningen är dess gränsuppsättning och föreningen mellan de röda och blå uppsättningarna är en sluten uppsättning .

I matematik är öppna uppsättningar en generalisering av öppna intervall i den verkliga linjen . I ett metriskt utrymme - det vill säga när en avståndsfunktion definieras - är öppna uppsättningar de uppsättningar som med varje punkt P innehåller alla punkter som är tillräckligt nära P (det vill säga alla punkter vars avstånd till P är mindre än vissa värde beroende på P ).

Mer allmänt definierar man öppna uppsättningar som medlemmarna i en given samling delmängder av en given uppsättning, en samling som har egenskapen att innehålla varje förening av dess medlemmar, varje ändlig skärningspunkt mellan dess medlemmar, den tomma uppsättningen och hela uppsättningen sig. En uppsättning där en sådan samling ges kallas ett topologiskt utrymme , och samlingen kallas en topologi . Dessa förhållanden är mycket lösa och möjliggör enorm flexibilitet i valet av öppna uppsättningar. Till exempel kan varje delmängd vara öppen (den diskreta topologin ), eller så kan ingen uppsättning vara öppen förutom själva utrymmet och den tomma uppsättningen (den indiskreta topologin ).

I praktiken väljs emellertid vanliga uppsättningar vanligtvis för att ge en föreställning om närhet som liknar metriska mellanslag, utan att ha ett begrepp om avstånd definierat. I synnerhet tillåter en topologi att definiera egenskaper som kontinuitet , anslutning och kompakthet , som ursprungligen definierades med hjälp av ett avstånd.

Det vanligaste fallet med en topologi utan avstånd ges av grenrör , som är topologiska utrymmen som nära varje punkt liknar en öppen uppsättning av ett euklidiskt utrymme , men på vilket inget avstånd definieras i allmänhet. Mindre intuitiva topologier används i andra grenar av matematik; till exempel Zariski -topologin , som är grundläggande inom algebraisk geometri och schemateori .

Motivering

Intuitivt ger en öppen uppsättning en metod för att skilja två punkter . Till exempel, om ungefär en av två punkter i ett topologiskt utrymme , finns det en öppen uppsättning som inte innehåller den andra (distinkta) punkten, kallas de två punkterna som topologiskt urskiljbara . På detta sätt kan man tala om huruvida två punkter, eller mer allmänt två delmängder , av ett topologiskt utrymme är "nära" utan att konkret definiera ett avstånd . Därför kan topologiska utrymmen ses som en generalisering av utrymmen utrustade med en föreställning om avstånd, som kallas metriska utrymmen .

I uppsättningen av alla reella tal har man den naturliga euklidiska metriken; det vill säga en funktion som mäter avståndet mellan två reella tal: d ( x , y ) = | x - y | . Därför kan man, med tanke på ett reellt tal x , tala om uppsättningen av alla punkter nära det verkliga talet; det vill säga inom ε av x . I huvudsak pekar inom ε på x ungefärliga x till en noggrannhet av graden ε . Observera att ε > 0 alltid men när ε blir mindre och mindre, får man poäng som approximerar x till en högre och högre grad av noggrannhet. Till exempel, om x = 0 och ε = 1, är punkterna inom ε av x exakt punkterna i intervallet (−1, 1); det vill säga uppsättningen av alla reella tal mellan −1 och 1. Men med ε = 0,5 är punkterna inom ε av x exakt punkterna (−0,5, 0,5). Det är uppenbart att dessa punkter approximerar x till en större noggrannhet än när ε = 1.

Den tidigare diskussionen visar, för fallet x = 0, att man kan approximera x till högre och högre noggrannhetsgrader genom att definiera ε vara mindre och mindre. I synnerhet ger uppsättningar av formen ( - ε , ε ) oss mycket information om punkter nära x = 0. Så, snarare än att tala om ett konkret euklidiskt mått, kan man använda uppsättningar för att beskriva punkter nära x . Denna innovativa idé har långtgående konsekvenser; i synnerhet genom att definiera olika samlingar av uppsättningar som innehåller 0 (skiljer sig från uppsättningarna ( - ε , ε )) kan man hitta olika resultat när det gäller avståndet mellan 0 och andra reella tal. Till exempel, om vi skulle definiera R som den enda sådan uppsättning för "mätavstånd", alla punkter är nära 0, eftersom det endast finns en möjlig grad av noggrannhet kan man uppnå i approximerar 0: att vara medlem i R . Således finner vi att varje reellt tal är på något sätt avstånd 0 från 0. Det kan hjälpa i detta fall att tänka på måttet som ett binärt tillstånd: alla saker i R är lika nära 0, medan alla objekt som är inte i R är inte nära 0.

I allmänhet hänvisar man till familjen uppsättningar som innehåller 0, som används för att approximera 0, som grannskap ; en medlem av denna stadsdel kallas en öppen uppsättning . I själva verket kan man generalisera dessa föreställningar till en godtycklig uppsättning ( X ); snarare än bara de verkliga siffrorna. I detta fall, med tanke på en punkt ( x ) i den uppsättningen, kan man definiera en samling uppsättningar "runt" (det vill säga innehåller) x , som används för att approximera x . Naturligtvis måste denna samling uppfylla vissa egenskaper (känd som axiom ) för annars kanske vi inte har en väldefinierad metod för att mäta avstånd. Till exempel bör varje punkt i X approximera x till viss grad av noggrannhet. Således borde X vara i denna familj. När vi börjar definiera "mindre" uppsättningar som innehåller x tenderar vi att approximera x till en större grad av noggrannhet. Med tanke på detta kan man definiera de återstående axiomen som familjen med uppsättningar om x måste uppfylla.

Definitioner

Flera definitioner ges här, i en allt större teknisk ordning. Var och en är ett specialfall av nästa.

Euklidiskt utrymme

En delmängd av det euklidiska n -space R ⁿ är öppen om, för varje punkt x i , det existerar ett positivt reellt tal ε (beroende på x ) så att en punkt i R ⁿ tillhör så snart dess euklidiskt avstånd från x är mindre än ε . På motsvarande sätt är en delmängd av R ⁿ öppen om varje punkt i är mitten av en öppen boll som finns i${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U.}$

Metriskt utrymme

En delmängd U av ett metriskt utrymme ( M , d ) kallas öppet om det, med en punkt x i U , finns ett reellt tal ε > 0 så att givet en punkt som uppfyller d ( x , y ) < ε , y också tillhör U . På motsvarande sätt, U är öppen om varje punkt i U har en stadsdel som finns i U . ${\ displaystyle y \ i M}$

Detta generaliserar det euklidiska rymdexemplet, eftersom det euklidiska utrymmet med det euklidiska avståndet är ett metriskt utrymme.

Topologiskt utrymme

Ett topologiskt utrymme är en uppsättning på vilken en topologi definieras, som består av en samling delmängder som sägs vara öppna och uppfyller axiomen nedan.

Mer exakt, låt vara en uppsättning. En familj av delmängder av är en topologi på , och elementen i är de öppna uppsättningarna av topologin if ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ tau}$

• ${\ displaystyle X \ in \ tau}$och (båda och är öppna uppsättningar)${\ displaystyle \ varnothing \ in \ tau \ qquad \ qquad \ qquad}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varnothing}$
• ${\ displaystyle \ left \ {U_ {i}: i \ i I \ right \} \ subseteq \ tau}$sedan (varje förening av öppna uppsättningar är en öppen uppsättning)${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ i I} U_ {i} \ in \ tau \ qquad}$
• ${\ displaystyle U_ {1}, \ ldots, U_ {n} \ in \ tau}$sedan (varje ändlig skärningspunkt mellan öppna uppsättningar är en öppen uppsättning)${\ displaystyle U_ {1} \ cap \ cdots \ cap U_ {n} \ in \ tau \ qquad}$

Oändliga korsningar mellan öppna uppsättningar behöver inte vara öppna. Till exempel är skärningspunkten mellan alla intervall i formen där ett positivt heltal är den uppsättning som inte är öppen i den verkliga linjen. ${\ displaystyle \ left (-1/n, 1/n \ right),}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Ett metriskt utrymme är ett topologiskt utrymme, vars topologi består av samlingen av alla delmängder som är fackföreningar med öppna bollar. Det finns dock topologiska utrymmen som inte är metriska utrymmen.

Särskilda typer av öppna uppsättningar

Stängda uppsättningar och icke-öppna och/eller icke-stängda uppsättningar

En uppsättning kan vara öppen, stängd, båda eller inte heller. I synnerhet är öppna och slutna uppsättningar inte ömsesidigt uteslutande, vilket betyder att det i allmänhet är möjligt för en delmängd av ett topologiskt utrymme samtidigt att vara både en öppen delmängd och en sluten delmängd. Sådana delmängder är kända som slutna uppsättningar . Explicit uttryckligen kallas en delmängd av ett topologiskt utrymme clopen om båda och dess komplement är öppna delmängder av ; eller likvärdigt, om och${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X \ setminus S}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle S \ in \ tau}$${\ displaystyle X \ setminus S \ in \ tau.}$

I alla topologiska utrymmen är den tomma uppsättningen och själva uppsättningen alltid öppna. Dessa två uppsättningar är de mest kända exemplen på slutna delmängder och de visar att stängda delmängder finns i varje topologiskt utrymme. För att se varför är stängt, börja med att komma ihåg att uppsättningarna och är, per definition, alltid öppna delmängder (av ). Också per definition kallas en delmängd stängd om (och endast om) dess komplement där uppsättningen är en öppen delmängd. Eftersom komplementet (in ) för hela uppsättningen är den tomma uppsättningen (dvs. ), som är en öppen delmängd, betyder detta att det är en sluten delmängd av (per definition av "sluten delmängd"). Oavsett vilken topologi som placeras på hela utrymmet är det därför samtidigt både en öppen delmängd och en sluten delmängd av ; sade annorlunda, är alltid en sluten delmängd av Eftersom den tomma uppsättningens komplement är en öppen delmängd kan samma resonemang användas för att dra slutsatsen att det också är en sluten delmängd av${\ displaystyle (X, \ tau),}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X \ setminus S,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S: = X}$${\ displaystyle X \ setminus S = \ varnothing}$${\ displaystyle S = X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X \ setminus \ varnothing = X,}$${\ displaystyle S: = \ varnothing}$${\ displaystyle X.}$

Tänk på den verkliga linjen utrustad med sin vanliga euklidiska topologi , vars öppna uppsättningar definieras enligt följande: varje intervall av reella tal tillhör topologin, varje förening av sådana intervall, t.ex. tillhör topologin, och som alltid, båda och tillhör topologi. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle (a, b) \ cup (c, d),}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ varnothing}$

• Intervallet är öppet eftersom det tillhör den euklidiska topologin. Om vi skulle ha ett öppet komplement skulle det per definition innebära att det var stängt. Men har inte ett öppet komplement; dess komplement är det som inte tillhör den euklidiska topologin eftersom det inte är en förening av öppna intervall i formen Därför är det ett exempel på en uppsättning som är öppen men inte stängd.${\ displaystyle I = (0,1)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus I = (-\ infty, 0] \ cup [1, \ infty),}$${\ displaystyle (a, b).}$${\ displaystyle I}$
• Med ett liknande argument är intervallet en sluten delmängd men inte en öppen delmängd.${\ displaystyle J = [0,1]}$
• Slutligen, eftersom varken eller dess komplement tillhör den euklidiska topologin (eftersom det inte kan skrivas som en förening av formens intervall ), betyder det att varken är öppet eller stängt.${\ displaystyle K = [0,1)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus K = (-\ infty, 0) \ cup [1, \ infty)}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle K}$

Om ett topologiskt utrymme är utrustat med den diskreta topologin (så att varje delmängd av per definition per definition är öppen) så är varje delmängd av en sluten delmängd. För en mer avancerad exempel som påminner om den diskreta topologi, anta att är ett ultrafilter på en icke-tom mängd Då facket är en topologi på med egenskapen att varje icke-tom ordentlig delmängd av är antingen en öppen delmängd annars en sluten delmängd , men aldrig båda; det vill säga om (var ) då är exakt ett av följande två påståenden sant: antingen (1) eller annars, (2) Sagt annorlunda, varje delmängd är öppen eller stängd men de enda delmängderna som är båda (dvs. som är stängda) är och${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle \ tau: = {\ mathcal {U}} \ cup \ {\ varnothing \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varnothing \ neq S \ subsetneq X}$${\ displaystyle S \ neq X}$${\ displaystyle S \ in \ tau}$${\ displaystyle X \ setminus S \ in \ tau.}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle X.}$

Vanliga öppna uppsättningar

En delmängd av ett topologiskt utrymme kallas en vanlig öppen uppsättning om eller på motsvarande sätt, om där (resp. ) Betecknar den topologiska gränsen (resp. Inre , stängning ) för i Ett topologiskt utrymme för vilket det finns en bas bestående av vanliga öppna uppsättningar är kallas ett semiregulärt utrymme . En delmängd av är en vanlig öppen uppsättning om och endast om dess komplement i är en vanlig sluten uppsättning, där per definition en delmängd av kallas en regelbunden sluten uppsättning om eller på motsvarande sätt, om varje regelbunden öppen uppsättning (resp. Vanlig stängd uppsättning) är en öppen delmängd (resp. är en sluten delmängd) även om konversationerna i allmänhet inte är sanna. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Int} \ left ({\ overline {S}} \ right) = S}$${\ displaystyle \ operatorname {Bd} \ left ({\ overline {S}} \ right) = \ operatorname {Bd} S,}$${\ displaystyle \ operatorname {Bd} S}$${\ displaystyle \ operatorname {Int} S,}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Int} S}} = S}$${\ displaystyle \ operatorname {Bd} \ left (\ operatorname {Int} S \ right) = \ operatorname {Bd} S.}$

Egenskaper

Den union av valfritt antal öppna uppsättningar, eller oändligt många öppna uppsättningar, är öppen. Den korsningen av ett begränsat antal öppna uppsättningar är öppen.

Ett komplement till en öppen uppsättning (i förhållande till det utrymme som topologin definieras på) kallas en sluten uppsättning . En uppsättning kan vara både öppen och stängd (en sluten uppsättning ). Den tomma uppsättningen och hela utrymmet är exempel på uppsättningar som är både öppna och stängda.

Användningsområden

Öppna uppsättningar har en grundläggande betydelse inom topologi . Konceptet krävs för att definiera och få en uppfattning om topologiskt utrymme och andra topologiska strukturer som behandlar föreställningarna om närhet och konvergens för utrymmen som metriska utrymmen och enhetliga utrymmen .

Varje delmängd A i ett topologiskt utrymme X innehåller en (möjligen tom) öppen uppsättning; den maximala (beställas under integration) sådan öppen uppsättning kallas inre av A . Det kan konstrueras genom att unionen av alla öppna uppsättningarna som ingår i A .

En funktion mellan två topologiska utrymmen och är kontinuerlig om förbilden för varje öppen uppsättning i är öppen i Funktionen kallas öppen om bilden av varje öppen uppsättning i är öppen i${\ displaystyle f: X \ till Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle f: X \ till Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

En öppen uppsättning på den verkliga linjen har den karaktäristiska egenskapen att den är en räknbar förening av ojämna öppna intervall.

Anmärkningar och försiktighetsåtgärder

"Öppen" definieras relativt en viss topologi

Om en uppsättning är öppen beror på den topologi som övervägs. Efter att ha valt större korthet framför större klarhet hänvisar vi till en uppsättning X utrustad med en topologi som "det topologiska utrymmet X " snarare än "det topologiska utrymmet ", trots att alla topologiska data finns i Om det finns två topologier på samma uppsättning kan en uppsättning U som är öppen i den första topologin misslyckas med att vara öppen i den andra topologin. Till exempel, om X är något topologiskt utrymme och Y är någon delmängd av X , kan uppsättningen Y ges en egen topologi (kallad 'underutrymmetopologi') definierad av "en uppsättning U är öppen i underrumstopologin på Y om och bara om U är skärningspunkten för Y med en öppen uppsättning från den ursprungliga topologin på X. " Detta medför potentiellt nya öppna uppsättningar: Om V är öppen under den ursprungliga topologin på X , men inte är öppen i den ursprungliga topologin på X , då är öppen under den delrumstopologi på Y . ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle \ tau.}$${\ displaystyle V \ cap Y}$${\ displaystyle V \ cap Y}$

Som ett konkret exempel på detta, om U definieras som uppsättningen rationella tal i intervallet är U en öppen delmängd av de rationella talen , men inte av de reella talen . Detta beror på att när den omgivande rymden är rationella tal, för varje punkt x i U , det finns ett positivt tal en så att alla rationella punkter inom avstånd en av X är också i U . Å andra sidan, när den omgivande rymden är reals, sedan för varje punkt x i U finns ingen positiv en så att alla reella punkter inom avstånd en av X är i U (eftersom U innehåller några icke-rationella tal). ${\ displaystyle (0,1),}$

Generaliseringar av öppna uppsättningar

Under hela, kommer att vara ett topologiskt utrymme. ${\ displaystyle (X, \ tau)}$

En delmängd av ett topologiskt utrymme kallas: ${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$

• α-open if, och komplementet till en sådan uppsättning kallas α-closed .${\ displaystyle A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} \ left (\ operatorname {int} _ {X} A \ right) \ right)}$
• öppnas , nästan öppen eller lokalt tät om den uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:
  1. ${\ displaystyle A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} A \ right).}$
  2. Det finns delmängder som är öppna i är en tät delmängd av och${\ displaystyle D, U \ subseteq X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A = U \ cap D.}$
  3. Det finns en öppen (in ) delmängd så som är en tät delmängd av${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U.}$

  Komplementet till en föröppnad uppsättning kallas försluten .

• b-öppna om. Komplementet till en b-öppen uppsättning kallas b-stängd .${\ displaystyle A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} A \ right) ~ \ cup ~ \ operatorname {cl} _ {X} \ left (\ operatornamn {int} _ {X} A \ höger)}$
• β-öppen eller halvöppnad om den uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:
  1. ${\ displaystyle A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {cl} _ {X} \ left (\ operatorname {int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} A \ right) \ right)}$
  2. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} A}$ är en vanlig sluten delmängd av ${\ displaystyle X.}$
  3. Det finns en föröppnad delmängd av sådant${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U \ subseteq A \ subseteq \ operatorname {cl} _ {X} U.}$

  Komplementet till en β-öppen uppsättning kallas β-sluten .

• öppnas sekventiellt om det uppfyller något av följande motsvarande villkor:
  1. När en sekvens i konvergerar till någon punkt då är den sekvensen så småningom i Explicitly, betyder detta att om är en sekvens i och om det finns en del är sådan att i då är så småningom in (det vill säga, det finns ett heltal så att om då ).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ vänster (x_ {i} \ höger) _ {i = 1}^{\ infty}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a \ i A}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ till x}$${\ displaystyle (X, \ tau),}$${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j \ geq i,}$${\ displaystyle x_ {j} \ i A}$
  2. ${\ displaystyle A}$är lika med dess sekventiella inre i vilket per definition är den uppsättning ${\ displaystyle X,}$

     ${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {SeqInt} _ {X} A: & = \ {a \ i A ~: ~ {\ text {när en sekvens i}} X {\ text {konvergerar till}} en {\ text {in}} (X, \ tau), {\ text {då är den sekvensen så småningom i}} A \} \\ & = \ {a \ i A ~: ~ {\ text { det finns INTE en sekvens i}} X \ setminus A {\ text {som konverterar in}} (X, \ tau) {\ text {till en punkt i}} A \} \\\ end {alignat}}}$

  Komplementet till en sekventiellt öppen uppsättning kallas sekventiellt stängd . En delmängd stängs sekventiellt om och bara om är lika med dess sekventiella stängning , som per definition är den uppsättning som består av alla för vilka det finns en sekvens i som konvergerar till (in ). ${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} _ {X} S}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$

• nästan öppen och sägs ha Baire -egenskapen om det finns en öppen delmängdså somär enmager delmängd, därbetecknar densymmetriska skillnaden. ${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle A \ bigtriangleup U}$${\ displaystyle \ bigtriangleup}$
  • Delmängden sägs ha
  Baire -egendomen i begränsad mening om varje delmängd av korsningen har Baire -egenskapen i förhållande till .${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ cap E}$${\ displaystyle E}$

halvöppen om. Komplementet ien halvöppen uppsättning kallas en halvstängd uppsättning.${\ displaystyle A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {cl} _ {X} \ left (\ operatorname {int} _ {X} A \ right)}$${\ displaystyle X}$

• Den semi-förslutning (i ) av en undergrupp betecknad med är skärningspunkten av alla halv slutna undergrupper av som innehåller som en delmängd.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ subseteq X,}$${\ displaystyle \ operatorname {sCl} _ {X} A,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$

semi-θ-öppen om det för varjefinns någon halvpenningsundergruppavsådan${\ displaystyle x \ i A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ i U \ subseteq \ operatorname {sCl} _ {X} U \ subseteq A.}$

θ-öppen (resp. δ-öppen ) om dess komplement iär en θ-stängd (resp. δ-stängd ) uppsättning, där per definition en delmängd avkallas θ-stängd (resp. δ-stängd ) om den är lika med uppsättningen för alla dess θ-klusterpunkter (resp. δ-klusterpunkter). En punktkallas en θ-cluster punkt (resp. En δ-cluster punkt ) av en delmängdom för varje öppen områdeaviskärningspunkteninte är tom (resp.Inte är tom).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle B \ subseteq X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle B \ cap \ operatorname {cl} _ {X} U}$${\ displaystyle B \ cap \ operatorname {int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} U \ right)}$

Använda det faktum att

${\ displaystyle A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {cl} _ {X} A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {cl} _ {X} B}$     och     ${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} A ~ \ subseteq ~ \ operatorname {int} _ {X} B ~ \ subseteq ~ B}$

när två delmängder uppfyller följande kan härledas: ${\ displaystyle A, B \ subseteq X}$${\ displaystyle A \ subseteq B,}$

• Varje α-öppen delmängd är halvöppen, halvöppnad, föröppnad och b-öppen.
• Varje b-öppen uppsättning är halvöppnad (dvs β-öppen).
• Varje föröppnad uppsättning är b-öppen och halvöppnad.
• Varje halvöppet set är b-öppet och halvöppnat.

Dessutom är en delmängd en vanlig öppen uppsättning om och bara om den är föröppnad och halvstängd. Skärningspunkten mellan en α-öppen uppsättning och en halvöppnad (resp. Halvöppen, föröppen, b-öppen) uppsättning är en halvöppnad (resp. Halvöppen, föröppnad, b-öppen) uppsättning. Föröppnade uppsättningar behöver inte vara halvöppna och halvöppna uppsättningar behöver inte öppnas på förhand.

Godtyckliga fackföreningar mellan föröppnade (resp. Α-öppna, b-öppna, halvöppnade) uppsättningar är återigen föröppnade (resp. Α-öppna, b-öppna, halvöppnade). Ändlösa korsningar mellan föröppnade uppsättningar behöver dock inte föröppnas. Uppsättningen av alla α-öppna delmängder i ett utrymme bildar en topologi som är finare än${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ tau.}$

En topologisk utrymme är Hausdorff om och endast om varje kompakt underrum av är θ sluten. Ett utrymme är helt frånkopplad om och endast om varje ordinarie sluten delmängd preopen eller ekvivalent om varje halvöppna delmängd preopen. Dessutom är utrymmet helt frånkopplat om och bara om stängningen av varje föröppnad delmängd är öppen. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Se även

• Nästan öppen karta  - En karta som uppfyller ett villkor som liknar det att vara en öppen karta.
• Bas (topologi)  - Samling av öppna uppsättningar som är tillräckliga för att definiera en topologi
• Stängt set  - Delmängd som är både öppen och stängd
• Stängt set  - Komplementet till en öppen delmängd ett topologiskt utrymme. Den innehåller alla punkter som är "nära" till den.
• Lokal homeomorfism  - Kontinuerlig öppen karta som, runt varje punkt i sin domän, har ett grannskap där den begränsar sig till en homomorfism
• Öppna kartan
• Delbas  - Samling av delmängder vars stängning genom ändliga korsningar utgör basen för en topologi

Anteckningar

Referenser

Bibliografi

• Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology . Amsterdam Boston: Elsevier/Nord-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC  162131277 .
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.

externa länkar

• "Open set" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]