Метод прямой множественной съемки - Direct multiple shooting method

В области математики, известной как числовые обыкновенные дифференциальные уравнения , метод прямой множественной стрельбы представляет собой численный метод решения краевых задач . Метод делит интервал, на котором ищется решение, на несколько меньших интервалов, решает задачу начального значения в каждом из меньших интервалов и накладывает дополнительные условия согласования для формирования решения на всем интервале. Этот метод представляет собой значительное улучшение распределения нелинейности и численной стабильности по сравнению с методами одиночной съемки .

Методы одиночной съемки

Методы стрельбы могут использоваться для решения краевых задач (BVP), таких как

${\ displaystyle y '' (t) = е (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {a}) = y_ {a}, \ quad y (t_ {b}) = y_ {b},}$

в котором моменты времени t _a и t _b известны, и мы ищем

${\ displaystyle y (t), \ quad t \ in (t_ {a}, t_ {b}).}$

Методы одиночной съемки действуют следующим образом. Обозначим через y ( t ; t ₀ , y ₀ ) решение начальной задачи (IVP)

${\ displaystyle y '' (t) = е (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ quad y' (t_ {0}) ) = p}$

Определите функцию F ( p ) как разность между y ( t _b ; p ) и заданным граничным значением y _b : F ( p ) = y ( t _b ; p ) - y _b . Тогда для каждого решения ( у , у _б ) от краевой задачи мы имеем Y = у ₀ в то время как у _б соответствует корню из F . Этот корень может быть решен любым методом поиска корня при условии выполнения определенных зависящих от метода предпосылок. Это часто требует первоначальных предположений для y _a и y _b . Как правило, аналитический поиск корня невозможен, и для этой задачи используются итерационные методы, такие как метод Ньютона .

Применение одиночной съемки для численного решения краевых задач имеет ряд недостатков.

• Для данного начального значения y ₀ решение IVP, очевидно, должно существовать на интервале [ t _a , t _b ], чтобы мы могли вычислить функцию F , корень которой ищется.

Для сильно нелинейных или нестабильных ОДУ это требует, чтобы первоначальное предположение y ₀ было очень близко к фактическому, но неизвестному решению y _a . Начальные значения, которые немного отличаются от истинного решения, могут привести к сингулярностям или поломке метода решателя ODE. Однако выбор таких решений неизбежен в итеративном методе поиска корней.

• Числа конечной точности могут вообще сделать невозможным нахождение начальных значений, которые позволяют решить ОДУ на всем временном интервале.
• Нелинейность ОДУ фактически становится нелинейностью F и требует методики поиска корней, способной решать нелинейные системы. Такие методы обычно сходятся медленнее по мере того, как нелинейности становятся более серьезными. От этого страдает производительность решателя краевых задач.
• Даже стабильные и хорошо обусловленные ODE могут привести к нестабильным и плохо обусловленным BVP. Небольшое изменение предположения y ₀ начального значения может привести к чрезвычайно большому скачку в решении y ( t _b ; t _a , y ₀ ) ОДУ и, следовательно, в значениях функции F , корень которой ищется. Неаналитические методы поиска корней редко могут справиться с таким поведением.

Многократная стрельба

Метод прямой множественной съемки разделяет интервал [ t _a , t _b ], добавляя дополнительные точки сетки.

${\ displaystyle t_ {a} = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {N} = t_ {b}}$.

Метод начинается с того, что каким-то образом угадываются значения y во всех точках сетки t _k, где 0 ≤ k ≤ N - 1. Обозначим эти предположения y _k . Пусть y ( t ; t _k , y _k ) обозначает решение, исходящее из k- й точки сетки, то есть решение начальной задачи

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {k}) = y_ {k}.}$

Все эти решения могут быть соединены вместе, чтобы сформировать непрерывную траекторию, если значения y совпадают в точках сетки. Таким образом, решения краевой задачи соответствуют решениям следующей системы N уравнений:

${\ Displaystyle {\ begin {align} & y (t_ {1}; t_ {0}, y_ {0}) = y_ {1} \\ & \ qquad \ qquad \ vdots \\ & y (t_ {N-1} ; t_ {N-2}, y_ {N-2}) = y_ {N-1} \\ & y (t_ {N}; t_ {N-1}, y_ {N-1}) = y_ {b} . \ end {выровнено}}}$

Центральные N −2 уравнений являются условиями согласования, а первое и последнее уравнения являются условиями y ( t _a ) = y _a и y ( t _b ) = y _b из краевой задачи. Метод многократной стрельбы решает краевую задачу путем решения этой системы уравнений. Обычно для последней задачи используется модификация метода Ньютона .

Множественная съемка и методы параллельности во времени

Множественная съемка была принята для получения параллельных решателей для задач начального значения . Например, метод параллельного интегрирования Parareal по времени может быть получен как алгоритм множественной съемки со специальным приближением якобиана .

использованная литература

• Стоер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3. См. Разделы 7.3.5 и далее.
• Бок, Ханс Георг; Плитт, Карл Дж. (1984), "Алгоритм множественной съемки для прямого решения задач оптимального управления", Труды 9-го Всемирного конгресса МФБ , Будапешт.
• Моррисон, Дэвид Д .; Райли, Джеймс Д .; Занканаро, Джон Ф. (декабрь 1962 г.), "Метод множественной стрельбы для двухточечных краевых задач" (PDF) , Commun. АСМ , 5 (12): 613-614, DOI : 10,1145 / 355580,369128