Bezpośrednia metoda wielokrotnego strzelania - Direct multiple shooting method

W dziedzinie matematyki znanej jako numeryczne równania różniczkowe zwyczajne , metoda bezpośredniego strzelania wielokrotnego jest metodą numeryczną do rozwiązywania problemów z wartościami brzegowymi . Metoda dzieli przedział, w którym poszukiwane jest rozwiązanie, na kilka mniejszych przedziałów, rozwiązuje problem wartości początkowej w każdym z mniejszych przedziałów i nakłada dodatkowe warunki dopasowania w celu utworzenia rozwiązania na całym przedziale. Metoda ta stanowi znaczne ulepszenie rozkładu nieliniowości i stabilności numerycznej w stosunku do pojedynczych metod strzelania .

Pojedyncze metody strzelania

Metody strzelania mogą być używane do rozwiązywania problemów z wartościami brzegowymi (BVP), takich jak

${\ Displaystyle r ''(t) = f (t, r (t), r (t)), \ quad r (t_ {a}) = y_ {a}, \ quad r (t_ {b}) =y_{b},}$

w którym znane są punkty czasowe t _a i t _b i szukamy

${\ Displaystyle y (t), \ quad t \ w (t_ {a}, t_ {b}).}$

Pojedyncze metody fotografowania przebiegają w następujący sposób. Niech y ( t ; t ₀ , y ₀ ) oznaczają rozwiązanie problemu wartości początkowej (IVP)

${\ Displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad r(t_{0})=y_{0},\quad r”(t_{0} )=p}$

Określenie funkcji F, ( p ) jako różnicy między y ( t _b ; p ) i określona wartość graniczna y _B : F, ( s ) = y ( t _b ; s ) - R _b . Wtedy dla każdego rozwiązania ( y _a , y _b ) problemu wartości brzegowych mamy y _a = y _{0 ,} podczas gdy y _b odpowiada pierwiastkowi z F . Ten korzeń można rozwiązać za pomocą dowolnej metody wyszukiwania korzeni, pod warunkiem, że spełnione są pewne wymagania wstępne zależne od metody. Często będzie to wymagało wstępnych domysłów y _a i y _b . Zazwyczaj znalezienie pierwiastka analitycznego jest niemożliwe i do tego zadania stosuje się metody iteracyjne, takie jak metoda Newtona .

Zastosowanie pojedynczego strzelania do numerycznego rozwiązywania zagadnień brzegowych ma kilka wad.

• Dla danej wartości początkowej y ₀ rozwiązanie IVP oczywiście musi istnieć na przedziale [ t _a , t _b ], abyśmy mogli ocenić funkcję F, której pierwiastek jest poszukiwany.

W przypadku wysoce nieliniowych lub niestabilnych ODE wymaga to, aby początkowe przypuszczenie y ₀ było bardzo bliskie rzeczywistemu, ale nieznanemu rozwiązaniu y _a . Początkowe wartości, które są nieco odbiegające od prawdziwego rozwiązania, mogą prowadzić do osobliwości lub awarii metody rozwiązywania ODE. Wybór takich rozwiązań jest jednak nieunikniony w iteracyjnej metodzie wyszukiwania korzeni.

• Liczby o skończonej precyzji mogą w ogóle uniemożliwić znalezienie wartości początkowych, które pozwolą na rozwiązanie ODE w całym przedziale czasu.
• Nieliniowość ODE skutecznie staje się nieliniowością F i wymaga techniki wyszukiwania pierwiastków zdolnej do rozwiązywania układów nieliniowych. Takie metody zazwyczaj wolniej zbiegają się, gdy nieliniowości stają się bardziej dotkliwe. Cierpi na tym wydajność narzędzia do rozwiązywania problemów z wartościami brzegowymi.
• Nawet stabilne i dobrze uwarunkowane ODE mogą prowadzić do niestabilnych i źle uwarunkowanych BVP. Nieznaczna zmiana wartości początkowej przypuszczalne Y ₀ mogą wytwarzać bardzo duży krok w roztworze różniczkowe zwyczajne y ( t _b ; t _A , r ₀ ), a tym samym na wartości funkcji F , którego główny jest wymagana. Nieanalityczne metody wyszukiwania korzeni rzadko radzą sobie z takim zachowaniem.

Wielokrotne strzelanie

Bezpośrednia metoda wielokrotnego strzelania dzieli interwał [ t _a , t _b ] poprzez wprowadzenie dodatkowych punktów siatki

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}}$.

Metoda zaczyna się od odgadnięcia w jakiś sposób wartości y we wszystkich punktach siatki t _k z 0 ≤ k ≤ N − 1. Oznacz te zgadnięcia przez y _k . Niech y ( t ; t _k , y _k ) oznaczają rozwiązanie wychodzące z k- tego punktu siatki, czyli rozwiązanie problemu wartości początkowej

${\ Displaystyle r '(t) = f (t, y (t)), \ quad r (t_ {k}) = y_ {k}.}$

Wszystkie te rozwiązania można połączyć, tworząc ciągłą trajektorię, jeśli wartości y pasują do punktów siatki. Zatem rozwiązania zagadnienia brzegowego odpowiadają rozwiązaniom następującego układu równań N :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i y (t_ {1}; t_ {0}, y_ {0}) = y_ {1} \ \ & \ qquad \ qquad \ vdots \ \ & y (t_ {N-1} ;t_{N-2},y_{N-2})=y_{N-1}\\&y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})=y_{b} .\koniec{wyrównany}}}$

Centralne N -2 równania są warunki dopasowania, a pierwsze i ostatnie równania są warunki y ( t ) = Y i Y ( t _b ) = y _b od problemu wartości granicznej. Metoda strzelania wielokrotnego rozwiązuje problem wartości brzegowych, rozwiązując ten układ równań. Zazwyczaj do tego ostatniego zadania stosuje się modyfikację metody Newtona .

Wiele metod fotografowania i równoległego w czasie

Wielokrotne strzelanie zostało przyjęte w celu uzyskania równoległych solwerów dla problemów z wartościami początkowymi . Na przykład metodę całkowania równoległego w czasie Parareal można wyprowadzić jako algorytm wielokrotnego strzelania ze specjalnym przybliżeniem jakobianu .

Bibliografia

• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Wprowadzenie do analizy numerycznej (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3. Patrz Sekcje 7.3.5 i dalsze.
• Koźlak, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), „Algorytm wielokrotnego strzelania do bezpośredniego rozwiązania problemów optymalnego sterowania”, Proceedings of 9. Światowego Kongresu IFAC , Budapeszt
• Morrison, David D.; Riley, James D.; Zancanaro, John F. (grudzień 1962), „Metoda wielokrotnego strzelania dla dwupunktowych problemów z wartościami brzegowymi” (PDF) , Commun. ACM , 5 (12): 613–614, doi : 10.1145/355580.369128